2022-2023学年江苏八年级数学上学期压轴题精练专题04-线段、角的轴对称性(含详解)

2022-2023学年苏科版数学八年级上册压轴题专题精选汇编专题04线段、角的轴对称性考试时间：120分钟试卷满分：100分姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三总分得分评卷人得分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2021八上·南京期末）如图，点P在锐角的内部，连接，，点P关于、所在直线的对称点分别是、，则、两点之间的距离可能是（）A．8 B．7 C．6 D．52．（2分）（2021八上·嵩县期末）如图，是的角平分线，于点E，，，，则的长是（）A．2 B．3 C．4 D．53．（2分）（2021八上·海曙期末）如图，CD是等腰三角形△ABC底边上的中线，BE平分∠ABC，交CD于点E，AC＝8，DE＝2，则△BCE的面积是（）A．4 B．6 C．8 D．124．（2分）（2021八上·嵩县期末）如图，中，，，的垂直平分线分别交于点E，F，与，分别交于点D，G，则的度数为（）A． B． C． D．5．（2分）（2021八上·淳安期末）已知下列尺规作图：①作一个角的角平分线；②作一个角等于已知角；③作一条线段的垂直平分线，其中作法正确的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③6．（2分）（2021八上·如皋期末）如图，在中，，，D为的中点，P为上一点，E为延长线上一点，且有下列结论：①；②为等边三角形；③；④其中正确的结论是（）A．①②③④ B．①② C．①②④ D．③④7．（2分）（2021八上·如皋月考）如图，四边形ABCD中，AB=AD，点关于的对称点B′恰好落在CD上，若，则的度数为（）A． B． C． D．8．（2分）（2021八上·盐湖期中）有一题目：“如图，∠ABC=40°，BD平分∠ABC，过点D作DE∥AB交BC于点E，若点F在AB上，且满足DF=DE，求∠DFB的度数．”小贤的解答：以D为圆心，DE长为半径画圆交AB于点F，连接DF，则DE=DF，由图形的对称性可得∠DFB=∠DEB．结合平行线的性质可求得∠DFB=140°．而小军说：“小贤考虑的不周全，∠DFB还应有另一个不同的值”．下列判断正确的是（）A．小军说的对，且∠DFB的另一个值是40°B．小军说的不对，∠DFB只有140°一个值C．小贤求的结果不对，∠DFB应该是20°D．两人都不对，∠DFB应有3个不同值9．（2分）（2021八上·长沙月考）如图，在Rt△ABC中，∠CBA＝90°，∠CAB的角平分线AP和∠MCB的平分线CF相交于点D，AD交CB于点P，CF交AB的延长线于点F，过点D作DE⊥CF交CB的延长线于点G，交AB的延长线于点E，连接CE并延长交FG于点H，则下列结论：①∠CDA＝45°；②AF﹣CG＝CA；③DE＝DC；④CF＝2CD+EG；其中正确的有（）A．②③ B．②④ C．①②③④ D．①③④10．（2分）（2021八上·江津期中）如图，D为∠BAC的外角平分线上一点并且满足BD＝CD，∠DBC＝∠DCB，过D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，则下列结论：①△CDE≌△BDF；②CE＝AB+AE；③∠BDC＝∠BAC；④∠DAF＝∠CBD.其中正确的结论有（）个A．1 B．2 C．3 D．4评卷人得分二．填空题（共10小题，满分10分，每小题1分）11．（1分）（2021八上·永定期末）在ABC中，AD⊥BC于点D，BD＝CD，若BC＝6，AD＝4，则图中阴影部分的面积为.12．（1分）（2021八上·淳安期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，D为BC的中点，连接AD，E是AB上的一点，P是AD上一点，连接EP、BP，AC=10，BC=12，则EP+BP的最小值是.13．（1分）（2021八上·徐汇期末）如图，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF//OB，EC⊥OB，若EC＝2，则EF＝．14．（1分）（2021八上·槐荫期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC＝7，DE＝3，则BD的长为．15．（1分）（2021八上·交城期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD为△ABC的角平分线，过点D作直线lAB，点P为直线l上的一个动点，若△BCD的面积为16，BC＝8，则AP最小值为．16．（1分）（2021八上·建华期末）小聪在研究题目“如图，在等腰三角形ABC中，，，的平分线与AB的垂直平分线OD交于点O，点C沿直线EF折叠后与点O重合，你能得出那些结论？”时，发现了下面三个结论：①；②图中没有60°的角；③D、O、C三点共线．请你直接写出其中正确的结论序号：17．（1分）（2021八上·如皋月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，两锐角的角平分线交于点P，点E、F分别在边BC、AC上，且都不与点C重合，若∠EPF＝45°，连接EF，当AC＝6，BC＝8，AB＝10时，则△CEF的周长为.18．（1分）（2021八上·广州期中）如图，在中，和的平分线、相交于点，交于点，交于点，过点作于点，则下列三个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是．19．（1分）（2021八上·余杭月考）如图，ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的是.①CP平分∠ACF；②∠ABC＋2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP＋S△NCP.20．（1分）（2020八上·怀宁期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝124°，分别作AC，AB两边的垂直平分线PM，PN，垂足分别是点M，N．以下说法：①∠P＝56°；②∠EAF＝68°；③PE＝PF；④点P到点B和点C的距离相等．正确的是（填序号）．评卷人得分三．解答题（共9小题，满分70分）21．（5分）（2021八上·海珠期末）已知：如图，PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，D、E分别是边PA和PB上的点，且CD＝CE．求证：∠APB+∠DCE＝180°．22．（5分）（2021八上·房山期末）如图，中，CD平分，且E为AB的中点，于M，于N，请你判断线段BM与AN的数量关系并加以证明．23．（8分）（2021八上·松桃期末）如图，在中，，AB边的垂直平分线分别交AB于点E，交AC于点F，点D在EF上，且，G是AC的中点，连接DG.（1）（4分）求证：；（2）（4分）判断是否是等边三角形，并说明理由.24．（10分）（2021八上·延庆期末）如图，∠AOB＝45°，OC是∠AOB的角平分线，点D是射线OB上的一点，点M为线段OD的中点，过点M作OD的垂线，交射线OA于点E，交射线OC于点F，连接ED，交OC于点G．（1）（3分）依题意补全图形；（2）（3分）猜想EF和EG的数量关系并证明；（3）（4分）求证：ED＋EF＝2EM．25．（7分）（2020八上·东海期末）问题情境：七下教材第149页提出这样一个问题：如图1，∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，把三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，并使三角尺的两条直角边分别与OA、OB相交于点E、F，PE与PF相等吗？（1）（3分）七年级学习这部分内容时，我们还无法对这个问题的结论加以证明，八下教材第59页第11题不仅对这一问题给出了答案：“通过实验可以得到PE＝PF”，还要求“现在请你证明这个结论”，请你给出证明：（2）（4分）变式拓展：

