【东南大学】《几何与代数》总复习资料

几何与代数总复习

主讲:关秀翠

东南大学数学系东南大学线性代数课程

线性方程组Ax=b

加法和数乘

转置:(AB)T=BTATA1:AB=BA=E分块运算:分块转置初等行(列)变换秩:r(A)=行(列)秩Ak,f(A)Eigenpair:A=(≠)相似:P1AP=B

计算

xR3时判别直线和平面的位置关系

b可由A的列向量组A1,A2,…,An线性表示方阵的特征值和特征向量

A=(≠)方阵的相似对角化问题

P1AP=

实对称阵正交相似对角化Q1AQ=diag(

1,…,

n)正交变换化实二次型为标准形直角坐标变换化二次曲面为标准形线性方程组的应用矩阵的运算一般矩阵方阵AB:交换律消去律|A|:Rnn

Rtr(A)=

aii:Rnn

RA*=(Aji):AA*=|A|E相合:PTAP=B正定:AT=A,xTAx>0(x≠)判别解:r1<r2无解r1=r2=n唯一解,r1=r2<n无穷多解(Ab)

rref基解:非主列变量=e1..enr特解:非主列变量=0

方阵

零矩阵

初等矩阵

对称矩阵

对角矩阵单位矩阵

反对称矩阵

正交矩阵

正定矩阵

可逆矩阵

数量矩阵

方阵《几何与代数》复习要点方阵的特殊形式

特殊矩阵行矩阵A1

n:只有一行,又名行向量.列矩阵An

1:只有一列,又名列向量.零矩阵:每个元素都是0,常记为Om

n或O.

初等矩阵:由单位矩阵经过一次初等变换所得.方阵:行数=列数.

对称矩阵:AT=A.

对角矩阵:diag{

1,

2,…,

n},常用表示.

数量矩阵:kE,kI,其中k为常数.

单位矩阵:主对角线元素都是1,其余元素都是0,

常记为E或I.

反对称矩阵:AT=

A.

正交矩阵:QTQ=QQT=E.

正定矩阵:AT=A且

x

有xTAx>0.可逆矩阵:AB=BA=E.《几何与代数》复习要点矩阵乘法消去率一般不成立.

矩阵乘法的交换律和消去率

矩阵乘法交换率一般不成立(AB)kAkBk

(A+B)2

A2

+B2+2AB

(A+B)(A

B)

A2

B2但是，消去率在A可逆时成立.矩阵乘积可交换的情况：1.方阵4.5.AkAl=AlAk

3.

(aEm)Am×n=

Am×n(aEn)2.对角矩阵

=

《几何与代数》复习要点非零子式的最高阶数矩阵的秩6)r(A)

r(B)

r(A

B)

r(A)+r(B)

A中至少有一个r级子式0,任一k(>r)级子式=0.

r(Am

n)min{m,n}9)设A是n(2)阶方阵,则2)A,B相抵

A,B同型,

r(A)=

r(B)=r(PAQ)

(P,Q可逆).3)

r(Am

n)=r

A

P,Q可逆,A=P

Q.

作用初等变换终止矩阵结果秩阶梯阵r(A)=非0行数行变换极大无关组(基)阶梯阵主列对应原矩阵的列行变换行最简形非主列的线性表示关系解线性方程组Ax=b(AX=B)(Ab)行变换(AB)行变换阶梯阵判别解:r1<r2无解r1=r2=n唯一解,r1=r2<n无穷多解行最简形基解:非主列变量为e1..enr特解:非主列变量为0逆矩阵行变换行最简形(AE)

