大学物理课件：量子物理

A.Piccard,E.Henriot,P.Ehrenfest,E.Herzen,Th.deDonder,E.Schrödinger,J.E.Verschaffelt,W.Pauli,W.Heisenberg,R.H.Fowler,L.Brillouin;P.Debye,M.Knudsen,W.L.Bragg,H.A.Kramers,P.A.M.Dirac,A.H.Compton,L.deBroglie,M.Born,N.Bohr;I.Langmuir,M.Planck,M.Skłodowska-Curie,H.A.Lorentz,A.Einstein,P.Langevin,Ch.-E.Guye,C.T.R.Wilson,O.W.Richardson量子物理基础14.1普朗克能量子假设14.2光电效应14.3康普顿效应14.4玻尔的氢原子理论14.5实物粒子的波粒二象性14.6不确定关系14.7波函数和薛定谔方程14.8量子力学对氢原子的应用14.9原子的电子壳层结构量子物理基础普朗克首先提出能量子假说，成功地解释黑体辐射现象（1900年）爱因斯坦的光子学说，成功地解释光电效应现象(1905年)康普顿散射进一步证实光的粒子性(1923年)德布罗意提出实物粒子的波粒二象性假说

(1924)玻尔利用量子化概念建立了氢原子模型，成功地解释氢原子光谱(1913年)薛定谔提出的薛定谔方程建立了量子力学的波动力学(1926

年)

海森堡等人建立了量子力学的矩阵力学(1925年

)早期量子论的建立量子力学体系的建立14.1普朗克能量子假设热辐射：物体的由其温度决定的电磁辐射称为热辐射。

物体在辐射电磁波的同时，也吸收投射到物体表面的电磁波。当辐射和吸收达到平衡时，物体的温度不再变化而处于热平衡状态，此时物体的热辐射称为平衡热辐射。物体辐射本领越大，其吸收本领也越大，反之亦然。通有电流的电炉丝通有电流的灯丝不同温度的铆钉一、热辐射热的地方显白色，冷的地方显黑色红外照相机拍摄的人头部的热图美国AN/PVS-5A微光夜视眼镜它可在200米内发现人，在136米内识别人，在565米内发现坦克，在395米内识别坦克。1.单色辐射出射度（单色辐出度）指温度为T的物体单位表面积在单位时间内发射的、波长在

范围内的辐射能与波长间隔的比值。（单位时间内）

T单位面积2.辐出度(辐射出射度总发射本领）温度为T的物体单位时间内从单位面积上所辐射的各种波长的总的辐射能，用M（T）表示。二.描述热辐射的基本物理量

能够全部吸收各种波长的电磁辐射能而不发生反射和透射的物体称为绝对黑体，简称黑体。例如，一个不透明的空腔开有小孔可近似看成理想的黑体。1.黑体

黑体的吸收本领最大，辐射本领也最大。辐射的电磁波含有各种频率成分，并随黑体的温度而变化。黑体并不一定是黑色的（如太阳），只有当其自身的热辐射很弱时，看上去是黑洞洞的。三、黑体辐射的实验规律7000K6000K5000K4000K可见光不同温度下黑体的单色辐出度随波长变化的实验曲线

在一定温度下，曲线有一极大值，对应的波长称为峰值波长λm

。随着温度的升高，黑体的单色辐出度迅速增大，并且曲线的极大值逐渐向短波方向移动。

黑体的辐出度曲线下的面积（总辐射能）与黑体的热力学温度的四次方成正比：式中，称为斯忒藩

玻耳兹曼常量。2.斯忒藩

玻耳兹曼定律3.维恩位移定律

当黑体的热力学温度升高时，峰值波长向短波方向移动。式中，为常数。其中

，

为常数1896年维恩从经典热力学及统计理论及实验数据的分析得出：1.维恩公式短波方向与实验符合较好,但长波段与实验结果相差悬殊。四、经典物理学遇到的困难维恩公式(1896年)实验曲线