如图2，已知∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，P是OC上一点，∠EPF＝60°，PE边与OA边相交于点E，PF边与射线OB的反向延长线相交于点F.试解决下列问题：①PE与PF还相等吗？为什么？②试判断OE、OF、OP三条线段之间的数量关系，并说明理由.26．（10分）（2021八上·松江期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AB=1，点D是边AC上一点（不与点A、C重合），EF垂直平分BD，分别交边AB、BC于点E、F，联结DE、DF．（1）（3分）如图1，当BD⊥AC时，求证：EF=AB；（2）（3分）如图2，设CD=x，CF=y，求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）（4分）当BE=BF时，求线段CD的长．27．（7分）（2021八上·淮滨月考）（1）（1分）如图1所示，在中，，BC的垂直平分线交AB于点D，垂足为E，当BD=5cm，，的周长=.（2）（1分）如图2所示，在中，，，D是BC的中点，，垂足为E，那么.（3）（5分）如图3所示，在等边△ABC中，D，E分别是BC，AC上的点，且AE=DC，AD，BE交于点P，作BQ⊥AD于点Q，若BP=2，求PQ的长.28．（8分）（2021八上·崇阳期中）（1）（4分）如图，在四边形ABCD中，∠BAD=α，∠BCD=180°−α，BD平分∠ABC.①如图1，若α=90°，请直接写出AD与CD之间的数量关系__；②在图2中，①中结论是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由；（2）（4分）根据（1）的解题经验，请解决如下问题：如图3，在等腰△ABC中，∠BAC=100°，BD平分∠ABC，求证：BD+AD=BC.29．（10分）（2021八上·余杭月考）在中，.（1）（3分）如图1、求证：：（2）（3分）如图2，D为AB上一点，连接CD，E为CD中点，过点E作于点E，连接，求证：；（3）（4分）如图3，在（2）的条件下，过点F作于点H，连接AF，若AF∥BC，FH=4，CH=20，BD=10，求的面积

2022-2023学年苏科版数学八年级上册压轴题专题精选汇编专题04线段、角的轴对称性考试时间：120分钟试卷满分：100分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2021八上·南京期末）如图，点P在锐角的内部，连接，，点P关于、所在直线的对称点分别是、，则、两点之间的距离可能是（）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】D【完整解答】解：连接OP1，OP2，P1P2，∵点P关于直线OA，OB的对称点分别是点P1，P2，∴OP1=OP=3，OP=OP2=3，OP1+OP2＞P1P2，0＜P1P2＜6，所以A，B，C不符合题意，D符合题意；故答案为：D.【思路引导】连接OP1，OP2，P1P2，利用轴对称的性质和垂直平分线的性质，可证得OP1=OP=3，OP=OP2=3，再利用三角形三边关系定理，可求出0＜P1P2＜6，由此可得答案.2．（2分）（2021八上·嵩县期末）如图，是的角平分线，于点E，，，，则的长是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【完整解答】解：如图，过点D作DF⊥AC，，AD是△ABC的角平分线，，，即解得故答案为：C.【思路引导】过点D作DF⊥AC于点F，利用角平分线上的点到角两边的距离相等可求出DF的长，再利用可求出AC的长.3．（2分）（2021八上·海曙期末）如图，CD是等腰三角形△ABC底边上的中线，BE平分∠ABC，交CD于点E，AC＝8，DE＝2，则△BCE的面积是（）A．4 B．6 C．8 D．12【答案】C【完整解答】解：过点E作EF⊥BC于F，

∵AC＝BC＝8，CD是等腰三角形△ABC底边上的中线，

∴CD⊥AB，

∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，

∴EF＝DE＝2，

∴△BCE的面积＝×BC×EF＝×8×2=8.

