举一反三系列高考高中数学同步及复习资料人教A版必修2专题7.7 复数的运算大题专项训练（30道）（含答案及解析）

专题7.7复数的运算大题专项训练（30道）【人教A版2019必修第二册】姓名：___________班级：___________考号：___________1．（2023·高一课时练习）已知复数z=−21+32．（2023·高一课时练习）已知非零复数z1，z2满足z13．（2023·高三课时练习）已知z是复数，z+2i、z2−i均为实数（i为虚数单位），且复数(z+a4．（2022春·陕西榆林·高二校考期中）已知复数z=bi（b∈(1)求b的值；(2)若复数m−z2−8m在复平面内对应的点在第二象限，求实数5．（2022春·广西桂林·高二校考期中）已知复数z=m2−2m−15+(1)若z为实数，求m的值；(2)若z为纯虚数，求z1+6．（2022·高一单元测试）设复数z1(1)若z1+z(2)若z1z27．（2022春·重庆酉阳·高一阶段练习）已知复数z=1+bi（i为虚数单位，b>0，且z(1)求复数z；(2)若复数ω=z1−i8．（2023·高一课时练习）设复数ω=−1(1)ω，ω2(2)1+ω+ω9．（2022春·重庆沙坪坝·高一期中）已知a，bR，i是虚数单位，若复数z1=a−i与z2(1)判断复平面内z2(2)计算(a+bi10．（2023·高一单元测试）已知fz=z−1，且(1)求复数z1的三角形式与arg(2)求z111．（2023·高一课时练习）已知复数z=3x−x2−x(1)若f(x)=8，且x>0，求复数iz(2)当f(x)取得最小值时，求复数z1+212．（2022春·广西玉林·高一阶段练习）已知复数z=1−(1)求z的共轭复数；(2)若az+b=1−i，求实数a，b13．（2023·高一课时练习）复数z=(1+i)(1)求z及z；(2)若z2+az+b=2+3i14．（2022秋·山东日照·高二统考期中）已知z是复数，z+2i（i为虚数单位）为实数，且z+(1)求复数z；(2)若复数(z+ai)215．（2022·湖南·模拟预测）国际数学教育大会（ICME）是世界数学教育规模最大、水平最高的学术性会议，第十四届大会将在上海召开，其会标如图，包含若许多数学元素，主画面是非常优美的几何化的中心对称图形，由弦图、圆和螺线组成，主画面标明的ICME—14下方的“”是用中国古代八进制的计数符号写出的八进制数3744，也可以读出其二进制码（0）11111100100，换算成十进制的数是n，求(1+i)2n及16．已知z=1+i(1)设ω=z2+3(2)如果z2+az+bz2−z+1=1−17．（2022春·河南郑州·高二期中）已知复数z=1+mi（i是虚数单位，m∈R），且z(1)设复数z1=m(2)设复数z2=a-i18．（2022春·浙江·高一期中）已知复数z使得z+2i∈R，z(1)求复数z的模；(2)若复数z+mi2在复平面上对应的点在第一象限，求实数19．（2022秋·广东中山·高二阶段练习）已知z1(1)求z1(2)设复数z1、z2、z3在复平面内所对应的点分别为Z20．（2022秋·浙江台州·高二开学考试）复数z1=a−i，z2=1−2(1)求复数z1(2)若复数z1+b+22(b∈R21．（2022春·江苏盐城·高一期中）若复数z1=1+ai(1)若z1+z(2)若a=2，求z122．（2022春·福建福州·高一期末）已知−1+2i是关于x的方程x2+px+q=0(1)求p，(2)记复数z=p+qi，求复数z23．（2022春·北京昌平·高一期中）已知复数z=(1−(1)求(z+2)2(2)若−mz+n=1+im,n∈R，求24．（2022秋·山东临沂·高二开学考试）已知复数z=3−(1)求复数z的共轭复数和模；(2)若z2+az+b=za,b∈R.求25．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·高二开学考试）已知复数z1=3+4i(1)若z=z1z(2)若复数z1+az26．（2022·全国·高一专题练习）已知复数z满足z2−2z+4=0，虚数z1(1)求z；(2)若z1+z27．