2.瑞利-金斯公式长波方向与实验符合较好短波方向得出灾难性的结论。“紫外灾难”－经典物理有难！c为真空中的光速1900年从经典电动力学和

统计物理学推导而得经典物理的困难瑞利—金斯公式(1900年)维恩公式(1896年)实验曲线

1900.10.7实验物理学家鲁本斯（Rubens）给普朗克带来了热辐射理论与实验比较的信息。当晚普朗克就用内插法猜出来一个公式----黑体辐射公式五、普朗克黑体辐射公式和能量子假说1.普朗克黑体辐射公式——普朗克公式（1900）鲁本斯（Rubens）把这

“幸运地猜出来的内插公式”同最新的实验结果比较发现：在全波段与实验结果惊人的符合。2.普朗克的能量子假说

普朗克认为：为了从理论上得出正确的辐射公式，必须引进一个假设：腔壁中带电谐振子的能量不能连续变化，频率为ν

的振子的能量ε只能取hν的整数陪，即ε=nhν，n称为量子数，谐振子和腔内辐射场交换能量（即发射和吸收辐射能）也只能是hν的整数倍。谐振子能量的这个最小单位称为能量子，其中

，普朗克当时把它叫做基本作用量子，现在叫做普朗克常数。

普朗克的量子假设突破了经典物理学的观念，第一次提出了微观粒子具有分立的能量值,既微观粒子的能量是量子化的。

普朗克常数是现代物理学中最重要的物理常数，它标志着物理学从“经典幼虫”变成“现代蝴蝶”。

由能量量子化概念得到了普朗克的黑体辐射公式。实验曲线理论曲线一维谐振子的能量取分立值实验值与理论值符合的很好普朗克公式由普朗克公式可导出其他所有热辐射公式：维恩公式瑞利-金斯公式斯特藩-玻耳兹曼定律维恩位移定律

后来被定为“量子论的诞生日”。的理论”的论文交到了德国自然科学会，1900.12.14.Planck把“关于正常谱中能量分布普朗克M.Planck

(1858－1947)德国人，获1918年诺贝尔奖。用紫外线照射锌板，验电器指针发生明显偏转。

金属及其化合物在光照射下发射电子的现象称为光电效应。逸出的电子称为光电子，由光电子形成的电流叫光电流。光电效应现象是德国物理学家赫兹于1887年研究电磁波的性质时偶然发现的。一．光电效应现象紫外线锌板14.2

光电效应1.光电效应实验装置

T为抽成真空的玻璃泡，K为发射电子的阴极，A为阳极，用一定频率和强度的单色光照射K时,金属将释放出光电子，经电场加速后为阳极A所收集,形成光电流。二、光电效应的实验装置和实验规律OOOOOOGAKOOUAKT石英窗口入射光线K1K2饱和光电流is以及阴极K在单位时间内发射的光电子数与照射光的光强I成正比。规律1.存在饱和光电流。光电效应伏安特性曲线is1光强较强iO光强较弱is2232.实验规律OOOOOOVGAKOOK1K22

规律2.存在遏止电压。

当UAK=0时，i≠0。因为从阴极发出的光电子具有一定的初动能，它可以直接到达阳极。当UAK

＜0并达到一定值时,i=0,此时反向电势差的绝对值称为遏止电压Ua。OOOOOOVGAKOOK2K11实验指出：遏制电压与照射光的频率成线性关系，而与入射光的强度无关。oν与金属有关的恒量与金属无关的普适恒量光电子的最大初动能与照射光的强度无关，而与其频率成线性关系。

对一定金属，只有入射光的频率大于某一频率ν0时,电子才能从该金属表面逸出，这个频率叫做该种金属的光电效应截止频率，也叫做红限。如果入射光的频率小于截止频率则无论入射光强度多大，都没有光电子逸出。

规律3.存在截止频率（红限）。几种金属的逸出功和红限不同物质的红限不同，多数金属的红限在紫外区。金属参数铯Cs钾K钠Na锌Zn钨W银Ag逸出功/eV1.942.252.293.384.544.63红限ν0/1014Hz4.695.445.538.0610.9511.19红限λ0