故答案为：C.

【思路引导】过点E作EF⊥BC于F，利用等腰三角形的性质可证得CD⊥AB，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可求出EF的长；再利用三角形的面积公式可求出△BCE的面积.4．（2分）（2021八上·嵩县期末）如图，中，，，的垂直平分线分别交于点E，F，与，分别交于点D，G，则的度数为（）A． B． C． D．【答案】A【完整解答】解：∵DE垂直平分AB，FG垂直平分AC，∴EB=EA，FA=FC，∴∠BAE=∠B，∠FAC=∠C，∵△ABC中，∠BAC=130°，∴∠B+∠C=50°，∴∠BAE+∠FAC=50°，∴∠EAF=∠BAC﹣（∠BAE+∠FAC）=80°.故答案为：A.【思路引导】利用垂直平分线的性质可知EA=EB，FA=FC，利用等边对等角得∠BAE=∠B，∠FAC=∠C；再利用三角形的内角和定理可求出∠B+∠C的度数；然后可用∠EAF=∠BAC﹣（∠BAE+∠FAC）计算可求解.5．（2分）（2021八上·淳安期末）已知下列尺规作图：①作一个角的角平分线；②作一个角等于已知角；③作一条线段的垂直平分线，其中作法正确的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】A【完整解答】解：由作图可知：作图正确的是①②.

故答案为：A.

