微积分-经管类-上册1.1 映射与函数

第1章分析基础函数极限连续—研究对象—研究方法—研究桥梁函数与极限

第1章二、区间与邻域三、函数一、集合第1节映射与函数元素a

属于集合M,记作元素a

不属于集合M,记作一、集合1.集合的概念定义1.

具有某种特定性质的事物的总体称为集合.组成集合的事物称为元素.不含任何元素的集合称为空集,记作

.

(或).注:

M

为数集表示M

中排除0的集;表示M

中排除0与负数的集.简称集简称元表示法：(1)列举法：按某种方式列出集合中的全体元素.例:有限集合自然数集(2)描述法：

x

所具有的特征例:

整数集合或有理数集

p与q

互质实数集合

x

为有理数或无理数开区间闭区间是B的子集

,或称B包含A,2.集合的运算定义2

.则称A若且则称A

与B

相等,例如,显然有下列关系:,,

若设有集合记作记作必有定义3

.

给定两个集合A,B,并集交集且差集且定义下列运算:余集直积特例:记为平面上的全体点集或无限区间半开区间二、区间与邻域点的

邻域其中,a

称为邻域中心,

称为邻域半径.去心

邻域左

邻域:右

邻域:定义域三、函数1.函数的概念定义4.设数集则称映射为定义在D

上的函数,记为称为值域函数图形:自变量因变量(对应规则)(值域)(定义域)例如,反正弦主值

定义域

对应规律的表示方法:解析法、图像法、列表法使表达式或实际问题有意义的自变量集合.定义域值域又如,绝对值函数定义域值域对无实际背景的函数,书写时可以省略定义域.对实际问题,书写函数时必须写出定义域；例1.

已知函数解:及写出f(x)的定义域及值域,并求f(x)的定义域值域2.函数的几种特性设函数且有区间(1)有界性使称使称说明:

还可定义有上界、有下界、无界.(2)单调性为有界函数.在I

上有界.使若对任意正数M,均存在则称f(x)

无界.称为有上界称为有下界当称为I

上的称为I

上的单调增函数;单调减函数.(3)奇偶性且有若则称

f(x)为偶函数;若则称f(x)为奇函数.

说明:若在x=0有定义,为奇函数时,则当必有例如,

偶函数双曲余弦记又如,奇函数双曲正弦记再如,奇函数双曲正切记说明:

给定则偶函数奇函数(4)周期性且则称为周期函数

,若称

l

为周期(一般指最小正周期

).周期为

周期为注:

周期函数不一定存在最小正周期.例如,常量函数狄利克雷函数x

为有理数x为无理数3.反函数与复合函数(1)反函数的概念及性质若函数为单射,则存在一新映射习惯上,的反函数记成称此映射为f

的反函数.,其反函数(减)(减).1)y＝f(x)单调递增且也单调递增性质:使其中2)函数与其反函数的图形关于直线对称.例如,对数函数互为反函数,它们都单调递增,其图形关于直线对称.指数函数(2)复合函数则设有函数链称为由①,②确定的复合函数

,①②u

称为中间变量.注意:

构成复合函数的条件不可少.例如,

函数链:但可定义复合函数时,虽不能在自然域R下构成复合函数,可定义复合函数当改4.初等函数(1)基本初等函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数(2)初等函数由常数及基本初等函数否则称为非初等函数

.例如,并可用一个式子表示的函数,经过有限次四则运算和复合步骤所构成,称为初等函数.可表为故为初等函数.又如,

双曲函数与反双曲函数也是初等函数.非初等函数举例:符号函数当x>0当x=0当x<0取整函数当

设函数

x

换为f(x)例2.解:例3.求的反函数及其定义域.解:当时,则当