一元二次方程、不等式课件高三数学一轮复习

第5讲

一元二次方程、不等式【考试要求】1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式.2.结合二次函数图象,会判断一元二次方程的根的个数,以及解一元二次不等式.3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法.【核心素养】数学运算、逻辑推理、直观想象.知识梳理·归纳1.一元二次不等式只含有____个未知数,并且未知数的最高次数是___的不等式,称为一元二次不等式,一元二次不等式的一般形式是ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a,b,c均为常数,a≠0).2.二次函数的零点一般地,对于二次函数y=ax2+bx+c,我们把使ax2+bx+c=0的实数x叫做二次函数的零点.注

二次函数的零点为对应方程的根,是一个实数,不是点的坐标.一23.三个二次的对应关系

等式与不等式判别式Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+c的图象方程ax2+bx+c=0的根有两个不相等的实数根x1,x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1=x2=-没有实数根ax2+bx+c>0的解集______________________ax2+bx+c<0的解集___________⌀⌀{x|x<x1,或x>x2}

R

{x|x1<x<x2}注

1.解一元二次不等式一定要结合二次函数开口方向和不等号的方向下结论.2.若关于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0(a>0)的解集为(m,n),则x=m与x=n为一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的两个根.

解题技巧

解题技巧

“穿针引线法”：①最高次系数化为正②从右上方开始画图，奇穿偶切

（2）kx2－2x＋k<0(k∈R).考点二含参数不等式解法

解题技巧解含参数的一元二次不等式时分类讨论的方法(1)当二次项系数中含有参数时,应讨论二次项系数是等于0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式.(2)当不等式对应的一元二次方程的根的个数不确定时,讨论判别式Δ与0的关系.(3)确定无根时可直接写出解集;确定方程有两个不相等的实根时,要讨论两根的大小关系,从而确定解集形式.考点三

三个二次之间的关系

(1)已知2x2＋kx－m<0的解集为(t，－1)(t<－1)，则k＋m的值为____．因为2x2＋kx－m<0的解集为(t，－1)(t<－1)，所以x＝－1为方程2x2＋kx－m＝0的一个根，所以k＋m＝2.

考点四

一元二次不等式恒(能)成立问题1.已知关于x的不等式x2－4x-m≥0对任意的x∈R恒成立，则有(

)A．m≤－3B．m≥－3C．－3≤m<0 D．m≤－4变形：“对任意的x∈R恒成立”改为“对任意的x∈(0,1]恒成立”，则m取值范围_________2.已知关于x的不等式x2－mx+1>0对任意的x∈R恒成立，则m取值范围_________变形：“对任意的x∈R恒成立”改为“对任意的x∈(0,1]恒成立”，则m取值范围_________3.已知关于x的不等式mx2－x+1>0对任意的x∈R恒成立，则m取值范围______变形：“对任意的x∈R恒成立”改为“对任意的x∈(0,1]恒成立”，则m取值范围_________考点四

一元二次不等式恒(能)成立问题

考点四

一元二次不等式恒(能)成立问题解题技巧在给定区间上的恒成立问题的求解方法(1)若f(x)>0在集合A中恒成立,即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集,可以先求解集,再由子集的含义求解参数的值(或范围).(2)转化为函数值域问题,即已知函数f(x)的值域为[m,n],则f(x)≥a恒成立⇒f(x)min≥a,即m≥a;f(x)≤a恒成立⇒f(x)max≤a,即n≤a.(3)对于以下两种题型,可以利用二次函数在端点m,n处的取值特点确定不等式求范围.①ax2+bx+c<0(a>0)对x∈[m,n]恒成立;②ax2+bx+c>0(a<0)对x∈[m,n]恒成立.注:一般地,知道谁的范围,就选谁当主元;求谁的范围,谁就是参数.

解题技巧一元二次不等式在给定区间上的有解问题解题策略(1)分离参数法:把不等式化为a>f(x)或a<f(x)的形式,只需a>f(x)min或a<f(x)max.(2)最值转化法;若f(x)>0在集合A中有解,则函数