【思路引导】利用作一个角等于已知角的方法，作线段垂直平分线的方法，可得答案.6．（2分）（2021八上·如皋期末）如图，在中，，，D为的中点，P为上一点，E为延长线上一点，且有下列结论：①；②为等边三角形；③；④其中正确的结论是（）A．①②③④ B．①② C．①②④ D．③④【答案】C【完整解答】解：如图，连接BP，∵AC＝BC，∠ABC＝30°，点D是AB的中点，∴∠CAB＝∠ABC＝30°，AD＝BD，CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝60°，∴CD是AB的中垂线，∴AP＝BP，而AP＝PE，∴AP＝PB＝PE∴∠PAB＝∠PBA，∠PEB＝∠PBE，∴∠PBA+∠PBE＝∠PAB+∠PEB，∴∠ABC＝∠PAD+∠PEC＝30°，故①正确；∵PA＝PE，∴∠PAE＝∠PEA，∵∠ABC＝∠PAD+∠PEC＝30°，∴∠PAE+∠PEA＝而∴△PAE是等边三角形，故②正确；如图，延长至，使则点P关于AB的对称点为P′，连接P′A，∴AP＝AP′，∠PAD＝∠P′AD，∵△PAE是等边三角形，∴AE＝AP，∴AE＝AP′，∵∠CAD＝∠CAP+∠PAD＝30°，∴2∠CAP+2∠PAD＝60°，∴∠CAP+∠PAD+∠P′AD＝60°﹣∠PAC，∴∠P′AC＝∠EAC，∵AC＝AC，∴△P′AC≌△∠EAC（SAS），∴CP′＝CE，∴CE＝CP′＝CP+PD+DP′＝CP+2PD，∴.故③错误；过点A作AF⊥BC，在BC上截取CG＝CP，∵CG＝CP，∠BCD＝60°，∴△CPG是等边三角形，∴∠CGP＝∠PCG＝60°，∴∠ECP＝∠PGB＝120°，且EP＝PB，∠PEB＝∠PBE，∴△PCE≌△PGB（AAS），∴CE＝GB，∴AC＝BC＝BG+CG＝EC+CP，∵∠ABC＝30°，AF⊥BE，∴AF＝AB＝AD，∵S△ACB＝CB×AF＝（EC+CP）×AF＝EC×AF+CP×AD＝S四边形AECP，∴S四边形AECP＝S△ABC.故④正确.所以其中正确的结论是①②④.故答案为：C.【思路引导】连接BP，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠CAB＝∠ABC＝30°，AD＝BD，CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝60°，进而推出AP＝BP＝PE，由等腰三角形的性质可得∠PAB＝∠PBA，∠PEB＝∠PBE，然后根据角的和差关系可判断①；易得∠PAE+∠PEA＝120°，∠APE=60°，据此判断②；延长PD至P′，使PD=P′D，则点P关于AB的对称点为P′，连接P′A，由等边三角形的性质可得AE＝AP，则AE＝AP′，推出∠P′AC＝∠EAC，证明△P′AC≌△∠EAC，得到CP′＝CE=CP+2PD，据此判断③；过点A作AF⊥BC，在BC上截取CG＝CP，则△CPG是等边三角形，则∠CGP＝∠PCG＝60°，证明△PCE≌△PGB，得到CE＝GB，推出AC＝BC＝EC+CP，根据含30°角的直角三角形的性质可得AF＝AB＝AD，据此不难判断④.7．（2分）（2021八上·如皋月考）如图，四边形ABCD中，AB=AD，点关于的对称点B′恰好落在CD上，若，则的度数为（）A． B． C． D．【答案】D【完整解答】解：如图，连接AB′，BB′，过A作AE⊥CD于E，∵点B关于AC的对称点B′恰好落在CD上，∴AC垂直平分BB′，∴AB＝AB′，∴∠BAC＝∠B′AC，∵AB＝AD，∴AD＝AB′，又∵AE⊥CD，∴∠DAE＝∠B'AE，∴∠CAE＝∠BAD＝α，又∵∠AEB′＝∠AOB′＝90°，∴四边形AOB′E中，∠EB′O＝180°−α，∴∠ACB′＝∠EB′O−∠COB′＝180°−α−90°＝90°−α，∴∠ACB＝∠ACB′＝90°−α，故答案为：D.【思路引导】连接AB′，BB′，过A作AE⊥CD于E，利用轴对称的性质可证得AC垂直平分BB′，∠BAC＝∠B′AC，利用垂直平分线的性质可推出AB＝AB′，由此可推出AD=AB′；利用等腰三角形的性质可得到∠DAE=∠BAE，由此可表示出∠CAE及∠EB′O；然后根据∠ACB′＝∠EB′O−∠COB′，代入计算可表示出∠ACB的度数.8．（2分）（2021八上·盐湖期中）有一题目：“如图，∠ABC=40°，BD平分∠ABC，过点D作DE∥AB交BC于点E，若点F在AB上，且满足DF=DE，求∠DFB的度数．”小贤的解答：以D为圆心，DE长为半径画圆交AB于点F，连接DF，则DE=DF，由图形的对称性可得∠DFB=∠DEB．结合平行线的性质可求得∠DFB=140°．而小军说：“小贤考虑的不周全，∠DFB还应有另一个不同的值”．下列判断正确的是（）A．小军说的对，且∠DFB的另一个值是40°B．小军说的不对，∠DFB只有140°一个值C．小贤求的结果不对，∠DFB应该是20°D．两人都不对，∠DFB应有3个不同值【答案】A【完整解答】解：如图，以点D为圆心，长为半径画圆交于点F，，连接，，则，，平分，由图形的对称性可知：，，，，，当点F位于点处时，，．故答案为：A．【思路引导】以点D为圆心，长为半径画圆交于点F，，连接，，则，由图形的对称性可知，结合平行线的性质求∠DFB=140°，当点F位于点处时，由DF=DF'可求出∠DF'B的度数.9．（2分）（2021八上·长沙月考）如图，在Rt△ABC中，∠CBA＝90°，∠CAB的角平分线AP和∠MCB的平分线CF相交于点D，AD交CB于点P，CF交AB的延长线于点F，过点D作DE⊥CF交CB的延长线于点G，交AB的延长线于点E，连接CE并延长交FG于点H，则下列结论：①∠CDA＝45°；②AF﹣CG＝CA；③DE＝DC；④CF＝2CD+EG；其中正确的有（）A．②③ B．②④ C．①②③④ D．①③④【答案】C【完整解答】解：设∠GCD＝x，∠DAC＝y，根据三角形外角的性质可得：，∴，故①正确；延长GD与AC相交于点P，∵DE⊥CF，∴∠CDG＝∠CDP＝90°，∵CF平分∠GCP，∴∠GCD＝∠PCD，在△GCD和△PCD中，，∴△GCD≌△PCD（ASA），∴CG＝CP，∵∠ADC＝45°，∴∠ADP＝∠ADF，在△AFD和△APD中，，∴△AFD≌△APD（ASA），∴AF＝AP，∴AF﹣CG＝CA，故②正确；同理△ACD≌△AED（ASA），∴CD＝DE，故③正确；在DF上截取DM＝CD，则DE是CM的垂直平分线，∴CE＝EM，∵∠ECG＝∠GCD﹣45°，∠MEF＝∠DEF﹣45°，∴∠ECG＝∠FEM，∵EF＝CP，CP＝CG，∴EF＝CG，在△EMF和△CEG中，，∴（SAS），∴FM＝GE，∴CF＝2CD+EG，故④正确；故答案为：C.【思路引导】设∠GCD＝x，∠DAC＝y，根据三角形外角的性质可得∠ADC=45°，据此判断①；延长GD与AC相交于点P，根据角平分线的概念可得∠GCD＝∠PCD，证明△GCD≌△PCD，得到CG＝CP，进而证明△AFD≌△APD，得到AF＝AP，据此判断②；同理△ACD≌△AED，据此判断③；在DF上截取DM=CD，则DE是CM的垂直平分线，CE＝EM，易得∠ECG＝∠FEM，证明△EMF≌△CEG，得到FM＝GE，据此判断④.10．（2分）（2021八上·江津期中）如图，D为∠BAC的外角平分线上一点并且满足BD＝CD，∠DBC＝∠DCB，过D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，则下列结论：①△CDE≌△BDF；②CE＝AB+AE；③∠BDC＝∠BAC；④∠DAF＝∠CBD.其中正确的结论有（）个A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【完整解答】解：∵AD平分，DE⊥AC，DF⊥AB，∴，在和中，，∴，故①正确；∴，在和中，，∴，∴，∴，故②正确；∵，∴，又∵，∴∠BDC＝∠BAC，故③正确；∵AD平分，∴，∵，∴，∵，，∠BDC＝∠BAC，∴，∴∠DAF＝∠CBD，故④正确；综上所述，正确的有①②③④；故答案为：D.【思路引导】由角平分线的性质可得DE=DF，根据HL证明，可得CE=AF，，根据HL证明，可得，从而得出，据此判断①②；在△AOB和△DOC中，，∠AOB=∠DOC，可得∠BDC＝∠BAC，据此判断③；利用三角形的内角和可求∠DAF+∠DAE=∠DBC+∠DCB