(EA

1)行列式行/列变换三角形某行(列)有一非0元素注意对角线方向的符号按此行(列)展开

二.用初等变换求逆矩阵(左行右列)(A

E)初等行变换(E

A

1)(A

B)初等行变换(EA

1B)解AX=B

X=A

1B解XA=B

X=BA

1一.初等阵与初等变换一次初等行变换

(左行右列)初等列变换ABE

BA

1

三.用初等变换解矩阵方程一次初等列变换

方阵的行列式

定义

性质

计算n元方程组Ax=b,|A|≠0

秩:r(A)=r

r级子式0,任一k(>r)级子式=0

特征多项式:|EA|

伴随矩阵:A*=(Aji),AA*=|A|E

逆矩阵:A1=A*/|A|

应用

克拉默法则:xj=Dj/D

面积/体积

矩阵

叉积/混合积

几何

|AT|=|A|.|A|

|A|.|A||A|.1.化为三角形行列式

3.行列式按行(列)展开

2.箭形行列式的计算4.提公因子法5.降阶递推法

aikAjk=|A|ij,6.分解行列法m

n矩阵n阶行列式定义加法数乘乘法符号行列式与矩阵的区别

||,初等变换时用=[]或(),初等变换时用

n阶方阵A可逆

A与E相抵

A的行最简形为E.

A为初等阵的乘积

多角度看可逆阵

A的行(列)向量组线性无关

任一n维向量

都可由行(列)向量组线性表示

A的特征值均不为零

A的行(列)向量组的秩都是n.(非退化阵)(满秩)

A的行(列)向量组是Rn的基.

A为Rn的两组基下的过渡矩阵.

A的解空间的维数为0.

A的列空间的维数为n.

ATA为正定阵.

方阵A与E相似

A=E

A与E相合

A正定

i>0

p=n

A=PTP

k>0

特征值

和

特征向量

|

E–A|=|

E–(P1AP)|

i=tr(A),

i=|A|A可逆

A的特征值≠0,1/

是A

1的特征值;|A|/

是A*的特征值.

|

E–A|=|

E–AT|A

=

f(A)

=f(

)

对应于不同特征值的特征向量线性无关AT=A

R,对应于不同特征值的特征向量正交

性质

应用

计算

定义相似对角化

用A=P

P

1

计算f(A)=Pf(

)P1化实二次型为标准形

|

E–A|=0

(

E–A)x=0

A

=

其中

P–1AP=diag(

1,…,

n)

A有n个l.i.的特征向量A(复)

r(

iE

A)=n

ni

A有n个不同特征值

A

A的零化多项式的根可能是但未必都是A的特征值.

等价关系定义矩阵定义等价类代表不变量

Rn

nRm

n相抵相似正交相似Rn

n,实对称相抵标准形为初等阵

i为特征值

①秩

②特征值,迹,行列式

①②

①秩

相合Rn

n③r,p,q,对称性,①秩

③

实对称若A可相似对角化

实对称阵相似，特征值同，p,q同，必相合；反之不然.Ep

Eq

O

正定性

二次曲面f(x1,x2,x3)=xTAx+BTx+c=0x=Qy,作直角系的旋转变换作坐标轴的平移g(y)=yT

y+B’Ty+c=0y=z+

1z12+

2z22+

3z32=bzi+dQ正交一般方程表示的二次曲面即

1y12+

2y22+

3y32+b1

y1+b2

y2+b3

y3+c=0标准方程Q正交且|Q|=1右手系→右手系《几何与代数》复习要点

条件方程p,qd二次曲面p=3,q=0r(g)=3,b=0椭球面球面p=2,q=1d>0p=0,q=3d<0单叶双曲面d>0d<0双叶双曲面d=0二次锥面r(g)=2,b

0d=0p=2,q=0椭圆抛物面p=1,q=1双曲抛物面r(g)=2,b=0d

0p=2,q=0椭圆柱面p=1,q=1双曲柱面r(g)=1d=0p=1,q=0p=0,q=1抛物柱面

几个概念之间的联系

向量

向量

线性运算

度量

内积

线性映射

向量

向量组

矩阵

线性方程组

代数向量

几何向量

线性组合

线性表示

线性相关性

基

维数

极大无关组

秩

向量空间

长度

夹角

单位向量

正交

线性变换

正交变换

正交矩阵Schmidt正交化方法《几何与代数》复习要点向量空间向量空间的例子基维数

VRn,对加法数乘封闭Rn本身{e1,e2,…,en}n零空间{

}无0齐次线性方程组的解空间{xRn|Ax=,ARm

n}Ax=

的基础解系n

r(A)生成子空间L(

1,…,s)={k1

1+…+ks

s|k1,…,ks

R}

1,…,s的极大无关组

1,…,s的秩A的秩A的列向量组的极大无关组矩阵A的列空间,即L(A1,A2,…,An)n

r(A)Ax=

的基础解系A的秩A的列向量组的极大无关组A的核空间或零空间K(A)={x

Rn|Ax=

}A的值域R(A)={Ax|x

Rn}=L(A1,A2,…,An)

x1

1+x2

2+…+xs

s=

只在x1=x2=…=xs=0时成立.

