算法设计与分析 课件 5.7-动态规划应用-最长不上升子序列_第1页
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信息工程大学算法设计与分析动态规划—最长不上升子序列国家级实验教学示范中心计算机学科组规划教材算法设计与分析Python案例详解微课视频版某国为了防御敌国导弹袭击，开发出一种导弹拦截系统。但是这种导弹拦截系统有一个缺陷：虽然它的第一发炮弹能够到达任意的高度，但是以后每一发炮弹都不能高于前一发的高度。某天，雷达捕捉到敌国的导弹来袭，由于该系统还在试用阶段，所以只有一套系统，因此有可能不能拦截所有的导弹。输入导弹的枚数和导弹依次飞来的高度，计算这套系统最多能拦截多少导弹？样例输入：8389207155300

29917015865

样例输出：6最长不上升子序列问题最长不上升子序列问题：

设有一个正整数的序列a0,a1,…,an-1,对于下标i1<i2<…＜im，若有ai1>=ai2>=…>=aim，则称存在一个长度为m的不上升子序列。当a0,a1,…,an-1给出之后，求最长不上升子序列的长度。i01234567a[i]38920715530029917015865问题分析：a[8]={389,207,155,300,299,170,158,65}i=0时，{389}，长度为1i=1时，{389207}，长度为2i=2时，{389207155}，长度为3i=3时，{389300}，长度为2……如果a[j]>=a[i]且j<i，那么以a[i]为结尾元素构成的不上升子序列长度=以a[j]为结尾元素构成的不上升子序列长度+1；a[i]为结尾元素构成的最长不上升子序列长度=max{以a[j]为结尾元素构成的最长不上升子序列长度+1}问题分析：定义f(i)表示以a[i]结尾的最长不上升子序列的长度。f(i)=max{f(j)+1}，且j<i，a[j]≥a[i]，0≤j<i<n。最长不上升子序列长度为max{f(i)}(0≤i≤n-1)。i01234567a[i]38920715530029917015865f[i]最优值的计算过程：f(i)=max{f(j)+1}，且j<i，a[j]≥a[i]，0≤j<i<n。12323456整个问题的解为：max{f(i)}=6fori=0ton-1f[i]=1;/*初始化*/fori=1ton-1/*分阶段求f[i]*/{maxlen=1;forj=0toi-1if(a[i]<=a[j]&&f[j]+1>maxlen)maxlen=f[j]+1;f[i]=maxlen;}maxlen=f[0];/*求最优值*/fori=1ton-1iff[i]>maxlenmaxlen=f[i];printf(maxlen);时间复杂度T(n)=O(n2)思考：如何求解对应的最优解？设s(i)记录f(i)对应的j，即a[i]前面的一项为a[j]。从最大的f(i)开始，根据s(i)不断得到其前面的若干项。最终得到38930029917015865i01234567a[i]38920715530029917015865f[i]12323456s[i]-10

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