，从而得出∠DAF＝∠CBD，据此判断④.二．填空题（共10小题，满分10分，每小题1分）11．（1分）（2021八上·永定期末）在ABC中，AD⊥BC于点D，BD＝CD，若BC＝6，AD＝4，则图中阴影部分的面积为.【答案】6【完整解答】解：如图，先标注字母，∵在△ABC中，AD⊥BC，BD＝CD，

∴AB＝AC，∠ADB＝∠ADC＝90°，S△ABD＝S△ACD，

∴∠BAD＝∠CAD，

在△ABE和△ACE中，

AB＝AC，∠BAE＝∠CAE，AE＝AE，

∴△ABE≌△ACE（SAS），

∴S△ABE＝S△ACE，

在△BDF和△CDF中，

BD＝CD，∠BDF＝∠CDF，DF＝DF，

∴△BDF≌△CDF（SAS），

∴S△BDF＝S△CDF，

∴S△BEF＝S△CEF，

∵S△ABC＝BC•AD＝×4×6＝12，

∴S阴影＝S△ABC＝6．故答案为：6.【思路引导】由AD⊥BC于D点，BD＝CD，得△ABC是等腰三角形，易证△ABE≌△ACE，△BDF≌△CDF，继而可得S阴影＝S△ABC，则可求得答案．12．（1分）（2021八上·淳安期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，D为BC的中点，连接AD，E是AB上的一点，P是AD上一点，连接EP、BP，AC=10，BC=12，则EP+BP的最小值是.【答案】9.6【完整解答】解：连接PC，

∵∠ABC=∠ACB，

∴AB=AC，

∵D为BC的中点，

∴AD垂直平分BC，BD=BC=6

∴BP=CP，

∴EP+BP=EP+CP

要使EP+BP的值最小，利用两点之间线段最短和垂线段最短，可知当点E，P，C在同一直线上时，且CE⊥AB时，EP+BP的值最小，最小值为EC的长；

∵，

∴10CE=12×8

解之：CE=9.6.

故答案为：9.6.