(

1,…,

s)x=

只有零解.

(

1,…,

s)x=Ax=

有非零解向量组

1,…,

s-1,

s线性相关向量组

1,…,

s-1,

s

线性无关

r(A)<

s

r(A)=

s=向量个数

某个向量

i可由其余的向量线性表示.共线共面的推广唯一表示定理:Il.i.,{I,

}l.d.

可由I唯一线性表示.Th4.3大向量组由小向量组线性表示

大向量组l.d.Th4.5.若I可由II线性表示,则秩(I)

秩(II);且这两个向量组等价

秩(I)=秩(II).反之不成立向量组的线性相关与线性无关

向量组的线性相关与线性无关其中

1,…,

s是维数相同的列向量(

1,

2,…,

s也是维数相同的列向量),则

1,…,

s也是线性相关的.

一些常用的结论

(1)含有零向量的向量组一定线性相关.(2)单个向量

构成的向量组线性相关

=

.(3)两个向量

,

线性相关

与

的分量成比例.(4)若

1,…,

s线性相关,则

1,…,

s,

s+1,…,

t也线性相关.

若

1,…,

s,

s+1,…,

t线性无关,则

1,…,

s也线性无关.

(5)任意n+1个n维向量线性相关.(6)如果向量组,…,线性相关,

1

1

s

s

线性无关.若

1,

2,…,

s线性无关,则,…,

1

1

s

s

《几何与代数》复习要点

则I0与I等价.(7)向量组

1,…,

s

(s

2)线性相关的充分必要条件是:其中至少有某一个向量可由其余的向量线性表示.(8)若向量组

1,…,

s线性无关,而

1,…,

s,

线性相关,则

一定能由

1,…,

s线性表示,且表示的方式是唯一的.(9)若向量组I:

1,…,

s可由向量组II:

1,…,

t

线性表示,并且s>t,则向量组I是线性相关的.(10)若

1,…,

s线性无关,且可由

1,…,

t线性表示,则s

t.(11)若向量组

1,…,

s和

1,…,

t都线性无关,并且这两个向量组等价,则s=t.(12)设I0:

1,…,

r是向量组I:

1,…,

s的一个极大无关组,

一些常用的结论

《几何与代数》复习要点向量组的线性相关与线性无关

这两个向量组的秩都是2,但它们不等价.事实上,I中的不能由II线性表示.)例如:

一些常用的结论

(13)若向量组I:

1,…,

s可由向量组II:

1,…,

t线性表示,则秩(I)秩(II);若这两个向量组等价,则秩(I)=秩(II).(注:一般情况下,两个向量组的秩相等时,它们未必等价!,1000I:;0100II:,0010,00011000《几何与代数》复习要点向量组的线性相关与线性无关向量的数量积、向量积和混合积数量积向量积混合积定义性质性质2

坐标计算||

||=||

||||

||sin

=S□正定性,线性性,Schwartz不等式反对称性

=

·

=0

⊥

×

=

//

·

=a1b1+a2b2+a3b3(,,)=(

)·

=V(平行六面体)轮换对称性,(1),(2),(5)(,,)=0

共面

⊥

a1

a2

a3b1

b2

b3

c1

c2

c3

(,,)=

=i

j

ka1

a2

a3

b1

b2

b3第三章几何空间§3.4空间的平面和直线一.平面的方程1.点法式方程

2.一般方程

3.特殊位置的平面方程

二.空间直线的方程2.标准(对称)方程

3.一般方程

三.与直线、平面有关的一些问题1.夹角

2.距离

3.平面束方程重要信息:

重要工具:三个向量共面

重要信息:

