大学物理课件：刚体力学

刚体

3.1定轴转动刚体运动学3.2转动定理3.3刚体定轴转动中的功与能3.4刚体定轴转动的角动量定理角动量守恒定律1、刚体的概念刚体内任意两点间的连线在运动过程中始终保持平行，刚体的这种运动称为平动。1.刚体的平动和定轴转动在力作用下，大小和形状都保持不变的物体称为刚体。即物体内任意两点之间的距离不因外力而改变。3.1定轴转动刚体运动学当刚体内所有点都绕同一直线作圆周运动，这种运动称为转动。若转轴的位置和方向是固定不动的，此时刚体的转动称为定轴转动。

描述刚体绕定轴转动的角量角速度角加速度

按照匀变速直线直线运动公式得匀变速转动相应公式

(运动学方程)离转轴距离为的质元线速度和刚体角速度关系加速度与刚体的角加速度和角速度关系质点直线运动或刚体平动刚体的定轴转动速度角速度加速度角加速度位移角位移vvrrxx11tt22xx(())ttxx(())rr11tt22(())tt(())qqqqqqwwddddttwwddddttqqaabbddddttvvddddtt匀速直线运动ssssvvtt匀角速定轴转动qqwwtt匀变速直线运动匀变角速定轴转动ss002211++vvtt22aattqqww00++tt2211bb22tt22vvvv002222aassww22ww002222bbqqvvvv00++aattwwww00++bbtt例3-1

一条绳索绕过一个定滑轮拉动升降机，如图3-1(a)所示。滑轮的半径为r=0.5m，如果升降机从静止开始以加速度a=0.4m·s-2匀加速上升，求：（1）滑轮的角加速度；（2）开始上升后t=5s末滑轮的角速度；（3）在这5s内滑轮转过的圈数；（4）开始上升后t’=1s末滑轮边缘上一点的加速度（假定绳索和滑轮之间不打滑且绳索不伸长）。（a）（b）解：为了图示清晰，将滑轮放大为如图3-1（b）所示。（1）由于升降机的加速度和滑轮边缘上的一点的切向加速度相等，所以滑轮的角加速度为(rad·s-2)（2）由于所以5s末滑轮的角速度为(rad·s-1)（3）在这5s内滑轮转过的角度为(rad)所以在这5s内滑轮转过的圈数为(圈)（4）结合题意，由图3-1（b）可以看出由此可得滑轮边缘上一点在升降机开始上升后t’=1s时的加速度为这个加速度的方向与滑轮边缘的切线方向的夹角为解:(1)将转速化为弧度

例

一飞轮半径为0.2m，转速为，因受到制动而均匀减速，经30停止运动。求(1)角加速度和此时间内飞轮所转圈数；(2)制动开始后飞轮的角速度；(3)时飞轮边缘上一点的线速度、切向加速度和法向加速度。飞轮匀减速运动负号表示方向相反飞轮在30s内转过角度为飞轮总共转过角度为(2)(3)课后习题3-1一、力矩力的作用线通过转轴或是平行于转轴，无法使物体转动。力的大小、方向和力的作用点相对于转轴位置，是决定转动效果的几个重要因素。3.2转动定理力的大小与力臂乘积为力对转轴的力矩。用表示在转动平面内不在转动平面内只考虑垂直与转轴的作用力1.定义：力矩有大小和方向是矢量(运动学方程)力矩矢量可用矢径和力的矢积表示。即由右手螺旋法则确定。

方向垂至于和所构成平面。2.力矩的矢量表示二、转动定理从牛顿第二定律出发推导刚体角加速度和外力矩之间关系遍及刚体内所有质点1.推导：由于内力总是成对出现，故刚体内所有力矩综合为零