/μm0.6390.5510.5410.3720.2730.267规律4.光电效应瞬时响应性质。光电子是即时发射的，滞后时间不超过10-9秒。光的波动理论光电效应实验规律knU0ee取决于光振幅m120v2max电子从具有一定振幅的光波中吸收与光强无关I不论什么频率，只要光足够强，总可连续供给电子足够的能量而逸出。nn0金属材料的截止频率时，无论多强，均无电子逸出。I初动能与光强有关无红限有红限初动能与光强无关瞬时响应响应快慢取决光强光强越弱，电子从连续光波中吸收并累积能量到逸出所需的时间越长。只要不论光强多弱，nn0几乎同时观察到光电效应。（小于）s019能量而逸出，其初动能三光的波动理论与光电效应实验规律相矛盾四、爱因斯坦光子假说和光电效应方程

一束光就是一束以光速运动的粒子流，这些粒子称为光子；频率为v的光的每一个光子所具有的能量为

,它不能再分割，只能整个地被吸收或产生出来。1

.爱因斯坦光子假说爱因斯坦在普朗克能量子假设的基础上进一步提出了光子假说。

爱因斯坦按照光子假说，当频率为v的光照射金属表面时，金属中的电子将吸收光子，获得能量hv，此能量一部分用于电子逸出金属表面所需要做的功(称为逸出功A)，另一部分则转变为逸出电子的初动能。根据能量守恒定律，有——爱因斯坦光电效应方程2.爱因斯坦光电效应方程式中是光电子的最大初动能。1.入射光的强度I取决于单位时间内垂直通过单位面积的光子数N。入射光越强时，含有的光子数越多，所以获得能量而逸出的电子数也就越多，饱和光电流自然也就越大。2.光电子的最大初动能与照射光的强度无关，而与其频率成线性关系。五、爱因斯坦对光电效应的解释

4.当一个光子被吸收时，全部能量立即被吸收，不需要积累能量的时间，因此具有瞬时性。3.存在红限存在红限:爱因斯坦光子假说圆满解释了光电效应，但当时并未被物理学家们广泛承认，因为它完全违背了光的波动理论。普朗克在推荐爱因斯坦为柏林科学院院士时说“光量子假设可能是走得太远了”。他在1907年给爱因斯坦的信中写到：“我为基本量子（光量子）所寻找的不是它在真空中的意义，而是它在吸收和发射地方的意义，并且我认为真空中过程已由麦克斯韦方程作了精辟的描述”。直到1913年他还对光子持否定态度。密立根由于研究基本电荷和光电效应，特别是通过著名的油滴实验，证明电荷有最小单位，获得1923年诺贝尔物理学奖1868—1953爱因斯坦由于对光电效应的理论解释和对理论物理学的贡献，获得1921年诺贝尔物理学奖1879—1955相对论能量和动量关系粒子性：（光电效应等）波动性：光的干涉和衍射光子能量

光子质量

光子动量

静能：

描写光的粒子性的E、p，与描写光的波动性的

、

通过桥梁h

联系起来。六、光的波粒二象性八、光电效应的应用

利用光电效应可以制成光电成像器件，能将可见或不可见的辐射图像转换或增强成为可观察记录、传输、储存的图像。

例如，红外变像管可以使红外辐射图像转变为可见光图像。

像增强器可以把夜间微弱光学图像增强为高亮度可见光学图像。

光电倍增管可以将微弱光信号转换成可测电信号。探测器一、康普顿效应X光管光阑入射光散射物质散射光1923年美国物理学家康普顿发现，单色X射线被物质散射时,散射线中有两种波长，其中一种波长与原波长成分相同，另一种波长比入射线的长，且波长改变量与入射波长无关，而随散射角的增大而增大，这种波长变大的散射现象称为康普顿散射，或康普顿效应。14.3康普顿效应实验结果：1.散射X射线的波长中有两个峰值。2.随散射角的增大而增大。

3.与散射物质和无关。4.对轻元素，波长变大的散射线相对较强，而对重元素，波长变大的散射线相对较弱。

按照经典电磁波理论，当一定频率的电磁波照射物质时，物质中的带电粒子将从入射波中吸收能量，作同频率的受迫振动，并向各方向发射同一频率的电磁波，就是散射线。显然这个理论只能说明波长不变的散射现象而不能解释康普顿散射。康普顿采用了爱因斯坦的光量子假说成功地解释了实验现象，进一步证明了光量子假说的正确性二、经典物理的困难1.光子理论对康普顿效应的理论解释