P1P2d=||P0P

s||||s||d=|(P0P)n|

1(A1x+B1y+C1z+D1)+

2(A2x+B2y+C2z+D2)=0第三章几何空间

平面方程

向量的内积

过原点:Ax+By+Cz=0平面方程

=0

向量的混合积

,

,

共面

(

,

,

)=0

平面的点法式方程

A(x

x0)+B(y

y0)+C(z

z0)=0

平面的三点式方程x

x1

y

y1

z

z1

x2

x1

y2

y1

z2

z1=0x3

x1

y3

y1

z3

z1

平面的一般方程

Ax+By+Cz+D=0

特殊位置的平面

//x轴:By+Cz+D=0

平面的截距式方程

x

y

za

b

c++=1

//y轴:Ax+Cz+D=0

//z轴:Ax+By+D=0

x轴:Ax+D=0

y轴:By+D=0

z轴:Cz+D=0《几何与代数》复习要点

直线方程

向量的叉积直线方程

两平面相交平面束

//

=0

a1

a2

a3b1

b2

b3==

直线的对称式方程==

x

x0

y

y0

z

z0

l

m

n

直线的两点式方程==

x

x1

y

y1

z

z1

x2

x1

y2

y1

z2

z1参数方程x=x0+lt

y=y0+mt

z=z0+nt

直线的一般方程A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0(A1,B1,C1)

(

A2,B2,C2)《几何与代数》复习要点

位置关系

点,线,面的位置关系

两直线之间的夹角

(方向向量的夹角)

点到直线:

点到平面:

异面直线:距离

两平面之间的夹角

(法向量的夹角)

直线与平面的夹角

(方向向量与法向量夹角的余角)夹角

三个平面A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0A3x+B3y+C3z+D3=0《几何与代数》复习要点解：（01-02）六(12%)设A=求参数k;2.求一个4

2矩阵B,使得AB=O,且秩(B)=2;

因为秩(A)=2,所以k=0.秩(A)=2.3.问是否存在秩大于2的M使得AM=O?为什么?Ax=

的基础解系中含有两个线性无关的解向量,

可取解：（01-02）六(12%)设A=求参数k;2.求一个4

2矩阵B,使得AB=O,且秩(B)=2;

因为秩(A)=2,所以k=0.秩(A)=2.3.问是否存在秩大于2的M使得AM=O?为什么?Ax=

的基础解系为

1,2.由于任何一个满足AM=O的矩阵M的列向量组都可以由

1,2线性表示,因而不存在秩大于2的矩阵M使得AM=O.

所以这样的矩阵M的秩一定

2.(2)探讨变换问题的条件

例6.

设证明：(1)证：设x

是Ax

=

0的非零解.令B=(x,0,…,0),则(2)证1：设x1,x2,…,xn-r是Ax

=

0的基础解系.令B=(x1,x2,…,xn-r,0,…,0),则(2)证2：则存在n阶可逆阵P,Q,

使得令则3.培养发散思维(2)探讨变换问题的条件

(2)探讨变换问题的条件

例6.

设(3)证明：(2)证1：设x1,x2,…,xn-r是Ax

=

0的基础解系.(2)证2：则存在n阶可逆阵P,Q,

使得令则(3)证：则存在n阶可逆阵P,Q,

使得令则3.培养发散思维(2)探讨变换问题的条件

令B=(x1,x2,…,xn-r,0,…,0),则(08-09)若A,B为n阶可逆阵,则

(01-02)5.设矩阵A及A+E均可逆,且G

=E

(A+E)

1,则G

1=

.E+A

1(A+E)

1A

G

1

=A

1(A+E)

.

若A满足

,则1.关于逆矩阵（02-03）一6.若4阶方阵A的秩为2,则伴随矩阵A*的秩为

;

0

设A,B都是3阶方阵,AB=O,r(A)

r(B)=2,则r(A)+r(B)=

;(A)5;(B)4;(C)3;(D)2;D3为偶数2.关于矩阵的秩

判断正误：设A23,B23,则|ATB|=O.r(ATB)

r(B)

min{2,3}=2,(ATB)33

法II：Bx=

有非零解,则ATBx=

也有非零解,

|ATB|=O.若4阶矩阵A,B的秩都为1,则

r(A+B)20设3阶矩阵A=(

1,2,3),B=(

2+3,1

2

3,1).若A的行列式|A|=3,则B的行列式|B|=

.

