举一反三系列高二高考数学同步及复习资料人教A版选择性必修2专题4.8 等比数列的概念（重难点题型检测）（含答案及解析）

专题4.8等比数列的概念（重难点题型检测）【人教A版2019选择性必修第二册】考试时间：60分钟；满分：100分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本节内容的具体情况！一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2021·北京·高二期末（理））在等比数列an中，a1=8，q=12，则aA．±14 B．4 C．±4 2．（3分）（2022·宁夏·高三期中（文））设an是等比数列，且a2+a3+aA．24 B．48 C．32 D．643．（3分）（2022·甘肃·高二阶段练习）已知等比数列{an}，满足log2a2+A．2 B．4 C．±2 D．±44．（3分）（2022·黑龙江·高三阶段练习）在等比数列an中，a1，a13是方程x2-13A．13 B．±13 C．4 D．5．（3分）（2022·陕西·高二期中）已知−1,a1,a2,−7成等差数列，A．−6 B．6 C．−12 D．−6或66．（3分）（2022·全国·高二期中）数列{an}满足an+1＝2an+1，a1＝1，若bn＝λan﹣n2+4n为单调递增数列，则λ的取值范围为（）A．λ＞18 B．λ＞14 C．7．（3分）（2022·全国·高二课时练习）已知数列an是各项均大于0的等比数列，若bn=A．bn一定是递增的等差数列； B．bC．2b2n−1+1是等差数列； 8．（3分）（2022·全国·高三专题练习）在边长为243的正三角形三边上，分别取一个三等分点，连接成一个较小的正三角形，然后在较小的正三角形中，以同样的方式形成一个更小的正三角形，如此重复多次，得到如图所示的图形（图中共有10个正三角形），其中最小的正三角形的面积为（

）A．334 B．1 C．32二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2021·全国·高二课时练习）（多选）已知等比数列an的前3项分别为x，x−2，2x−x2A．an=1 B．an=−1n−110．（4分）（2022·江苏南通·高二期中）已知数列an为等比数列，则（

