3.9 切线长定理（A卷基础巩固） -2021-2022学年九年级数学下册同步分层练习（基础巩固＋能力拓展北师大版）（解析版）

3.9切线长定理学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A卷（基础巩固）一、选择题1．（2021—2022广西柳江九年级期中）如图，P为⊙外一点，PA、PB分别切⊙于A、B两点，若，则（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根据切线长定理即可得到答案.【详解】因为PA和PB与⊙相切，根据切线长定理，所以PA＝PB＝3，故选B.【点睛】本题考查切线长定理，解题的关键是熟练掌握切线长定理.2．如图，从圆外一点引圆的两条切线，，切点分别为，，如果，，那么弦AB的长是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用切线长定理得到，再利用可判断为等边三角形，然后根据等边三角形的性质求解．【详解】解：，PB为的切线，，，为等边三角形，．故选C．【点睛】本题考查切线长定理，掌握切线长定理是解题的关键．3．如图，等边三角形的边长为8，以上一点为圆心的圆分别与边，相切，则的半径为（）A． B．3 C．4 D．【答案】A【分析】连接，，根据等边三角形的性质及含30°的直角三角形的性质即可求解.【详解】设与的切点为，连接，，∵等边三角形的边长为8，∴，，∵圆分别与边，相切，∴，∴，∴，∵，∴，∴的半径为，故选A．【点睛】此题主要考查圆的半径，解题的关键是根据题意作出辅助线进行求解.4．如图，.分别与相切于.两点，点为上一点，连接.，若，则的度数为（）.A．； B．； C．； D．.【答案】D【分析】连接.，由切线的性质可知，由四边形内角和可求出的度数，根据圆周角定理（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）可知的度数.【详解】解：连接.，∵.分别与相切于.两点，∴，，∴，∴，∴．故选D．【点睛】本题主要考查了圆的切线性质及圆周角定理，灵活应用切线性质及圆周角定理是解题的关键.5．（2022·海南文昌·九年级期末）如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝12，则四边形ABCD的周长为（）A．44 B．42 C．46 D．47【答案】A【分析】根据圆的切线的性质求解即可．【详解】解：∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，∴AD+BC＝AB+CD＝22，∴四边形ABCD的周长＝AD+BC+AB+CD＝44，故选：A．【点睛】本题考查了圆的外切四边形的周长问题，掌握圆的切线的性质是解题的关键．6．（2021—2022山东东营市九年级阶段练习）如图，、、是的切线，切点分别为、、，若，，则的长是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据切线长定理。可得到AP=AC，BP=BD，即可求解．【详解】解：∵、、是的切线，∴AP=AC，BP=BD，∵，，∴AP=3，∴BD=BP=AB-AP=2．故选：B【点睛】本题主要考查了切线长定理，熟练掌握从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角是解题的关键．7．（2021—2022山东青岛九年级单元测试）如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA＝10，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周长是（）A．10 B．18 C．20 D．22【答案】C【分析】根据切线长定理得出PA＝PB＝10，CA＝CE，DE＝DB，求出△PCD的周长是PC+CD+PD＝PA+PB，代入求出即可．【详解】解：∵PA、PB切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，∴PA＝PB＝10，CA＝CE，DE＝DB，∴△PCD的周长是PC+CD+PD＝PC+AC+DB+PD＝PA+PB＝10+10＝20．故选：C．【点睛】本题考查了切线长定理的应用，关键是求出△PCD的周长＝PA+PB．8．（2021—2022辽宁台安九年级期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，⊙O与△ABC的三边相切于点D、E、F，则AD长为（）A．8 B．10 C．12 D．