（2022春·广西百色·高二期末）已知复数z1=2+(1)求z1(2)求z128．（2022春·上海长宁·高一阶段练习）已知复数z满足|z|=2，z2的虚部为(1)求复数z；(2)若Rez>0，设z、z2、4z−z2在复平面上的对应点分别为A、B、29．（2023·高一课时练习）设i为虚数单位，n为正整数，θ∈0,2π(1)观察cosθ+isinθ2=cos(2)若复数z=3−i30．（2022春·上海普陀·高一阶段练习）已知复数z1、z2对应的向量为(1)若向量OZ1=(−3,4)，且OZ1⊥O(2)容易证明:z1(3)设z1=1,z专题7.7复数的运算大题专项训练（30道）【人教A版2019必修第二册】姓名：___________班级：___________考号：___________1．（2023·高一课时练习）已知复数z=−21+3【解题思路】由题知z=−1+3i2，z2【解答过程】解：因为z=−2所以z所以z所以，z+z所以1+z+2．（2023·高一课时练习）已知非零复数z1，z2满足z1【解题思路】设z1=a+bi,z而z1z2=a+bic+di=【解答过程】设zz1+则(a+c)化简得ac+db=0∴z又bc−ad≠0，否则z1则z1z23．（2023·高三课时练习）已知z是复数，z+2i、z2−i均为实数（i为虚数单位），且复数(z+a【解题思路】设z=x+yix、y∈R，化简z+2i、z2−i并根据其均为实数求得参数x，y，化简【解答过程】设z=x+yix、y∈R，∵z+2i=x+y+2i为实数，∴∵z2−i=x−2i2−i∵z+ai2=4+a−2i∴实数a的取值范围是2,6．4．（2022春·陕西榆林·高二校考期中）已知复数z=bi（b∈(1)求b的值；(2)若复数m−z2−8m在复平面内对应的点在第二象限，求实数【解题思路】（1）利用复数的除法可求z+31−i，再结合其为实数可求（2）利用复数的乘方可求m−z2−8m，再由它对应的点所处的象限可求【解答过程】（1）∵z=bi，∴∵z+31−i是实数，∴b+3=0（2）由（1）知z=−3i∴m−z2∵复数m−z2∴m2−8m−9<06m>0故实数m的取值范围是0,9.5．（2022春·广西桂林·高二校考期中）已知复数z=m2−2m−15+(1)若z为实数，求m的值；(2)若z为纯虚数，求z1+【解题思路】（1）由题意得m2（2）先由题意求得z=16i，再根据复数的除法法则化简复数z【解答过程】（1）若z为实数，则m2−9=0，解得（2）若z为纯虚数，则m2−2m−15=0m2−9≠0，解得故z1+6．（2022·高一单元测试）设复数z1(1)若z1+z(2)若z1z2【解题思路】(1)根据z1+z2是实数，求得(2)由z1z2是纯虚数，可得a=−34【解答过程】（1）解：∵z∴4+a=0,a=−4,z∴z（2）解：∵z所以3+4a=04−3a≠0，解得a=−所以z1故z1的共轭复数为1−7．（2022春·重庆酉阳·高一阶段练习）已知复数z=1+bi（i为虚数单位，b>0，且z(1)求复数z；(2)若复数ω=z1−i【解题思路】（1）由z2为纯虚数，结合题意可求出b=1，即可求出复数z（2）由复数的乘法和除法运算化简复数ω，再由复数的模长公式即可求出答案.【解答过程】（1）因为复数z=1+bi，则z因为z2为纯虚数，所以1−b2=02b≠0所以z=1+i（2）ω=z1−i8．（2023·高一课时练习）设复数ω=−1(1)ω，ω2(2)1+ω+ω【解题思路】（1）写出复数的三角形式，利用三角形式进行计算即可证明；（2）利用复数的三角运算求出ω2，进而可得1+ω+【解答过程】（1）∵ω=−∴ω(ω13所以ω，ω2（2）∵ω∴1+ω+ω9．（2022春·重庆沙坪坝·高一期中）已知a，bR，i是虚数单位，若复数z1=a−i与z2(1)判断复平面内z2(2)计算(a+bi【解题思路】（1）根据共轭复数的定义求得a,b，得复数z2（2）由复数的乘方法则计算．【解答过程】（1）因为复数z1=a−i与z则a=2，b=1，z2=2+i，其对应的点为(2,1)故在第一象限;（2）(a+bi10．