【思路引导】连接PC，利用已知易证△ABC是等腰三角形，利用等腰三角形的性质可求出BD的长，利用勾股定理求出AD的长，利用垂直平分线的性质可证得BP=PC；由此可得到EP+BP=EP+CP，要使EP+BP的值最小，利用两点之间线段最短和垂线段最短，可知当点E，P，C在同一直线上时，且CE⊥AB时，EP+BP的值最小，最小值为EC的长；然后三角形的面积公式可求出CE的长.13．（1分）（2021八上·徐汇期末）如图，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF//OB，EC⊥OB，若EC＝2，则EF＝．【答案】4【完整解答】解：作EG⊥OA于G，如图所示：∵EF//OB，∠AOE＝∠BOE＝15°，EC⊥OB，∴∠OEF＝∠COE＝15°，EG＝CE＝2，∵∠AOE＝15°，∴∠EFG＝15°＋15°＝30°，∴EF＝2EG＝4．故答案为：4．【思路引导】作EG⊥OA于G，根据平行线的性质及角平分线的定义可得∠EFG＝15°＋15°＝30°，再利用含30°角的性质可得EF＝2EG＝4．14．（1分）（2021八上·槐荫期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC＝7，DE＝3，则BD的长为．【答案】4【完整解答】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，∴CD＝DE，∵DE＝3，∴CD＝3，∴BD＝BC−CD＝7−3＝4．故答案为：4．【思路引导】由角平分线的性质可得CD＝DE=3，利用BD＝BC−CD即可求解.15．（1分）（2021八上·交城期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD为△ABC的角平分线，过点D作直线lAB，点P为直线l上的一个动点，若△BCD的面积为16，BC＝8，则AP最小值为．【答案】4【完整解答】解：∵∠C＝90°，△BCD的面积为16，BC＝8，∴，即，作DE⊥AB，∵BD为△ABC的角平分线，∴，∵直线lAB，∴AP最小值与DE相等为4，故答案为：4．【思路引导】根据三角形的面积公式求出CD，根据角平分线的性质求出DE，根据垂线段最短解答即可。16．（1分）（2021八上·建华期末）小聪在研究题目“如图，在等腰三角形ABC中，，，的平分线与AB的垂直平分线OD交于点O，点C沿直线EF折叠后与点O重合，你能得出那些结论？”时，发现了下面三个结论：①；②图中没有60°的角；③D、O、C三点共线．请你直接写出其中正确的结论序号：【答案】①【完整解答】解：∵∠BAC=50°，AO为∠BAC的平分线，∴∠BAO=∠BAC=×50°=25°．又∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=65°．∵DO是AB的垂直平分线，∴OA=OB，∴∠ABO=∠BAO=25°，∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=65°-25°=40°．∵AO为∠BAC的平分线，AB=AC，∴直线AO垂直平分BC，∴OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=40°，∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，∴OE=CE．∴∠COE=∠OCB=40°；在△OCE中，∠OEC=180°-∠COE-∠OCB=180°-40°-40°=100°，∴∠OEF=∠CEO=50°，①符合题意；∵∠OCB=∠OBC=∠COE=40°，∴∠BOE=180°-∠OBC-∠COE-∠OCB=180°-40°-40°-40°=60°，②不符合题意；∵∠ABO=∠BAO=25°，DO是AB的垂直平分线，∴∠DOB=90°-∠ABO=75°，∵∠OCB=∠OBC=40°，∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-40°-40°=100°，∴∠DOC=∠DOB+∠BOC=75°+100°=175°，即D、O、C三点不共线，③不符合题意.故答案为：①．【思路引导】根据等腰三角形的性质，角平分线，垂直平分线的定义对每个结论一一判断即可。17．（1分）（2021八上·如皋月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，两锐角的角平分线交于点P，点E、F分别在边BC、AC上，且都不与点C重合，若∠EPF＝45°，连接EF，当AC＝6，BC＝8，AB＝10时，则△CEF的周长为.【答案】4【完整解答】解：如图，过点P作PM⊥BC于M，PN⊥AC于N，PK⊥AB于K，在EB上取一点J，使得MJ＝FN，连接PJ.∵BP平分∠BC，PA平分∠CAB，PM⊥BC，PN⊥AC，PK⊥AB，∴PM＝PK，PK＝PN，∴PM＝PN，∵∠C＝∠PMC＝∠PNC＝90°，∴四边形PMCN是矩形，∴四边形PMCN是正方形，∴CM＝PM，∴∠MPN＝90°，在△PMJ和△PNF中，，∴△PMJ≌△PNF（SAS），∴∠MPJ＝∠FPN，PJ＝PF，∴∠JPF＝∠MPN＝90°，∵∠EPF＝45°，∴∠EPF＝∠EPJ＝45°，在△PEF和△PEJ中，，∴△PEF≌△PEJ（SAS），∴EF＝EJ，∴EF＝EM+FN，∴△CEF的周长＝CE+EF+CF＝CE+EM+CF+FN＝2CM＝2PM，∵S△ABC＝•BC•AC＝（AC+BC+AB）•PM，∴PM＝2，∴△ECF的周长为4，故答案为：4.【思路引导】过点P作PM⊥BC于M，PN⊥AC于N，PK⊥AB于K，在EB上取一点J，使得MJ＝FN，连接PJ，利用角平分线的性质可证得PM=PN，∠C＝∠PMC＝∠PNC＝90°，可推出四边形PMCN是正方形，利用正方形的性质可得到CM=PM；再利用SAS证明△PMJ≌△PNF，利用全等三角形的性质可证得∠MPJ＝∠FPN，PJ＝PF；再利用SAS证明△PEF≌△PEJ，利用全等三角形的对应角相等可证得EF=EJ，由此可推出EF＝EM+FN；然后可证得△CEF的周长=2PM；然后证明△ABC的面积=（AC+BC+AB）•PM，可求出PM的长，即可得到△CEF的周长.18．（1分）（2021八上·广州期中）如图，在中，和的平分线、相交于点，交于点，交于点，过点作于点，则下列三个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是．