2024年广东省高考数学适应性联考试卷附答案解析

2024年广东省高考数学适应性联考试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有1.(5分)已知集合M={x|x²-3x-4<0},N={xlv=In(x-1)},则MNN=()A.(1,4)B.[1,4]C.(-1,4)A.-3+3iB.-3-3iC.3+3iA.√6B.2√6C.2√2A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件A.6.(5分)如图，将正四棱台切割成九个部分，其中一个部分为长方体，四个部分为直三棱柱，四个部分为四棱锥.已知每个直三棱柱的体积为3,每个四棱锥的体积为1,则该正四棱台的体积为()A.36B.327.(5分)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x-3)²+y²=1,且圆C与x轴交于M,N两点，设直线1的方程为y=kx(k>0),直线1与圆C相交于A,B两点，直线AMA.ki+k₂=2k₃B.2k₁+k₂=k₃C.ki+2k2=kD.ki+k2=k₃8.(5分)已知直线BC垂直单位圆O所在的平面，且直线BC交单位圆于点A,AB=BC=1,P为单位圆上除A外的任意一点，l为过点P的单位圆O的切线，则()A.有且仅有一点P使二面角B-1-C取得最小值B.有且仅有两点P使二面角B-1-C取得最小值C.有且仅有一点P使二面角B-1-C取得最大值D.有且仅有两点P使二面角B-1-C取得最大值二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.(多选)9.(6分)一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1,2;红球有两个，编号为3,4,从中不放回的依次取出两个球，A表示事件“取出球”,D表示事件“取出的两球同色”,则()C.B与D相互独立D.A与C相互独立(多选)10.(6分)已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,且f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7.若x=2是g(x)的对称轴，且g(2)=4,则下列结A.f(x)是奇函数B.(3,6)是g(x)的对称中心C.2是f(x)的周期(多选)11.(6分)在平面直角坐标系中，将函数f(x)的图象绕坐标原点逆时针旋转α(0A.存在90°旋转函数B.80°旋转函数一定是70°旋转函数C.若为45°旋转函数，则a=1D.若为45°旋转函数，则-e²≤b≤0第2页(共22页)三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。把答案填在答题卡中的横线上。12.(5分)13.(5分)已知F为抛物线C:y²=4x的焦点，直线x=t与C交于A,B,AF与C的另一个交点为D,BF与C的另一个交点为E.若△ABF与△DEF的面积之比为4:1,则t14.(5分)设严格递增的整数数列a1,a2,…,a20满足a1=1,a20=40.设f为ai+a2,a2+a3,…,a19+a20这19个数中被3整除的项的个数，则f的最大值为,使得f取到最大 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD,平面ABC⊥平面ABD,AC=AD,AB=BD.(2)求二面角A-CD-B的余弦值.16.(15分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,a=2.17.(15分)设(1)若(2)证明：18.(17分)设离散型随机变量X和Y有相同的可能取值，它们的分布列分别为P(X=ak)=xk,P(Y=ak)=yk,xk>0,yk>0,k=1,2,…,n,Zk=1xk=Zk=1yk=1.指第3页(共22页)B(n,p),0<p<1.(3)对任意与X有相同可能取值的随机变量Y,证明：D(XIlY)≥0,并指出取等号的充要条件.19.(17分)已知椭圆C:的左焦点为F,P为曲线E:上的动点，且点P不在x轴上，直线FP交C于A,B(1)证明：曲线E为椭圆，并求其离心率；(2)证明：P为线段AB的中点；(3)设过点A,B且与AB垂直的直线与C的另一个交点分别为M,N,求△PMN面积的取值范围.第4页(共22页)2024年广东省高考数学适应性联考试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有1.(5分)已知集合M={x|x²-3x-4<0},N={xly=In(x-1)},则MNN=()A.(1,4)B.[1,4]C.(-1,【解答】解：M={xix²-3x-4<0}={x-1<x<4},A.-3+3iB.-3-3iC.3+3i【解答】解：(1-2i)(z-3-2i)=2+i,故z=3+3i,距为()A.√6B.2√6A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件第5页(共22页)C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件当λ>0,且μ>0时，5.(5分)函的图象不可能是()A.【解答】解：根据题意，函当a=0时，是反比例函数，其图象与A符合；当a≠0时，设g(x)=In|x|,其图象大致如图：第6页(共22页)是反比例函数，其图象与y=g(x)的图象一定存在交点，的图象.6.(5分)如图，将正四棱台切割成九个部分，其中一个部分为长方体，四个部分为直三棱柱，四个部分为四棱锥.已知每个直三棱柱的体积为3,每个四棱锥的体积为1,则该正四棱台的体积为()A.36B.32C.28【解答】解：设每个四棱锥的底面边长为a,中间正四棱柱的底面边长为b,高为h,∴b²h=12,即中间正四棱柱的体积为12,∴该正四棱台的体积为12+4(3+1)=28.M,N两点，设直线1的方程为y=kx(k>0),直线1与圆C相交于A,B两点，直线AM第7页(共22页)A.ki+k₂=2k₃B.2k₁+k₂=k₃C.k1+2k2=k₃D.ki+k2=k3【解答】解：根据题意，作出示意图形，如图所示，由题意得M(2,0),N(4,0),同理可得B(可知ki+2k₂=0,即∴直线OP的斜A项的式子符合题意.8.