(1)若X射线光子和外层电子相碰撞时自由电子吸收一个入射光子后发射一个能量较小的光子，电子获得一部分能量，散射的光子能量减小，频率减小，波长变长。

(2)若光子和束缚很紧的内层电子相碰撞时由于内层电子被原子核紧紧束缚着，入射光子相当于与整个原子发生碰撞，因原子质量>>光子质量，所以碰撞前后光子只改变运动方向，能量几乎不变，故波长有不变的成分。三、光子理论的解释电子电子入射光子（X射线或射线）能量大

。表面电子束缚较弱，可视为近自由电子。电子反冲速度很大，需用相对论力学来处理。

电子热运动能量，可近似为静止电子。假设光子与静止自由电子发生完全弹性碰撞。碰撞的过程中动量和能量守恒。2.和什么因素有关？..入射光子静止电子散射光子反冲电子能量守恒：水平方向动量守恒：竖直方向动量守恒：反冲电子质量：能量动量碰前电子0光子碰后电子光子称为电子的康普顿波长，其值等于在θ=90o方向上测得的波长改变量。康普顿散射波长改变量

(1).波长的改变量

与散射角θ有关,散射角θ

越大，

也越大；波长的改变量

与入射光的波长无关。(2).为什么可见光观察不到康普顿效应？散射波长改变量

的数量级为10-12m，对于可见光波长

～10-7m，

<<

，在光谱仪中

与

0分辨不开,所以观察不到康普顿效应。

对于X光，波长

，

～

，可观察到康普顿效应。

讨论:1、验证了光的粒子说的正确性；2、验证了在光与电子的相互作用过程中,能量守恒与动量守恒仍是正确的；3、进一步验证了相对论的正确性。康普顿（A.H.Compton)美国人(1892-1962）

康普顿在做康普顿散射实验康普顿获得1927年诺贝尔物理学奖.四.康普顿散射理论的意义1925—1926年吴有训用银的X射线(

0=5.62nm)为入射线以15种轻重不同的元素为散射物质。吴有训对研究康普顿效应的贡献1923年参加了发现康普顿效应的研究工作。在同一散射角()测量各种波长的散射

光强度做了大量X射线散射实验。证实了康普顿效应的普遍性证实了两种散射线的产生机制

－外层电子(自由电子)散射；

0－内层电子(整个原子)散射。在康普顿的一本著作“X-Raysintheoryandexperiment”中19处引用了吴有训的工作。吴有训例2.康普顿效应说明在光和微观粒子的相互作用过程中，以下定律严格适用:（A）动量守恒、动能守恒；（B）牛顿定律、动能定律；（C）动能守恒、机械能守恒；（D）动量守恒、能量守恒。例1.黑体辐射，光电效应及康普顿效应皆突出表明了光的（A）波动性;（B）粒子性;（C）单色性;（D）偏振性.早在17世纪，牛顿就发现了日光通过三棱镜后的色散现象，并把实验中得到的彩色光带叫做光谱。一、光谱光谱是电磁辐射（不论是在可见光区域还是在不可见光区域）的波长成分和强度分布的记录，有时只是波长成分的记录。发射光谱可分为两类：连续光谱和明线光谱。1.发射光谱物体发光直接产生的光谱叫做发射光谱。14.4波尔的氢原子理论(1)连续光谱:

炽热的固体、液体及高压气体的光谱，是由连续分布的一切波长的光组成的，这种光谱叫做连续光谱。例如白炽灯丝发出的光、烛焰、炽热的钢水发出的光都形成连续光谱。(2)明线光谱（原子光谱）:只含有一些不连续的亮线的光谱叫做明线光谱。明线光谱中

的亮线叫谱线，各条谱线对应不同波长的光。稀薄气体或

金属的蒸气的发射光谱是明线光谱。明线光谱是由游离状态

的原子发射的，也叫原子光谱。各种元素都只能发出具有本身特征的某些波长的光，明线光谱的谱线也叫原子的特征谱线。2.吸收光谱

吸收光谱是温度很高的光源发出来的白光，通过温度较低的蒸汽或气体后产生的，如让高温光源发出的白光，通过温度较低的钠的蒸汽就能生成钠的吸收光谱。这个光谱背景是明亮的连续光谱。而在钠的标识谱线的位置上出现了暗线。通过大量实验观察总结出一条规律，即每一种元素的吸收光谱里暗线的位置跟他们明线光谱的位置是互相重合的。也就是每种元素所发射的光的频率跟它所吸收的光频率是相同的。3.光谱分析由于每种原子都有自己的特征谱线，因此可以根据光谱来鉴别物质和确定的化学组成。这种方法叫做光谱分析。记录氢原子光谱的实验原理氢放电管2~3kV光阑全息干板