（2023·高一单元测试）已知fz=z−1，且(1)求复数z1的三角形式与arg(2)求z1【解题思路】（1）求出复数z1的模和辐角主值后，可得复数z（2）根据fz=z−1，fz1−z2=4+4i【解答过程】（1）因为z1=2−2i，所以其模r=则cosθ=22因为复数z1=2−2i对应的点(2,−2)在第四象限，所以arg所以复数z1的三角形式为z（2）因为fz=z−1，所以fz因为z1=2−2i，所以2+2所以z2=−3−2i所以z1−z2z1+11．（2023·高一课时练习）已知复数z=3x−x2−x(1)若f(x)=8，且x>0，求复数iz(2)当f(x)取得最小值时，求复数z1+2【解题思路】（1）由复数的实部、虚部的运算，可得f(x)=x2+2x，再结合题意可得x=2（2）先求出函数取最小值时x对应的值，再结合复数的除法运算即可得解.【解答过程】（1）由题意可得f(x)=3x+x因为f(x)=8，所以x2又x>0，所以x=2，即z=6−2i则iz=所以复数iz的虚部为6（2）因为f(x)=x2+2x=(x+1)2此时，z=−3−2i则z1+2所以z1+2i的实部为12．（2022春·广西玉林·高一阶段练习）已知复数z=1−(1)求z的共轭复数；(2)若az+b=1−i，求实数a，b【解题思路】（1）根据复数乘方、除法的运算法则，结合共轭复数的定义进行求解即可；（2）根据复数相等的定义进行求解即可.【解答过程】（1）z=1−所以z的共轭复数为1−i（2）az+b=1−i13．（2023·高一课时练习）复数z=(1+i)(1)求z及z；(2)若z2+az+b=2+3i【解题思路】（1）首先根据复数的运算求解出复数z，进而根据复数的模长公式求解z；（2）首先将z=−1+3i代入等式，然后根据等式关系构造方程组，解方程组即可得到实数a，b【解答过程】（1）∵z=(1+∴z=（2）由（1）可知z=−1+3i，由z2+az即(−8−a+b)+(−6−3a)i=2+3i，∴14．（2022秋·山东日照·高二统考期中）已知z是复数，z+2i（i为虚数单位）为实数，且z+(1)求复数z；(2)若复数(z+ai)2【解题思路】（1）设z=c+di（c，d∈R（2）根据复数的运算法则和几何意义即可得出.【解答过程】（1）根据题意，设复数z=c+di（c，d∈R则z+2i=c+(d+2)i为实数，即d+2=0所以z=c−2i，z又∵z+z=c+2i+c−2i=8所以复数z=4−2i（2）由（1）知，(z+ai所以16−a−22>0,8a−2所以实数a的取值范围是(−2,2).15．（2022·湖南·模拟预测）国际数学教育大会（ICME）是世界数学教育规模最大、水平最高的学术性会议，第十四届大会将在上海召开，其会标如图，包含若许多数学元素，主画面是非常优美的几何化的中心对称图形，由弦图、圆和螺线组成，主画面标明的ICME—14下方的“”是用中国古代八进制的计数符号写出的八进制数3744，也可以读出其二进制码（0）11111100100，换算成十进制的数是n，求(1+i)2n及【解题思路】利用进位制求出n的值，然后利用复数代数形式的乘除运算化简即可求出结果.【解答过程】∵11111100100=1×210+1×∴n=2020，∴(1+i1+i16．已知z=1+i(1)设ω=z2+3(2)如果z2+az+bz2−z+1=1−【解题思路】（1）求出z=1+i的共轭复数，代入ω=z2+3z（2）根据z2+az+bz2−z+1【解答过程】（1）已知z=1+i，∴∴ω=1+i2+31−i−4=2i+3−3i−4=−1−i，∴ω对应的点是(−1,−1)，ω对应的复数辐角为θ，故（2）∵z∴a+b∴a+b=1a+2=1，解得17．（2022春·河南郑州·高二期中）已知复数z=1+mi（i是虚数单位，m∈R），且z(1)设复数z1=m(2)设复数z2=a-i【解题思路】（1）根据已知条件，结合纯虚数和共轭复数的定义，求出m，再结合复数模公式，即可求解；（2）根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解.