6设A=则|A2B

1|=

.

1/70若A是正交矩阵,则|A3AT|=

;

1设3阶方阵A满足AT=

A,则|A|=

0设3阶方阵A的特征值为1,2,3,则|A26A1+E|=

643.关于方阵的行列式设3阶方阵A的特征值为1,2,3,则

4.关于方阵的迹(08-09)七(2)(4分)设A为n阶实对称阵，

i(i=1,…,n)是A的特征值,证明：

A的特征值是

1

,…,

n证明：所以A2的特征值是

12

,…,

n2

设

=(1,2),

=(1,

1),

则

T=

;(

T

)2010

=

15.关于方阵的正整数幂

T

=解：设XA=AB+X,A=求X99.

方程可化为X(A

E)=AB

.初等列变换可得X=AB(A

E)

1

解：方程可化为X(A

E)=AB

.可得X=AB(A

E)

1

X99=(X2)49X=

设XA=AB+X,A=求X99.

1.解：七(10)设3阶实对称阵A的秩为2,并且AB=C,

求A的所有特征值和特征向量;

2.求A及A9999.因而A有一个特征值为0.

所以|A|=0,A是3阶矩阵,且秩为2,令由AB=C知,Ap1=

p1,Ap2=p2,

p1,p2分别是A的对应于

=

1和

=1的特征向量.A实对称,则对应于0的特征向量p3与p1,p2正交,

1.解：七(10)设3阶实对称阵A的秩为2,并且AB=C,

求A的所有特征值和特征向量;

2.求A及A9999.令P=[p1,p2,p3],则P

1AP=

=

故A=P

P

1=

A9999=(P

P

1)9999

=P

9999P

1=P

P

1=A=

36.设.(1)a,b满足什么条件时

是A的特征向量？若

是A的特征向量，求相应的特征值。(2)若

是A的特征向量，且A有一个二重特征值，求a,b的值.

并讨论

A能否相似对角化？若能，求对角阵和相应的相似变换矩阵。（共14分）解：(1)

=2，a+b

=

2(2)

=0,2,a36.设.(1)a,b满足什么条件时

是A的特征向量？若

是A的特征向量，求相应的特征值。(2)若

是A的特征向量，且A有一个二重特征值，求a,b的值.

并讨论

A能否相似对角化？若能，求对角阵和相应的相似变换矩阵。（共14分）解：当a=2时，(2)

=0,2,a

=2,a+b

=

2b=0，2是二重特征值，A能相似对角化.对应2的特征向量是36.设.(2)若

是A的特征向量，且A有一个二重特征值，求a,b的值.

并讨论

A能否相似对角化？若能，求对角阵和相应的相似变换矩阵。（共14分）解：当a=2时，(2)

=0,2,a

=2,a+b

=

2b=0，2是二重特征值，A能相似对角化.对应2的特征向量是对应0的特征向量是36.设.(2)若

是A的特征向量，且A有一个二重特征值，求a,b的值.

并讨论

A能否相似对角化？若能，求对角阵和相应的相似变换矩阵。（共14分）解：当a=0时，(2)

=0,2,a

=2,a+b

=

2b=2，0是二重特征值，A不能相似对角化.当a=2时，b=0，2是二重特征值，A能相似对角化.1.设A是6

5矩阵,若Ax=

的解空间是2维的,则ATx=

的解空间是

维的;

35r(A)=2632.设xR3,

r(A)=2,

是Ax=b的解,则Ax=b的通解是

；的基础解系有1个解向量

则Ax=b的通解是3.设A=(A1,A2,A3,

A4),其中列向量A1,A2,A4线性无关,A3=2A1

A2+A4,

则齐次线性方程组Ax=

的一个基础解系是

r(A)=32A1

A2

A3+A4=0Ax=(A1,A2,A3,

A4)x=0

=(2,

1,

1,1)T;

4.设，则解：六(12)设3维向量与1.求的秩及一个极大无关组,并求a,b,c;

2.令,

求解AX=B.等价.两向量组等价,线性无关,是一个极大无关组.r3

ar1若矩阵满足，则合同，如果矩阵与满足条件

。则