A．数列a2，a4，B．数列a1⋅a2，C．数列a1+a2，D．数列a1+a2+11．（4分）（2022·江苏·高三开学考试）已知等比数列an满足a1>0，公比q>1，且aA．aB．当n=2021时，a1C．当n=1011时，a1D．存在n<1011，使得a12．（4分）（2022·黑龙江·高二阶段练习）等比数列{an}的公比为q，且满足a1>1，a1010aA．0<q<1 B．aC．Tn≥T1010 D．使三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2022·上海·高二期末）等比数列an中，a1+a14．（4分）（2022·陕西·高二期中）已知an是等比数列，若1是a2，a4的等比中项，4是a6，a8的等比中项，则15．（4分）（2022·上海高二期中）若数列an和bn满足a1=2，b1=0，2an+116．（4分）（2021·全国·高二课时练习）设等比数列{an}的公比为q，其前n项之积为Tn，并且满足条件：a1>1，a2016a2017>1，a2016−1a2017−1<0，给出下列结论：①0<q<1；②四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（2022·陕西·高二阶段练习）依次排列的四个数，其和为13，第四个数是第二个数的3倍，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，求这四个数.18．（6分）（2022·全国·高二课时练习）（1）已知等比数列an满足a1=14（2）已知等比数列an为递增数列.若a1>0，且2a419．（8分）（2022·辽宁·高三期中）设等比数列an满足a1+(1)求an(2)记bn=log3a20．（8分）（2022·北京·高二期中）设an是公比不为1的等比数列，a1为a2(1)求an(2)若a1>0，a421．（8分）（2023·全国·高三专题练习）已知数列{an}和{bn}满足：a1=λ，(1)对于任意实数λ，证明：数列{a(2)试判断数列{b22．（8分）（2022·安徽·高二阶段练习（理））数列an中，a1=1，a（1）设bn=1−1（2）设数列n2bn的前n项积为Tn，求专题4.8等比数列的概念（重难点题型检测）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2021·北京·高二期末（理））在等比数列an中，a1=8，q=12，则aA．±14 B．4 C．±4 【解题思路】计算出a6【解答过程】由已知可得a6=a因此，a4与a8的等比中项是故选：A.2．（3分）（2022·宁夏·高三期中（文））设an是等比数列，且a2+a3+aA．24 B．48 C．32 D．64【解题思路】根据已知条件和等比数列的性质求得q的值，结合a6【解答过程】设等比数列an的公比为q则a2a3两式相除，得q=2，因此，a6故选：B.3．（3分）（2022·甘肃·高二阶段练习）已知等比数列{an}，满足log2a2+A．2 B．4 C．±2 D．±4【解题思路】利用对数运算性质、等比中项可得a2a11=a【解答过程】令{an}由log2(a2a所以a11=a又a2a11所以a6综上，q=2.故选：A.4．（3分）（2022·黑龙江·高三阶段练习）在等比数列an中，a1，a13是方程x2-13A．13 B．±13 C．4 D．【解题思路】由已知条件结合一元二次方程根与系数的关系，利用等比数列的性质求解．【解答过程】∵a1,∴a∴a又等比数列an中奇数项符号相同，可得∴a故选：C．5．（3分）（2022·陕西·高二期中）已知−1,a1,a2,−7成等差数列，A．−6 B．6 C．−12 D．−6或6【解题思路】根据等差和等比数列通项公式可求得公差d和公比q的平方，由此可得a1【解答过程】设−1,a1,a2,−7构成的等差数列公差为∴d=−7−−13=−2，∴a1=−1+d=−3，a∴b故选：A.6．（3分）（2022·全国·高二期中）数列{an}满足an+1＝2an+1，a1＝1，若bn＝λan﹣n2+4n为单调递增数列，则λ的取值范围为（）A．λ＞18 B．λ＞14 C．【解题思路】根据给定条件求出数列{an}通项，再由数列{bn}为单调递增数列列出不等式并分离参数即可推理计算作答．【解答过程】数列{an}中，an+1＝2an+1，a1＝1，则有an+1+1＝2（an+1），而a1+1＝2，因此，数列{an+1}是公比为2的等比数列，an+1=2则bn=λ(2n−1)−n2+4n，因数列{bn}为单调递增数列，即∀n∈则λ（2n+1﹣1）﹣（n+1）2+4（n+1）﹣[λ（2n﹣1）﹣n2+4n]＝λ⋅2n﹣2n+3＞0，λ＞2n−3令cn=2n−32n，则cn+1当n≤2时，cn+1＞cn，当n≥3时，cn+1＜cn，于是得c3=38是数列{cn}的最大项，即当n＝3时，2n−32所以λ的取值范围为{λ|λ＞3故选C．7．（3分）（2022·全国·高二课时练习）已知数列an是各项均大于0的等比数列，若bn=A．bn一定是递增的等差数列； B．bC．2b2n−1+1是等差数列； 【解题思路】设出等比数列an的公比，求出b【解答过程】设等比数列an的公比为q，依题意有a1>0,q>0，abn=log2(a1当0<q<1时，log2q<0，等差数列当a1>0,a1≠1,q=12b2n+1+1−(23bn+13故选：C.8．（3分）（2022·全国·高三专题练习）在边长为243的正三角形三边上，分别取一个三等分点，连接成一个较小的正三角形，然后在较小的正三角形中，以同样的方式形成一个更小的正三角形，如此重复多次，得到如图所示的图形（图中共有10个正三角形），其中最小的正三角形的面积为（

）A．334 B．1 C．32【解题思路】设第n个正三角形的边长为an，根据已知条件可得an+1a【解答过程】设第n个正三角形的边长为an，则a由勾股定理知an+1所以an+12=13所以{an}所以an=243×(所以a10=3故选：A.二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2021·全国·高二课时练习）（多选）已知等比数列an的前3项分别为x，x−2，2x−x2A．an=1 B．an=−1n−1【解题思路】根据等比数列的性质和定义求得x，再得公比，从而可得通项公式．【解答过程】由于等比数列an的前3项分别为x，x−2，2x−则x−22=x22−x，显然x≠2，得x当x=1时，公比q=−1，an=−1n−1；当x=−2时，公比故选：BD．10．（4分）（2022·江苏南通·高二期中）已知数列an为等比数列，则（