三棱镜（或光栅）光源（摄谱仪）二、氢原子光谱的实验规律氢原子线状光谱

氢原子光谱是最简单的光谱，对氢原子光谱的研究具有重要的意义。氢原子的实验规律1.氢原子光谱是彼此分立的线状光谱，每一条谱线具有确定的波长（或频率）。2.每一条谱线的波数可以表示为爱因斯坦(Einstein)上式称为里德伯—里兹合并原则。称为氢的光谱项。氢光谱的里德伯常量。3.当整数k取一定值时，n取大于k的光谱中的各整数所对应的各条谱线够成一谱线系。每一谱线系都有一个线系极限，对应于的情况，此时对应的某一线系的波长称为极限波长。莱曼系紫外巴尔末系可见光帕邢系布拉开系普丰德系汉弗莱系红外如何解释氢原子光谱的规律？

巴耳末是瑞士的一位中学数学教师。年近60岁的他受到该校一位研究光谱的物理学教授哈根拜希（E.Hagenbach）的鼓励，开始试图寻找氢原子光谱的规律。当时已发现了氢光谱见光区波段的4条谱线和紫外波段的10条谱线，然而它们波长的规律尚不为人所知。巴耳末从寻找可见光波段4条谱线波长的公共因子和比例系数入手，受投影几何的启发，巴耳末利用几何图形为这些谱线的波长确定了一个公共因子，写出了巴耳末公式。巴耳末公式计算出的波长与实际测量值的误差不超过波长的1/40000，吻合得非常好。随后巴耳末又继续推算出当时已发现的氢原子全部14条谱线的波长，结果和实验值完全符合，继而打开了光谱奥妙的大门，成了一名在原子物理学方面有突出贡献的物理学家。

为纪念巴耳末，人们把这组谱线系命名为巴耳末系。

巴耳末大器晚成经典理论认为原子光谱实验规律绕核运动的电子不断辐射电磁波，轨道半经随能耗而连续变小，其光谱应是连续变化的带状光谱。非连续的线状光谱绕核运动的电子因轨道变小必迅速落入原子核。因此，原子及其光谱应是不稳定的光谱状态稳定经典理论解释原子光谱规律的困难1913年玻尔（卢瑟福的学生）将普朗克、爱因斯坦的量子理论推广到卢瑟福的原子有核模型中，并结合原子光谱的实验规律，提出他的氢原子理论，奠定了原子结构的量子理论基础。1913年，玻尔(N.Bohr)在卢瑟福模型基础上引入三个假设，成功地解释了氢原子光谱问题。这个理论在科学史上被称作旧量子论。

二、波尔的氢原子理论+(1)、定态假设原子中的电子只能在一些半径不连续的轨道上作圆周运动。在这些轨道上运动的电子不辐射（或吸收）能量而处于稳定状态，称为定态。相应的轨道称为定态轨道定态轨道1.玻尔的氢原子理论的三个重要假设+m

rv+(2)、频率条件假设电子从某一定态向另一定态跃迁时将发射（或吸收）光子。EnEm若初态和终态的能量分别为和EnEm

且

称为玻尔的频率条件则发射光子的频率n

EmEn+(3)、角动量量子化条件假设在定态轨道上运动的电子，其角动量只能取h/(2p)的整数倍，即L

=mvr

=

n

h2p称为角动量量子化条件n=1,2,3,…是量子数m

rv讨论

（1）假设1是针对氢原子有核模型与经典电磁理论的矛盾而作出的。只有假定电子在圆轨道上运动时不辐射电磁波，才能保证原子的稳定性。

（3）假设3指出电子绕核运动的圆轨道是有限制的。只有角动量满足量子化条件才是许可的,这是对普朗克能量量子化的进一步发展。

（2）假设2是对普朗克假设的引伸，指出辐射光的条件。mee电子受力

2.氢原子轨道半径角动量量子化库仑力=向心力n=1,2,3,...n=1n=2n=3n=4rvm4r19r116r1玻尔半径其他的可能轨道：n=1的定态称为基态，n=2,3,4,…各态称为受激态。轨道量子化电子在量子数为n的轨道上运动时，原子系统总能量是：