14【答案】B【分析】根据题意，勾股定理求得的长，设，根据切线长定理可得则，，根据即列出一元一次方程即可求得的值，即的长【详解】解：∵∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，∴AB＝＝＝13，∵⊙O与Rt△ABC的三边相切于点D、E、F，，设，则，即解得故选：B．【点睛】本题考查了切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．9．（2021—2022山东冠县九年级期中）如图，PA与⊙O相切于点A，线段PO交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交PA于点B．若PC＝4，AB＝3，则⊙O的半径等于（）A．4 B．5 C．6 D．12【答案】C【分析】根据切线长定理得到BC＝BA，根据勾股定理求出PB，根据切线的性质、勾股定理计算即可．【详解】解：设⊙O的半径为r，由切线长定理得，BC＝BA＝3，∵BC是⊙O的切线，∴∠BCP＝90°，∴PB＝＝5，∴AP＝PB+AB＝8，∵PA是⊙O的切线，∴∠OAP＝90°，∴AP2+OA2＝OP2，即82+r2＝（4+r）2，解得，r＝6，故选：C．【点睛】本题主要考查了切线长定理，勾股定理，准确计算是解题的关键．二、填空题10．如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O切于A、B，C是弧AB上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA、PB于D、E，若△PDE的周长为20cm，则PA长为__________．【答案】10cm【分析】根据切线长定理，可将△PDE的周长转化为两条切线长的和，已知了△PDE的周长，即可求出切线的长．【详解】解：根据切线长定理得：AD＝CD，CE＝BE，PA＝PB，则△PDE的周长＝2PA＝20，PA＝10．故答案为：【点睛】本题考查的是切线长定理，三角形的周长的计算，掌握切线长定理是解题的关键11．（2021—2022四川自贡市九年级阶段练习）如图，，，是的切线，，，为切点，如果，，则的长为__________．【答案】2【分析】由是的切线，切点为证明，再利用线段的和差可得答案.【详解】解：是的切线，切点为，，故答案为：2【点睛】本题考查的是切线长定理，熟练的运用切线长定理证明是解本题的关键.12．（2021—2022北京九年级阶段练习）如图，PA，PB是的切线，A，B为切点，AC是的直径，，则的度数为______．【答案】40°【解析】【分析】根据切线长定理得等腰△PAB，运用三角形内角和定理求解即可．【详解】解：∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∴PA=PB，∠PAC=90°，∵，∴∠PAB=90°﹣∠BAC=90°﹣20°=70°．∵PA=PB，∴∠PAB=∠PBA=70°，∴∠P=180°﹣70°×2=40°．故答案为40°．【点睛】本题考查了切线长定理和切线的性质，等腰三角形性质，三角形内角和，求一个角的余角，利用切线长得出PA=PB是解题的关键．13．（2021—2022山东九年级阶段练习）如图，RtABC中，∠C=90°，若AB、BC、CA的长分别为5cm、4cm、3cm，则ABC的内切圆半径为_______．【答案】1【分析】因为⊙O为△ABC的内切圆，所以AE=AD，CE=CF，BD=BF；易证四边形OECF是正方形，则列方程即可求得⊙O的半径r．【详解】解：连接圆心O和各个切点．Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，AC=3，∵⊙O为△ABC的内切圆，D、E、F分别为切点，∴AE=AD，CE=CF，BD=BF，OE⊥AC，OF⊥BC，∴∠OFC=∠OEC=∠C=90°，∴四边形OECF是矩形；∵OE=OF，∴四边形OECF是正方形；∵⊙O的半径为r，∴CE=CF=r，AE=AD=3-r，BD=BF=4-r，∴3-r+4-r=5，∴r=1，∴△ABC的内切圆的半径r=1．故答案为：1．【点睛】本题考查了三角形内切圆的性质．注意切线长定理，还要注意直角三角形的内切圆中，如果连接过切点的半径，可以得到一个正方形，借助于方程即可求得半径．14．（2021—2022江苏淮安市九年级期中）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠OAB＝30°．则∠APB=________度；【答案】60【分析】先根据圆的切线的性质可得，从而可得，再根据切线长定理可得，然后根据等边三角形的判定与性质即可得．【详解】解：是的切线，，，，，是等边三角形，，故答案为：60．