33函数的单调性和凹凸性_第1页
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文档简介

主要内容教学要求一、掌握用导数判别函数单调性的方法一、函数的单调性二、曲线的凹凸性和拐点二、会用导数判断曲线的凹凸性三、会求曲线的拐点3.3函数的单调性与曲线的凹凸性如图所示．OyxOxy(a)(b)定理3-4设函数在上连续，在内可导，则:（1）如果在内那么函数在上单调增加；（2）如果在内上单调减少．

那么函数在（1）如果将定理中的闭区间换成开区间或半开区间，结论仍然成立．（2）如果在，但等号只内限个点处成立，

那么函数在

上仍然是单调增加（或减少）的．注意：在有例1判定函数的单调性．实数，，解函数的定义域为一切因此，函数在且只有，上单调增加．例2求函数的单调区间．解

函数的定义域为一切实数，，令，得为表达简洁明了，列表表示＋0－0+3由上可知，函数的单调增区间为和，单调减区间为1．曲线的凹凸定义和判定法知道了函数的单调性，对函数的变化情况有了初步的了解．但仅限于此还不够，例如函数曲线与

在

内都是上升的，但它们上升的方式却有明显的区别xyO定义3-1

在某区间内，如果曲线弧位于其上任一点如果曲线弧位于其上任一点处的切线的下方，处的切线的上方，则称曲线在该区间内是凹的；则称曲线在该区间内是凸的．进一步分析上图可得凹凸性的判定定理定理3-5设函数在区间内具有二阶导数，时，恒有（1）如果，则曲线在内是凹的；时，恒有（2）如果，则曲线在内是凸的；例3判断曲线的凹凸性．

解：

，在上，恒有故曲线在上为凹的。

定义3-2

连续曲线上凹与凸的分界点称为曲线的拐点．既然拐点是曲线上凹与凸的分界点，那么在拐点的应为异号，左右近旁要满足这一特征，拐点处的要么为零，要么不存在．例5求曲线的凹凸区间及拐点．解:

（1）函数的定义域为；

不存在的点；，得，无，令（2）表示凸的），如下表所示．（3）列表判断（符

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