为刚体内所有质点所受到外力对转轴力矩之和，即合外力矩，用M表示。转动惯量——表示刚体相对于确定转轴的特征的物理量——绕定轴转动的刚体，其角加速度与它所受合外力矩成正比，与刚体转动惯量成反比。这一结论就是刚体定轴转动定理。刚体内各质点相对于转轴的分布决定2.说明：三、转动惯量刚体的转动惯量等于刚体内各质点的质量与其到转轴距离平方的乘积之和。质量连续分布质量不连续分布例3-2有一质量为m，长为l

的均匀细杆，求：（1）以杆的中垂线为轴的转动惯量；（2）过杆的端点与杆垂直的轴线的转动惯量。解（1）建立如图所示坐标系在x处取质元dx，其质量为由于轴通过杆中心该质量元绕转轴的转动惯量为建立如图所示坐标系在x处取质元dx，其质量为该质量元绕转轴的转动惯量为(2)转轴通过杆的一端并与杆垂直。结果表明同一刚体对不同转轴的转动惯量不同。对轴转动惯量：转动惯量的平行轴定理

刚体绕任意轴的转动惯量

刚体绕通过质心轴的转动惯量

两轴间垂直距离dC

细棒(转动轴通过中心与棒垂直)

圆柱体(转动轴沿几何体)

薄圆环(转动轴沿几何体)

球体(转动轴沿球的任一直径)细棒(转动轴通过棒的一端与与棒垂直)

圆筒(转动轴沿几何轴)解：引入质量面密度，单位面积质量为整个圆盘对该轴转动惯量为薄圆盘可以看成是许多同心圆盘的集合，在圆盘上任取一半径为，宽度为的窄圆环，圆环的面积为，圆环质量.此窄圆环上各点到转轴距离都为，该圆环对通过盘心垂直与圆盘的轴的转动惯量为例3-3

如图所示，一质量为m半径为R的均质圆盘，求：①通过圆心且垂直于盘面的轴线的转动惯量J0②通过圆盘边缘(A点)且垂直于盘面轴线的转动惯量JA。（1）②求JA，只需要应用转动惯量的平行轴定理确定转动惯量的三个要素:(1)与刚体总质量有关。总质量越大，刚体转动惯量越大。(2)与质量分布有关。刚体上质量分布离轴越远，转动惯量越大。(3)与转轴的位置有关。四、转动定理应用举例解：将三个物体隔离出来受力分析其中和大小不能假定相等，但对平动物体应用牛顿第二定律例3-4如图所示，一不能伸长的轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮，滑轮视为圆盘，绳的两端分别悬有质量为m1和m2的物体，且m1<m2,设滑轮的质量为M，半径为R，绳与轮之间无相对滑动，求物体的加速度和绳中张力。

对转动滑轮，由于转轴通过轮中心，所以仅有张力和对它有力矩作用。由转动定律其中滑轮转动惯量Olm

Cx解重力对整个棒的合力矩等于重力全部集中于质心所产生的力矩对于细直棒质心位于处合力矩：由转动定律：例3-5

一根长为l，质量为m的均匀细直杆，可绕通过其一端且与杆垂直的光滑水平轴转动，如图将杆由水平位置静止释放，求它下摆角为θ时的角加速度和角速度。课后习题3-23-33-43-15一、力矩做功对于有限角位移，外力做功用积分表示外力对转动刚体所做的元功等于相应的力矩和角位移的乘积力所做元功表示为O3.3刚体定轴转动中的功和能二、刚体的转动动能和重力势能1.绕定轴转动刚体的动能刚体的总动能正是刚体对转轴的转动惯量刚体的转动动能刚体受到保守力作用，可引入势能概念。重力场中刚体就具有一定重力势能。根据质心定义，该刚体质心高度为重力势能可以表示为2.