基态能量其它受激态：E1E2E3E4rvm能量是量子化的3.氢原子能级氢原子能级图欲将电子摆脱氢原子的束缚而电离变为自由态，外界至少要供给电子的能量为：称为

电离能n=48n=1n=2n=3-13.6-3.39-1.51-0.850基态激发态电离态氢原子最低能态基态的电离能为4.电离能5.氢原子光谱解释

根据玻尔假设，当原子从高能态En向低能态Ek跃迁时，发射一个光子。频率波数令里德伯常数的理论值与实验值符合的很好。公式与经验公式一致。当时实验测得莱曼系巴耳末系帕邢系布拉开系普丰德系-13.60-3.39-1.51-0.85-0.54En/eV12354氢原子能级图四、波尔理论的缺陷和意义

玻尔量子论的缺陷在于量子化不彻底，他只对电子的径向运动采取了量子化，即对电子的轨道半径用量子化来处理，而对电子绕核运动则用经典力学处理，因此玻尔量子论是半经典的量子论。

玻尔的量子论成功解释了氢原子光谱，在一定程度上反映了原子内部结构的规律性，并得到光谱实验和夫兰克—赫兹实验的证实,为后来的量子理论奠定了基础，玻尔由于出色的工作获得了1922年诺贝尔物理学奖。14.5-14.6实物粒子的波粒二象性不确定关系

光具有波粒二象性，微观粒子是否也具有波粒二象性？1924年，法国物理学家德布罗意第一次提出了实物粒子具有波动性观点，以后人们把这种波称为德布罗意波，又称为物质波。L.deBrogen爱因斯坦(Einstein)一、实物粒子的波粒二象性

德布罗意假设：不仅光具有波粒二象性，一切实物粒子如电子、原子、分子等也具有波粒二象性。

如果用能量E和动量p来表征实物粒子的粒子性，则可用频率

和波长

来表示实物粒子的波动性。——德布罗意关系式。

这种和实物粒子相联系的波称为德布罗意波或物质波。1927年戴维逊与革末作电子衍射实验，验证电子具有波动性。1.电子衍射实验1

戴维逊和革末的实验是用电子束垂直投射到镍单晶，电子束被散射。其强度分布可用德布罗意关系和衍射理论给以解释，从而验证了物质波的存在。探测器电子束电子枪镍单晶二、物质波的实验证明1927年G.P.汤姆逊Thomson(J.J.汤姆逊之子)也独立完成了电子衍射实验:电子束在穿过细晶体粉末或薄金属片(薄铝箔)后，也象X射线一样产生清晰的电子衍射图样。X射线衍射电子衍射2、电子衍射实验23、约恩逊实验（1961）电子的单、双、三、四缝衍射实验：

单缝

双缝

三缝

四缝NaCl晶体的中子衍射UO2晶体的电子衍射此后，人们相继证实了原子、分子、中子等都具有波动性。电子衍射、中子衍射、原子和分子束在晶体表面散射所产生的衍射实验都获得了成功。微观粒子具有波粒二象性的理论得到了公认。三、不确定关系——海森伯坐标和动量的不确定关系。

如果一个粒子的位置坐标具有一个不确定量Δx,则同一时刻的动量也具有一个不确定量Δpx,Δx与Δpx的乘积总是大于一定的数值

一个量确定的越准确，另一个量的不确定程度就越大。在表明测量粒子的位置和动量时，它的精度存在一个终极的不可逾越的限制。这种特性是由于它具有波粒二象性。

电磁波可以用电场强度和磁场强度随时间和空间的变化来描述，机械波可以用质点位移随时间变化来描述.波函数是描述具有波粒二象性的微观客体的量子状态的函数，知道了某微观客体的波函数后，原则上可得到该微观客体的全部信息。一维三维物质波也可以用一个随时间和空间变化的函数来描述，这个函数称为波函数，通常用来表示。物质波的波函数(复函数)：14.7波函数和薛定谔方程一、自由粒子波函数自由粒子是不受外力场的作用,其动量和能量都不变的粒子。它在运动过程中作匀速直线运动（设沿X轴）。对应的德布罗意波具有频率和波长：。自由粒子物质波的频率和波长也是保持不变的。结论：自由粒子的物质波是单色平面波。一沿沿x轴正向运动，能量为E，动量为P的自由粒子对应于沿x轴正向传播的单色平面物质波。一个频率为

