北京市东城区高二第一学期数学期末试卷及答案理科

东城区2017—2018学年度第一学期期末教学统一检测高二数学(理科)本试卷共4页，共100分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共36分）一、选择题:（共大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若两点的纵坐标相等，则直线的倾斜角为A．B.C．D.2.已知命题，，那么命题为A.B.C．D.3.在平面直角坐标系中，正三角形的边所在直线的斜率是，则边所在直线的斜率之和为A．B.C．D.4.已知表示两条不同的直线，表示平面，且,则“”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5.结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为的小正方体堆积成的正方体），其中点代表钠原子，黑点代表氯原子．建立空间直角坐标系后，图中最上层中心的钠原子所在位置的坐标是 B.C. D.6.如图所示，在正方体中，四面体在面上的正投影图形为ABCD7.设椭圆的左、右焦点分别是，，线段被点分成的两段，则此椭圆的离心率为A．B．C．D．8.已知直线，和平面，，且，，则下列命题中正确的是A．若，则B．若，则C.若，则D．若，则9.若半径为的动圆与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程为A.B.C.或D.或10.已知双曲线的焦距为，点在的一条渐近线上，则的方程为A．B.C.D.11.平面上动点到定点与定直线的距离相等，且点与直线的距离为1.某同学建立直角坐标系后，得到点的轨迹方程为，则他的建系方式是ABCDMNABCDPhone12.正方体的棱长为，,为棱,上的动点，且，则线段中点MNABCDPhone的轨迹为A.线段B.圆的一部分C.椭圆的一部分D.双曲线的一部分二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．13.在空间直角坐标系中，点在平面内的射影为，则＝________.14.若直线与直线垂直，且不过第一象限，试写出一个直线的方程：.15.已知直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，则,.16.圆绕直线旋转一周所得的几何体的表面积为.17.在长方体中，,分别是棱，的中点，若，则异面直线与所成的角为.已知曲线上的任意一点满足到两条直线的距离之积为12.给出下列关于曲线的描述：=1\*GB3①曲线关于坐标原点对称；=2\*GB3②对于曲线上任意一点一定有；=3\*GB3③直线与曲线有两个交点；④曲线与圆无交点.其中所有正确描述的序号是_______.三、解答题：本大题共4个小题，46分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．19．（本题满分10分）已知直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为.（Ⅰ）求直线的方程；（Ⅱ）若直线与直线平行，且与间的距离为，求直线的方程.20.（本题满分11分）已知圆.（Ⅰ）试写出圆的圆心坐标和半径；（Ⅱ）圆的圆心在直线上，且与圆相外切，被轴截得的弦长为，求圆的方程；（III）过点的直线交（Ⅱ）中圆于两点，求弦的中点的轨迹方程.（本题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，为的中点．（Ⅰ）若，求证：平面⊥平面；（Ⅱ）点在线段上，，试确定实数的值，使平面；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若平面平面，且，求二面角的大小．（本题满分13分）已知椭圆的焦点在圆上，且离心率为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过原点O的直线与椭圆交于，两点，为右焦点，若△为直角三角形，求直线的方程．东城区2017—2018学年度第一学期期末教学统一检测高二数学（理科）参考答案及评分标准选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.A2.C3.C4.D5.A6.A7.C8.B9.C10.D11.C12.B填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．13.14.（答案不唯一）15.16.17.18.=1\*GB3①=3\*GB3③④注：两个空的填空题第一个空填对得1分，第二个空填对得2分．三、解答题：本大题共4小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（本题满分10分）解：（Ⅰ）由直线过点，所以直线在轴上的截距为.由已知条件可得直线在轴上的截距为，即直线过点.故直线方程为，即................4分（Ⅱ）由条件设直线的方程为，由两条直线间的距离为，可得到直线的距离为，则有，解得或.故所求直线的方程为或................10分20.（本题满分11分）解：（Ⅰ）将圆的方程改写为，故圆心坐标为，半径为..........4分（Ⅱ）设圆的半径为，圆心纵坐标为，由条件可得，解得.此时圆心纵坐标.所以圆的方程为................8分（Ⅲ）设，依题意有.即，且整理得且.当时，，符合题意，当时，，符合题意.故所求点的轨迹方程为..................11分21.（本题满分12分）证明：（Ⅰ）连接.因为，，所以△为正三角形．因为为的中点，所以.因为，为中点，所以.又，所以平面.因为平面，所以平面⊥平面................4分（Ⅱ）连接，交于点.由，可得△∽△，所以.因为平面，平面，平面平面，所以.所以，即，所以................8分（Ⅲ）由，为的中点，则，又平面平面，所以平面.以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立如图所示的坐标系，则，，，，，．设平面的法向量为，可得因为，所以即令则.于是．取平面的法向量，所以.故二面角的大小为................12分22.（本题满分13分）解：（Ⅰ）因为椭圆的焦点在轴上，所以焦点为圆与轴的交点，即.所以.又离心率，所以.故所求椭圆方程为．...............4分（Ⅱ）当△为直角三角形时，显然直线斜率存在，可设直线方程为，设，．（ⅰ）当时，，．由得.则，.．解得．