A．数列a2，a4，B．数列a1⋅a2，C．数列a1+a2，D．数列a1+a2+【解题思路】根据比数列的定义，逐一判断选项.【解答过程】设等比数列an的公比为qA.由等比数列的性质知a4a2=q2，B.可知数列a1⋅a2，a3C.当数列an为1，−1，1，−1，1……时，aD.数列a1+a2+a3故选：BD.11．（4分）（2022·江苏·高三开学考试）已知等比数列an满足a1>0，公比q>1，且aA．aB．当n=2021时，a1C．当n=1011时，a1D．存在n<1011，使得a【解题思路】由等比数列的性质、单调性及不等式的性质可对每一个选项进行判断【解答过程】对A，∵a1>0，q>1，∴an>0，又∴a2022对B和C，由等比数列的性质可得a1故a1a2∵a2a2022=因为a2a3∵a1a2⋅⋅⋅a2021<1，a1∴a1012>1，故当n=1011时，对D，因为0<a1<1，q>1，所以an是单调递增数列，所以当n<1011时，故选：AC.12．（4分）（2022·黑龙江·高二阶段练习）等比数列{an}的公比为q，且满足a1>1，a1010aA．0<q<1 B．aC．Tn≥T1010 D．使【解题思路】求得q的取值范围判断选项A；求得a1010a1012与1的关系判断选项B；求得Tn与T1010【解答过程】由(a1010−1)(a1011−1)<0由①得a1010>1，a1011<1，又a由②得a1010<1，a1011>1，又又a1011>1，则q>1，则数列为递增等比数列.这与a1综上，可得0<q<1.选项A判断正确；a1010a1012=a又数列{an}中a1>1，a则有a1则TnT2019=aT2021则使Tn<1成立的最小自然数故选：AD.三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2022·上海·高二期末）等比数列an中，a1+a2+【解题思路】基本量法联立方程组解出a1【解答过程】已知a1+a两式相除得a1q代入a1q3−故答案为：2×314．（4分）（2022·陕西·高二期中）已知an是等比数列，若1是a2，a4的等比中项，4是a6，a8的等比中项，则【解题思路】首先根据等比中项求出a3和a7，再求出公比，再利用等比数列通项即可求【解答过程】由题意可知，∵a3是a2和a4的等比中项，∴a3=1∴a7=4.又a而a12故答案为：±16215．（4分）（2022·上海高二期中）若数列an和bn满足a1=2，b1=0，2an+1【解题思路】由题干中两式相加构造等比数列an+b【解答过程】因为2an+1=3所以2a即an+1又a1+b1=2又2an+1=3所以an+1所以a2022故答案为：3×216．（4分）（2021·全国·高二课时练习）设等比数列{an}的公比为q，其前n项之积为Tn，并且满足条件：a1>1，a2016a2017>1，a2016−1a2017−1<0，给出下列结论：①0<q<1；【解题思路】分别讨论q≥1和q<0，找到矛盾，可判断①，通过0<q<1以及a2016−1a2017−1<0可得到a2017<1，则通过a2016a2018=a20172可判断②，通过n≤2016,n∈【解答过程】解：∵a1若q≥1，则a2016此时a2016−1a2017−1若q<0，a2016此时a2016a2017<0，与∴0<q<1，故①正确；因为a1>1，0<q<1，由a2016−1∴a2016a因为a1>1，0<q<1，所以当n≤2016,n∈N∗时，an>1，当所以T2016是数列{TnT4032T4033∴使Tn>1成立的最大自然数等于4032，故故答案为：①③.四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（2022·陕西·高二阶段练习）依次排列的四个数，其和为13，第四个数是第二个数的3倍，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，求这四个数.【解题思路】设出四个数分别为a，b，c，d，根据条件列出方程，求出答案.【解答过程】设四个数分别为a，b，c，d，则a+b+c+d=13将d=3b代入2c将c=2b，d=3b代入将c=2b，a=13-6b代入解得：b=0当b=0时，则c当b=2时，解得：a=1，c=4故这四个数为1,2,4,6.18．（6分）（2022·全国·高二课时练习）（1）已知等比数列an满足a1=14（2）已知等比数列an为递增数列.若a1>0，且2a4【解题思路】（1）根据等比数列的通项公式求出q=2，可得a2（2）根据等比数列的通项公式求出q=2或q=12，再根据等比数列an为递增数列，且a【解答过程】（1）设等比数列an的公比为q由a3a5解得a4=2，∴q3=a4a（2）由2a4+易知a4≠0，所以2+2q解得q=2或q=1因为等比数列an为递增数列，且a1>0，所以q>119．（8分）（2022·辽宁·高三期中）设等比数列an满足a1+(1)求an(2)记bn=log3a【解题思路】（1）用基本量a1（2）代入an=3n，求解可得【解答过程】（1）设an的公比为q则a1解得a所以an的通项公式为a（2）因为log3所以bm=m，b由m+整理得3m解得m＝4或m=−64故m＝