、波长为沿x方向传播的单色平面波的表达式为：利用欧拉公式：取其实部为波函数。可将波函数写为：利用波粒二象性的关系式，用描述粒子性的物理量来代替描述波动性的物理量：利用平面机械波波函数的复数形式：式中是待定常数,相当于x处波函数的复振幅,反映波函数随时间的变化。

物质波波函数是复数，它本身并不代表任何可观测的物理量。波函数是怎样描述微观粒子运动状态的？1926年德国物理学家波恩提出了物质波的统计解释：实物粒子的物质波是一种概率波,t时刻粒子在空间r处附近的体积元dV

中出现的概率dW与该处波函数绝对值的平方成正比。式中是波函数的共轭复数。

波函数绝对值平方代表t

时刻，粒子在空间

处的单位体积中出现的概率，又称概率密度，这是波函数的物理意义。物质波又称概率波。二、玻恩对波函数的统计诠释

在空间某处波函数的模方跟粒子在该处出现的概率成正比。如果在空间某处的值越大，粒子出现在该处的概率也越大;的值越小，则粒子出现在该处的概率就越小。无论如何小，只要不为零，粒子总有可能出现在该处。电子双缝干涉图样单个粒子的出现是偶然事件,大量粒子的分布有确定的统计规律。连续因概率不会在某处发生突变，故波函数必须处处连续。单值因任一体积元内出现的概率只有一种，故波函数一定是单值的。有限因概率不可能为无限大，故波函数必须是有限的。符合不符合不符合不符合以一维波函数为例，在下述四种函数曲线中，只有一种符合标准条件YYYY三、波函数标准条件由于粒子必定要在空间中的某点出现，所以任意时刻，在整个空间发现粒子的总几率应是1。对波函数的这个要求，称为波函数的归一化条件。四、波函数归一化条件例：物质波波函数需要满足的三个条件是：A、单值B、连续C、守恒D、归一化五、薛定谔方程1926年薛定谔提出了适用于低速情况下的,描述微观粒子在外力场中运动的微分方程，称为薛定谔方程。

薛定谔方程是量子力学的基本方程，是关于

和t的线性偏微分方程。其中，V=V(,t)是粒子的势能。

粒子在稳定力场中运动，势能V

、能量E不随时间变化，粒子处于定态，波函数写为定态薛定谔方程若粒子在一维空间运动，则六、一维无限深势阱中的粒子设粒子沿x轴作一维运动，势能函数为oaxV(x)∞∞势能曲线

束缚于金属内的自由电子只能在金属内运动，而不能逃逸出金属表面，可以近似地认为金属内的自由电子在一维无限深势阱内运动。薛定谔方程令则方程通解利用边界条件x=0，,则B=0。再利用边界条件x=a

，,则一般来讲

A≠0,只有sinka=0

。或有能量n称为量子数，表明粒子的能量是量子化的。波函数由于粒子被限制在势阱内运动,所以得波函数概率密度试求：（1）常数A；（2）粒子在0到a/2区域出现的概率；（3）粒子在何处出现的概率最大？解:（1）由归一化条件得:

（2）粒子的概率密度为:例１作一维运动的粒子被束缚在0<x<a的范围内。已知其波函数

为

在0<x<a/2区域内，粒子出现的概率为（3）概率最大的位置应满足因0<x<a故得粒子出现的概率最大。14.8量子力学对氢原子的应用一、氢原子的量子力学结论势能定态薛定谔方程1.能量量子化n主量子数，氢原子的能量是量子化的。3.角动量空间量子化角动量

在外磁场方向Z的投影ml磁量子数，角动量在空间取向是量子化的，称为空间