立体几何中的向量方法空间中的距离问题

【温故知新】平面的法向量：如果表示向量

的有向线段所在直线垂直于平面

，则称这个向量垂直于平面,记作

⊥，如果

⊥，那么向量叫做平面的法向量.

给定一点A和一个向量,那么过点A,以向量为法向量的平面是完全确定的.lA注意：1.法向量一定是非零向量;2.一个平面的所有法向量都互相平行;向量法求法向量的步骤：外积法求法向量的步骤：),,(),,,()1(222111zyxbzyxa==向量的坐标两个不共线的找出（求出）平面内的)2(利用行列式求解(3)®n就是平面的一个法向量=®n,21zzcbaddb-=2013年全国新课标Ⅰ卷18题用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（化为向量问题）（进行向量运算）（回到图形）【新知学习】空间“距离”问题1.空间两点之间的距离

根据两向量数量积的性质和坐标运算，利用公式或(其中)

，可将两点距离问题转化为求向量模长问题

例1：如图1，一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？A1B1C1D1ABCD图1解：如图1，设化为向量问题依据向量的加法法则，进行向量运算所以回到图形问题这个晶体的对角线的长是棱长的倍。思考：教材P106（1）本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系？

（2）如果一个四棱柱的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于,那么有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗?A1B1C1D1ABCD分析:分析:∴这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。（3）本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少？设AB=1（提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求两点间的距离）A1B1C1D1ABCDH

分析：面面距离点面距离解：∴所求的距离是问题：如何求直线A1B1到平面ABCD的距离？2、向量法求点到平面的距离：DABCGFExyz分析:用几何法做相当困难,注意到坐标系建立后各点坐标容易得出,又因为求点到平面的距离可以用法向量来计算,而法向量总是可以快速算出.例2:如图，已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离.E当E,F在公垂线同一侧时取负号当d等于0是即为“余弦定理”<>=π-θ（或θ），abCDABCD为a,b的公垂线则A，B分别在直线a,b上已知a,b是异面直线，n为a的法向量3.异面直线间的距离

即间的距离可转化为向量在n上的射影长，zxyABCC1即取x=1,则y=-1,z=1,所以EA1B1APDCBMNzxy解：如图,以D为原点建立空间直角坐标系D－xyz，则D(0,0,0),A(,0,0),B(,,0),C(0,,0),P(0,0,)

小结1、E为平面α外一点,F为α内任意一点,为平面α