【答案】①②【完整解答】解：∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，∴∠OBA＝∠CBA，∠OAB＝∠CAB，∴∠AOB＝180°﹣∠OBA﹣∠OAB＝180°﹣∠CBA﹣∠CAB＝180°﹣（180°﹣∠C）＝90°+∠C，①符合题意；∵∠C＝60°，∴∠BAC+∠ABC＝120°，∵AE，BF分别是∠BAC与ABC的平分线，∴∠OAB+∠OBA＝（∠BAC+∠ABC）＝60°，∴∠AOB＝120°，∴∠AOF＝60°，∴∠BOE＝60°，如图，在AB上取一点H，使BH＝BE，∵BF是∠ABC的角平分线，∴∠HBO＝∠EBO，在△HBO和△EBO中，，∴△HBO≌△EBO（SAS），∴∠BOH＝∠BOE＝60°，∴∠AOH＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠AOH＝∠AOF，在△HBO和△EBO中，，∴△HBO≌△EBO（ASA），∴AF＝AH，∴AB＝BH+AH＝BE+AF，故②符合题意；作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，∴点O在∠C的平分线上，∴OH＝OM＝OD＝a，∵AB+AC+BC＝2b∴S△ABC＝×AB×OM+×AC×OH+×BC×OD＝（AB+AC+BC）•a＝ab，③不符合题意．故答案为：①②．【思路引导】由角平分线的定义，结合三角形的内角和的可求解∠AOB与∠C的关系，进而判定①；在AB上取一点H，使BH＝BE，证得△HBO≌△EBO（SAS），得出∠HBO＝∠EBO，再证得△HBO≌△EBO（ASA），得出AF＝AH，进而判定②；作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，根据三角形的面积可证得③。19．（1分）（2021八上·余杭月考）如图，ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的是.①CP平分∠ACF；②∠ABC＋2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP＋S△NCP.【答案】①②③④【完整解答】解：①过点作于，平分，，，，∵平分，，，∴，，又∵，，CP平分∠ACF，故①正确；②∵，，∴，在和中，，，，同理：，，，，，，，，②正确；③∵，，∴，，平分，平分，，，，即，③正确；④由②可知，，，，，故④正确.故答案为：①②③④.【思路引导】过点P作PD⊥AC于D，由角平分线上的点到角两边的距离相等得PM=PN，PM=PD，推出PN=PD，进而根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上判断出CP平分∠ACF，据此判断①；证△PAM≌△PAD，△PCD≌△PCN，得到∠APM=∠APD，∠CPD=∠CPN，推出∠MPN=2∠APC，利用四边形内角和为360°求出∠ABC+∠MPN的度数，据此判断②；由三角形的任意一个外角等于与之不相邻的两个内角的和得∠CAE=∠ABC+∠ACB，∠MAP=∠ABP+∠APB，由角平分线的概念可得∠CAE=2∠PAM，∠ABC=2∠ABP，据此判断③；由全等三角形的面积相等得S△APD=S△APM，S△CPD=S△CPN，据此判断④.20．（1分）（2020八上·怀宁期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝124°，分别作AC，AB两边的垂直平分线PM，PN，垂足分别是点M，N．以下说法：①∠P＝56°；②∠EAF＝68°；③PE＝PF；④点P到点B和点C的距离相等．正确的是（填序号）．【答案】①②④【完整解答】解：∵PM垂直平分AC，PN垂直平分AB，∴∠PMA＝∠PNA＝90°，∴∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣124°＝56°，①说法符合题意；∵∠BAC＝124°，∴∠B+∠C＝180°﹣124°＝56°，∵PM垂直平分AC，PN垂直平分AB，∴EC＝EA，FB＝FA，∴∠EAC＝∠C，∠FAB＝∠B，∴∠EAF＝∠BAC﹣∠EAC﹣∠FAB＝∠BAC﹣（∠B+∠C）＝124°﹣56°＝68°，②说法符合题意；△ABC不一定是等腰三角形，∴BF不一定等于CE，∴无法判定PE与PF是否相等，③说法不符合题意；连接PC、PA、PB，∵PM垂直平分AC，PN垂直平分AB，∴PC＝PA，PB＝PA，∴PB＝PC，即点P到点B和点C的距离相等，④说法符合题意，故答案为：①②④．【思路引导】根据垂直的定义，四边形内角和等于360度计算，判断①，根据线段垂直平分线的性质得到EC＝EA，FB＝FA，进而得出∠EAC＝∠C，∠FAB＝∠B，判断②，根据等腰三角形的性质，判断③，根据线段垂直平分线的性质判断④。三．解答题（共9小题，满分70分）21．（5分）（2021八上·海珠期末）已知：如图，PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，D、E分别是边PA和PB上的点，且CD＝CE．求证：∠APB+∠DCE＝180°．【答案】证明：∵PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，∴CM=CN，∠PMC=90°，∠PNC=90°，∴∠MPN+∠MCN=360°-∠PMC-∠PNC=360°-90°-90°=180°，在Rt△MCD和Rt△NCE中，，∴Rt△MCD≌Rt△NCE（HL），∴∠MCD=∠NCE，∴∠APB+∠DCE=∠APB+∠DCN+∠NCE=∠APB+∠DCN+∠MCD=∠APB+∠MCN=180°．【思路引导】根据角平分线的性质和全等三角形的判定与性质求解即可。22．（5分）（2021八上·房山期末）如图，中，CD平分，且E为AB的中点，于M，于N，请你判断线段BM与AN的数量关系并加以证明．【答案】解：，理由：如图，连接DA，DB，∵CD平分，于M，于N，∴，∵且E为AB的中点，∴，在与中，，∴（HL），∴．【思路引导】先求出，再利用全等三角形的判定与性质求解即可。23．（8分）（2021八上·松桃期末）如图，在中，，AB边的垂直平分线分别交AB于点E，交AC于点F，点D在EF上，且，G是AC的中点，连接DG.（1）（4分）求证：；（2）（4分）判断是否是等边三角形，并说明理由.【答案】（1）证明：连接AD，∵EF是AB的垂直平分线，点D在EF上，∴.又∵，∴，∴是等腰三角形.∵G是AC的中点，∴.（2）解：是等边三角形，理由如下：∵，∴，，∵，∴，∴，∴是等边三角形.【思路引导】（1）连接AD，由线段垂直平分线的性质可得AD=BD，即得AD=CD=BD，根据等腰三角形“三线合一”的性质即可求解；

