42不定积分的换元积分法

第四章不定积分第二节不定积分的换元积分法问题解决方法根据函数的复合过程，设置中间变量.过程令

已知4.2换元积分法在基本积分公式中，自变量x换成任一可微函数后公式仍成立.这就大大扩大了基本积分公式的使用范围成立吗?设所求的不定积分具有如下形式：引入新变量，令。上面的不定积分就化为如果，和都是连续函数，并且容易求得的一个原函数，则4.2.1第一类换元积分法利用复合函数求导公式，可以验证以上公式的正确性．用这种方法的计算程序是：先“凑”微分式，再作变量置换。我们将这类求不定积分的方法称为第一类换元积分法，也称凑微分法。4.2.1第一类换元积分法计算过程解：

例:

求下列不定积分令则，于是再将代回，得4.2.1第一类换元积分法解：

令则，于是再将代回，得

例:求下列不定积分4.2.1第一类换元积分法

注意：在对变量替换比较熟练后，可以不必写出新设的积分变量，而直接凑微分．例如：凑微分变量代换求积分变量回代可以不写出来4.2.1第一类换元积分法通常形如：令进行换元积分，4.2.1第一类换元积分法常见类型（一）课堂练习（一）求下列不定积分4.2.1第一类换元积分法解：

例:求下列不定积分由于，所以4.2.1第一类换元积分法解：

由于所以例:求下列不定积分4.2.1第一类换元积分法通常形如：令进行换元积分，4.2.1第一类换元积分法常见类型（二)课堂练习（二）求下列不定积分4.2.1第一类换元积分法解：

例:求下列不定积分4.2.1第一类换元积分法解：

例:求下列不定积分4.2.1第一类换元积分法1.；2.；

4.；

3.；4.2.1第一类换元积分法应用第一类换元法的常见积分类型如下

5.；

7.；

6.；或；或；或；或；解：

例:求下列不定积分4.2.1第一类换元积分法用类似的方法还可以求得．解：

例:求不定积分4.2.1第一类换元积分法解：

例4各题被积函数的共同特征是二次三项式,即:,它们的积分方法是否相同?

例:求下列不定积分4.2.1第一类换元积分法解：

例:求下列不定积分4.2.1第一类换元积分法类似地，可以得到．解：

例:求下列不定积分4.2.1第一类换元积分法思考:

如何计算?解：

例:求下列不定积分4.2.1第一类换元积分法思考:(1)其它解法;

(2)类似地方法推出课堂练习（三）求下列不定积分4.2.1第一类换元积分法4.2.2第二类换元积分法如何求:4.2.2第二类换元积分法问题解决方法设置中间变量过程令（再应用“凑微分”即可求出结果）4.2.2第二类换元积分法上例作了如下方式的换元：，即令把原积分化为积分变量为t的积分，具体过程如下：其中换元与回代不能省略。这种方法叫做第二类换元积分法，主要用在被积函数含有根号，换元是关键。令单调且可微4.2.2第二类换元积分法解：

例:计算令4.2.2第二类换元积分法解：

计算令例:4.2.2第二类换元积分法说明例7所使用的换元函数为三角函数,我们称之为为三角代换,其目的是化简根式代换的一般规律如下：当被积函数中含有可令变量还原时通常可采用如下方法:4.2.2第二类换元积分法可令可令4.2.2第二类换元积分法例:计算解：