(5分)已知直线BC垂直单位圆O所在的平面，且直线BC交单位圆于点A,AB=BC=1,P为单位圆上除A外的任意一点，1为过点P的单位圆O的切线，则()A.有且仅有一点P使二面角B-1-C取得最小值B.有且仅有两点P使二面角B-1-C取得最小值C.有且仅有一点P使二面角B-l-C取得最大值D.有且仅有两点P使二面角B-1-C取得最大值【解答】解：过A作AML1于M,连接MB、MC,因为直线BC垂直单位圆O所在的平面，且直线BC交单位圆于点A,第8页(共22页)所以AC⊥l,所以l1平面AMC,所以1⊥MC,l⊥MB,二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.(多选)9.(6分)一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1,2;红球有两个，编号为3,4,从中不放回的依次取出两个球，A表示事件“取出球”,D表示事件“取出的两球同色”,则()A.A与D相互独立B.A与B相互独立C.B与D相互独立D.A与C相互独立第9页(共22页)2;红球有两个，编号为3,4,P(AD)=0,与C是相互独立事件，故D正确.(多选)10.(6分)已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,且f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7.若x=2是g(x)的对称轴，且g(2)=4B.(3,6)是g(x)的对称中心所以g(x)的对称中心为即(3,6),故B正确；即g(x)的周期为4,所以g(x)为偶函数，且关于(3,6)中心对称，所以g(1)+g(2)+g(3)+g(4)=g(-1)+[g(2)+g(4)所以2k=1g(k)=5[g(1)+g(2)+g(3)+g(4)]+g(1)+g(2)=5×24+6+4=130,故D正确.第11页(共22页)A.存在90°旋转函数B.80°旋转函数一定是70°旋转函数为45°旋转函数，则a=1D.若45°旋转函数，则-e²≤b≤0【解答】解：对于A,如y=x满足条件，故A正确；对于B,如倾斜角为20°的直线是80°旋转函数，不是70°旋转函数，故B错误；则根据函数的性质可得，时针旋转45°后，不存在与x轴垂直的直线，使得直线与函数有1个以上的交点.故不存在倾斜角为45°的直线与的函数图象有两个交点.即y=x+b(b∈R)至多1个交点.当a=1时，-bx+1=0最多1个解，满足题意；对任意的a,都存在b使得判别式大于0,不满足题意，故a=1.故C正确；对与D,同C,与y=x+a(aER)的交点个数小于等于1,即为非正或非负函数.即y=e×图象在y=-b(x-1)上方，故-b≥0,即b≤0.对y=e求导有y¹=e,故解得xo=2,≤0.故D正确。第12页(共22页)三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。把答案填在答题卡中的横线上。12.(5分)的展开式中x⁴y²的系数为-40.(用数字作答)故120-160=-40.故答案为：-40.所以直线AD的方程为,故答案为：2.第13页(共22页)个模3余2这样的组合，这样它们之和才会被3整除，而a₁=1,a20=40,均为模3余1,如严格递增数列1,2,4,5,7,8,10,11,13,14,16,17,19,20,22,23,25,26,28,40,满足题意，第二个空，因为1～40这40个数中，共有27个数符合模3余1或模3余2,则要从这27个数中选出满足要求的20个数.第一步，在a₁到a20这20个数中删去一个数(后面再加回来),使得剩下的19个数满足任意相邻数一个模3余1,一个模3余2,第二步，将这27个数从小到到大排列，需要删去8个数得到目标中任意相邻两数一个模3余1,一个模3余2,有3种情况：第14页(共22页)在下一步加回来时也最多加回1或40中的一个，而1和40必定在数列中，因此不满足；第四步，删去的四组相邻数中有一组中有一个数被加回来，即未被删去，被删去的是这一组中的另一个数，而对于删去的数，假设为A,它旁边两个数分别为B,C,即排列为B,A,C,在第三步捆绑时，可能捆绑的组合为BA,然后删去，再补回B;或者为AC,然后删去，再补回C,这两种删去方式结果相同.综上，共故答案为：18;25270.四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD,平面ABC⊥平面ABD,AC=AD,AB=BD.(1)证明：BC⊥BD;(2)求二面角A-CD-B的余弦值.【解答】解：(1)证明：因为AB⊥平面BCD,且BDc平面BCD,因为平面ABC⊥平面BCD,平面ABC∩面平ABD=AB,BDC面BCD,所以BD⊥面ABC,第15页(共22页)因为BC=BD,所以BM⊥CD,所以∠AMB是二面角A-CD-B的一个平面角，且由图可知∠AMB为锐角.所即二面角A-CD-B的余弦值解法二：由(1)可知，AB、BC、BD三者两两相互垂直，角坐标系.即二面角A-CD-B的余弦值第16页(共22页)16.(15分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已,a=2.求b.【解答】解：(1)在△ABC中，sinB+sinC=2sinA,所以(b+c)²=b²+c²+2bc=16,故b²+c²=16-2bc(*),在△ABC中，由余弦定理可得：代入数据和(*)式可得：bc=4,所以三角形面积为：第17页(共22页)化简可得：所以可得：],化简可得：同理可得：又因为BE(0,π),故sin17.(15分)设(1)若(2)证明：(3)若tanx+2sinx-ax>0,求实数a的取值范围.【解答】解：(1)因为(2)证明：先证当,x-sinx>0.令m(x)=x-sinx,则m′(x)=1-cos>0在时恒成立，所以)上单调递增，所以m(x)>m(0)=0,即当,x-sinx>0.要证只需证明tanx-x>2(x-sinx),即证tanx+2sinx-3x>0,令φ(x)=tanx+2sinx-3x,因为0<cosx<1,所以φ′(x)>0,第18页(共22页)所以f(x)的值域为(3-a,+0),所以实数a的取值范围为(-0,3).=xk,P(Y=ak)=yk,xk>0,yk>0,k=1,2,…,n,Zk=1xk=Zκ=1yk=1.指B(n,p),0<p<1.第19页(共22页)记f(p)=D(X|Y)=p²ln3p²