【解答过程】（1）∵z=1+mi，∴z(3+∵z⋅∴3+m=01-3故z=1-3z1则|z（2）∵i∴z∵复数z2∴a+110>0故实数a的取值范围为(-1,+∞).18．（2022春·浙江·高一期中）已知复数z使得z+2i∈R，z(1)求复数z的模；(2)若复数z+mi2在复平面上对应的点在第一象限，求实数【解题思路】（1）设复数z=a+bi，a,b∈R，由复数的运算性质和复数为实数的条件，虚部为0，解方程即可得到复数（2）计算复数(z+mi)2，由复数对应的点在第一象限，可得m【解答过程】（1）解：设复数z=a+bi，a,b∈根据题意，z+2i所以b+2=0，即b=−2；又z2−所以2b+a=0，即a=−2b=4，所以z=4−2i，则z（2）解：由（1）可知z=4−2i所以(z+mi在复平面内对应的点为16−(m−2)所以8(m−2)>0且16−(m−2)2>0，解得2<m<6，即m19．（2022秋·广东中山·高二阶段练习）已知z1(1)求z1(2)设复数z1、z2、z3在复平面内所对应的点分别为Z【解题思路】（1）由复数的四则运算法则求解（2）由复数的几何意义求解【解答过程】（1）zz=(1×3−2×4)+(1×4+2×3)i（2）若OZ1若OZ1Z2若OZ3Z1Z20．（2022秋·浙江台州·高二开学考试）复数z1=a−i，z2=1−2(1)求复数z1(2)若复数z1+b+22(b∈R【解题思路】（1）利用纯虚数的定义，由a+25（2）利用复数的几何意义，由题意得b2【解答过程】（1）z1因为z1z2为纯虚数，所以a+2（2）z1由已知b2解得b>1，所以实数b的取值范围为1,+∞21．（2022春·江苏盐城·高一期中）若复数z1=1+ai(1)若z1+z(2)若a=2，求z1【解题思路】（1）利用复数的加法化简复数z1+z2，根据复数的概念可得出关于实数（2）当a=2时，利用复数的除法可求得复数z1【解答过程】（1）解：由已知z1+z2=4+（2）解：当a=2时，z122．（2022春·福建福州·高一期末）已知−1+2i是关于x的方程x2+px+q=0(1)求p，(2)记复数z=p+qi，求复数z【解题思路】（1）将−1+2i代入方程，利用复数相等，得到方程，求出p=2,q=5（2）在第一问的基础上得到z1+【解答过程】（1）由题意得:−1+2i即1−4i所以−3−p+q+2pi所以−3−p+q=0，2p−4=0，解得：p=2,q=5；（2）z=2+5i，z所以z1+23．（2022春·北京昌平·高一期中）已知复数z=(1−(1)求(z+2)2(2)若−mz+n=1+im,n∈R，求【解题思路】（1）根据复数的乘除法运算求解即可；（2）根据复数相等的条件可得n=−1m=1，进而可得【解答过程】（1）z=(1−i（2）由（1）z=−2−i，若−mz+n=1+i则−m−2−故2m+n=1m=1，解得n=−1m=1，故24．（2022秋·山东临沂·高二开学考试）已知复数z=3−(1)求复数z的共轭复数和模；(2)若z2+az+b=za,b∈R.求【解题思路】（1）利用复数运算化简z，从而求得z的共轭复数以及模.（2）根据复数相等列方程，化简求得a,b的值.【解答过程】（1）z=3−所以z的共轭复数z=1+z=（2）因为z2即1−i也即a+b+−2−a所以a+b=1−2−a=1，解得a=−325．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·高二开学考试）已知复数z1=3+4i(1)若z=z1z(2)若复数z1+az【解题思路】（1）先由复数除法运算化简求出z，即可得出共轭复数；（2）先求出z1【解答过程】（1）由z=z1z（2）由题意，复数z1=3+4i，z2∵复数z1∴4−2a>0解得a<2，∴实数a的取值范围−∞26．（2022·全国·高一专题练习）已知复数z满足z2−2z+4=0，虚数z1(1)求z；(2)若z1+z【解题思路】（1）解方程即可求解；（2）先化简zz+z【解答过程】（1）易解得z=2±12i（2）由（1）可知，z1所以z1又z1+z27．（2022春·广西百色·高二期末）已知复数z1=2+(1)求z1(2)求z1【