【点睛】本题考查了圆的切线的性质、切线长定理等知识点，熟练掌握圆的切线的性质是解题关键．三、解答题15．（2022·天津西青·九年级期末）已知，，分别与相切于，，三点，，．（Ⅰ）如图1，求的长；（Ⅱ）如图2，当，时，连接，，求，的长．【答案】（Ⅰ）4；（Ⅱ），．【分析】（Ⅰ）由切线长定理可知BM=BA=1，CM=CD=3，则BC=BM+CM=4；（Ⅱ）如图所示，连接OD，OM，OA，先证明Rt△OCD≌Rt△OCM得到∠OCD=∠OCM，同理可得∠OBA=∠OBM，即可求出∠OCM=30°，∠OBM=60°，OC=2OM，，由此即可求解．【详解】解：（Ⅰ）∵AB，BC，CD都是圆O的切线，∴BM=BA=1，CM=CD=3，∴BC=BM+CM=4；（Ⅱ）如图所示，连接OD，OM，OA，∵BC，DC都是圆O的切线，∴∠ODC=∠OMC=∠OMB=90°，CM=CD，又∵OC=OC，∴Rt△OCD≌Rt△OCM（HL），∴∠OCD=∠OCM，同理可得∠OBA=∠OBM，∵∠DCB=60°，AB∥CD，∴∠OCM=30°，∠ABM=120°∴OC=2OM，∠OBM=60°，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了切线长定理，切线的性质，平行线的性质，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握切线长定理和切线的性质．16．（2021—2022浙江仙居县九年级期中）如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于点E，F，G，且AB∥CD，BO＝6cm，CO＝8cm．（1）求BC的长；（2）求⊙O的半径长．【答案】（1）BC＝10cm；（2）⊙O的半径为cm【分析】（1）根据切线长定理，可得∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠DCB，再由AB∥CD，可得到∠OBC+∠OCB＝90°，从而得到∠BOC＝90°，即可求解；（2）连接OF，由BC是⊙O的切线，再由S△BOC＝OB•OC＝OF•BC，即可求解．【详解】解：（1）∵AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G三点，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠DCB，∵AB∥CD，∴∠ABC+∠DCB＝180°，∴∠OBC+∠OCB＝90°，∴∠BOC＝90°，∵OB＝6cm，OC＝8cm，∴BC＝＝10cm；（2）如图，连接OF，∵BC是⊙O的切线，∴OF⊥BC，∵S△BOC＝OB•OC＝OF•BC，∴6×8＝10×OF，解得：OF＝cm，即⊙O的半径为cm．【点睛】本题主要考查了切线长定理，勾股定理，切线的性质，熟练掌握切线长定理是解题的关键．17．（2021—2022北京人大附中九年级阶段练习）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，在AB上取一点E，以BE为直径的⊙O恰与AC相切于点D，若AE＝2cm，AD＝4cm．（1）求⊙O的直径BE的长；（2）求CD的长．【答案】（1）BE=6cm（2）6cm【分析】（1）连接OD，设半径为r，在Rt△AOD中，AO2=AD2+DO2，得到（2+r）2=42+r2故可求解；（2）根据切线长定理得到CD=BC，在Rt△ABC中，由勾股定理知，AB2＋BC2＝AC2得到82＋CD2＝（4＋CD）2，故可求解．【详解】解：（1）连接OD，设半径为r则BO=DO=EO=r∴AO=2+r在Rt△AOD中，AO2=AD2+DO2∴（2+r）2=42+r2解得r=3∴BE=6；（2）∵AC、BC都是⊙O的切线∴CD=BC∵AB=AE+BE=8，在Rt△ABC中，由勾股定理知，AB2＋BC2＝AC2即82＋CD2＝（4＋CD）2，解得CD＝6cm．【点睛】此题主要考查切线的性质综合，解题的关键是熟知勾股定理、切线长定理的应用．18．（2022·天津南开·九年级期末）如图，AC是⊙O的直径，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是点A、B．（1）如图1，若∠BAC＝25°，求∠P的度数．（2）如图2，若M是劣弧AB上一点，∠AMB＝∠AOB，BC＝2，求AP的长．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由题意先根据切线长定理得到PA=PB，则利用等腰三角形的性质得∠PAB=∠PBA，再根据切线的性质得，于是利