定轴转动刚体的势能三、定轴转动的动能定理对于一有限过程合外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。这就是刚体定轴转动的动能定理设作用于刚体的合外力矩为M，刚体转过角位移dθ时，合外力矩的功为

由转动定律：例3-6

某一冲床利用飞轮的转动动能通过曲柄连杆机构的传动，带动冲头在铁板上穿孔。已知飞轮为均匀圆盘，其半径为r=0.4m，质量为m=600kg，飞轮的正常转速是，冲一次孔转速降低20%。求冲一次孔冲头做的功。解：以和分别表示冲孔前后的飞轮的角速度由转动动能定理又例3-7半径R质量M的圆盘滑轮可绕通过盘心的水平轴转动，滑轮上绕有轻绳，绳的一端悬挂质量为m的物体。当物体从静止下降距离h时，物体速度是多少？解：以滑轮、物体和地球组成系统为研究对象。由于只有保守力做功，故机械能守恒。初态：动能为零，重力势能为末态：动能包括滑轮转动动能和物体平动动能设终态时重力势能为零由机械能守恒课后习题3-63-17定义：力矩与力矩作用时间的乘积称为冲量矩。1.冲量矩3.4刚体定轴转动的角动量定理角动量守恒定律

数学表达：

一、冲量矩角动量

2.角动量整个刚体的角动量就是刚体上每一个质元的角动量——即每个质元的动量对转轴之矩的和。2.1质点的角动量定义质点相对原点的角动量定义为方向由右手螺旋法则得到：右手拇指伸直，其余四指由矢径通过小于的角弯向，拇指所指方向就是的方向。质点作圆周运动的角动量刚体对轴的角动量为刚体对转轴的角动量等于其转动惯量与角速度乘积。刚体绕轴的转动惯量2.2刚体的角动量1.质点角动量定理及守恒定律质点所受合外力矩等于质点角动量对时间的变化率对时间求导矢积定义二、角动量定理和角动量守恒定理若质点所受合外力矩为零，即如果质点所受合外力矩为零，则质点的角动量保持不变，这就是质点的角动量守恒定律。解：卫星在运动过程中，所受力主要是万有引力，其它力忽略不计，故卫星在运动过程中对地心角动量守恒。例：我国第一颗人造地球卫星沿椭圆轨道绕地球运动，地心为该椭圆的一个焦点。已知地球半径，卫星的近地点到地面距离，卫星的远地点到地面距离。若卫星在近地点速率为，求它在远地点速率。在近地点和远地点，所以2.刚体的角动量定理及守恒定律刚体所受合外力矩与角加速度关系为利用角动量表示刚体绕定轴转动时，作用于刚体的合外力矩等于刚体绕此轴的角动量对时间的变化率。这是刚体角动量定理的一种形式。当合外力矩为零时如果物体所受合外力矩为零，或不受外力矩的作用，物体的角动量保持不变，这就是角动量守恒定律。注意(1)角动量守恒定律不仅适用于刚体，对非刚体同样适用(2)角动量守恒定律对天体运动以及微观粒子运动同样适用例3-8

如图，一均质杆，长为L、质量为M。可绕水平光滑转轴自由转动。今有一质量为m，速度为v0的子弹，沿水平方向距水平转轴距离为a射入竖直、静止的杆内。杆能摆起的最大角度θmax=60°，求v0。解：把子弹与杆作系统。由于子弹入射杆的瞬间，系统合外力矩为零故角动量守恒。设子弹射入后杆起摆的角速度为ω，则有：

子弹射入后一起摆动的过程只有重力做功，故系统机械能守恒。

课后习题3-93-103-18一.刚体的概念刚体内任意两点间的连线在在运动过程中始终保持平行，刚体的这种运动称为平动。1.刚体的平动和定轴转动在力作用下，大小和形状都保持不变的物体称为刚体。当刚体内所有点都绕同一直线作圆周运动，这种运动称为转动。若转轴的位置和方向是固定不动的，此时刚体的转动称为定轴转动。二.力矩力的大小与力臂乘积为力对转轴的力矩。用表示力矩矢量可用矢径和力的矢积表示。——绕定轴转动的刚体，其角加速度与它所受合外力矩成正比，与刚体转动惯量成反比。这一结论就是刚体定轴转动定理。三.转动定理四