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信息工程大学算法设计与分析综合应用—最短路径问题问题描述和分析国家级实验教学示范中心计算机学科组规划教材算法设计与分析Python案例详解微课视频版最短路径问题是图论中的一个经典问题，有以下几种常见形式：确定起点的最短路径问题确定终点的最短路径问题确定起点终点的最短路径问题任意两点间的最短路径问题单源最短路径问题

给定带权有向图G=(V,E)，图G的顶点编号为1~n(1≤n≤100)。求G中某两点间的最短路径长度。50102060100301012534从点1到其他点的最短路径是：1-21-41-4-31-4-3-550102060100301012534边数最长的最短路径是1-4-3-5，这个最短路径也包含了1到4、1到3的最短路径。可以从中发现什么？从点1到其他点的最短路径是：1-21-41-4-31-4-3-5一般地，假设从u

到点v的最短路径是u->u1->…uk->uk+1->v，那么从u到uk的最短路径是什么？50102060100301012534从u到v的最短路径包含了从u到u1、u2…uk、uk+1的最短路径。最短路径问题满足最优子结构性质：u到v的最短路径包含u到该路径上其它各点的最短路径。反证法：已知，一条从起点u到v的最短路径:uu1…uk+1vuu1u2…uk-1ukuk+1vⅠⅡ反证法：已知，一条从起点u到v的最短路径:uu1…uk+1vuu1u2…uk-1ukuk+1vⅠⅡ③做如下替换：ⅡⅠⅡⅢ④可得,路径的长度小于路径的长度ⅡⅠⅡⅢ⑤该结论与已知条件矛盾，假设不成立。①假设，路径Ⅰ不是起点u到中间点uk的最短路径。②则必然存在一条比路径Ⅰ更短的路径Ⅲ：uu’1…u’m-1ukuu1u2…uk-1ukuk+1vuu1u2…uk-1ukuk+1uu1uu1u2…最短路径问题满足最优子结构性质：u到v

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