（2）是；理由：由AD=CD=BD可得，，∠DBC=∠DCB，从而得出，根据三角形内角和求出∠DBC+∠DCB=

120°，即得∠DBC=∠DCB=60°，根据等边三角形的判定方法即证.24．（10分）（2021八上·延庆期末）如图，∠AOB＝45°，OC是∠AOB的角平分线，点D是射线OB上的一点，点M为线段OD的中点，过点M作OD的垂线，交射线OA于点E，交射线OC于点F，连接ED，交OC于点G．（1）（3分）依题意补全图形；（2）（3分）猜想EF和EG的数量关系并证明；（3）（4分）求证：ED＋EF＝2EM．【答案】（1）解：根据题意，如图：（2）解：EF=EG；理由如下：如图，∵点M为线段OD的中点，EM⊥OD，∴线段EM是△OED的高，也是中线，∴EM垂直平分OD，∠OME=90°，∴OE=DE，∴∠EDO=∠AOB=∠OEF=45°，∵OC是∠AOB的角平分线，∴∠AOC=∠BOC，∴∠AOC+∠OEF=∠BOC+∠EDO，∴∠EFG=∠EGF，∴EF=EG；（3）解：在射线EA上，截取EH=EG，连接GH，如图：则EH=EF，∵OE=DE，∴ED＋EF=OE+EH=OH，∵∠EDO=∠EOM=∠OEF=45°，点M是OD的中点，∴OM=EM=DM，∠DEA=45°+45°=90°，∴OD=2EM；∠EHG=45°，∵∠AOC=∠BOC，OG=OG，∴△ODG≌△OHG（AAS），∴OD=OH，∴ED＋EF＝2EM．【思路引导】（1）根据要求画出图形即可；

（2）结论：EF=EG，欲证明EF=EG，只要证明∠EFG=∠EGF=67.5°即可；

（3）过点G作OD的垂线，垂足为N，证明GN=EG=EF，ON=OE=ED，可得结论。25．（7分）（2020八上·东海期末）问题情境：七下教材第149页提出这样一个问题：如图1，∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，把三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，并使三角尺的两条直角边分别与OA、OB相交于点E、F，PE与PF相等吗？（1）（3分）七年级学习这部分内容时，我们还无法对这个问题的结论加以证明，八下教材第59页第11题不仅对这一问题给出了答案：“通过实验可以得到PE＝PF”，还要求“现在请你证明这个结论”，请你给出证明：（2）（4分）变式拓展：

如图2，已知∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，P是OC上一点，∠EPF＝60°，PE边与OA边相交于点E，PF边与射线OB的反向延长线相交于点F.试解决下列问题：①PE与PF还相等吗？为什么？②试判断OE、OF、OP三条线段之间的数量关系，并说明理由.【答案】（1）证明：过点P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N.∵OC平分∠AOB，PM⊥OB，PN⊥OA，∴PM＝PN，∵∠PMO＝∠PNO＝∠MON＝90°，∴∠MPN＝360°﹣3×90°＝90°，∵∠MPN＝∠EPF＝90°，∴∠MPF＝∠NPE，在△PMF和△PNE中，，∴△PMF≌△PNE（ASA），∴PF＝PE.（2）解：①解：结论：PE＝PF.理由：过点P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N.∵OC平分∠AOB，PM⊥OB，PN⊥OA，∴PM＝PN，∵∠PMO＝∠PNO＝90°，∠MON＝120°，∴∠MPN＝360°﹣2×90°﹣120°＝60°，∵∠MPN＝∠EPF＝60°，∴∠MPF＝∠NPE，在△PMF和△PNE中，，∴△PMF≌△PNE（ASA），∴PF＝PE.②解：结论：OE﹣OF＝OP.理由：在△OPM和△OPN中，，∴△POM≌△PON（AAS），∴OM＝ON，∵△PMF≌△PNE（ASA），∴FM＝EN，∴OE﹣OF＝EN+ON+﹣（FM﹣OM）＝2OM，在Rt△OPM中，∠PMO＝90°，∠POM＝∠AOB＝60°，∴∠OPM＝30°，∴OP＝2OM，∴OE﹣OF＝OP.【思路引导】（1）过点P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N，由角平分线的性质可得PM＝PN，由同角的余角相等得∠MPF＝∠NPE，根据ASA证明△PMF≌△PNE，可得PF＝PE；

（2）①PE＝PF；理由：过点P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N，同（1）证法相同；

②OE﹣OF＝OP，理由：先利用AAS证明△POM≌△PON，得OM＝ON，由△PMF≌△PNE可得FM＝EN，从而得出OE﹣OF＝EN+ON+﹣（FM﹣OM）＝2OM，在Rt△OPM中，求出∠OPM＝30°，可得OP＝2OM，即得OE﹣OF＝OP.26．（10分）（2021八上·松江期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AB=1，点D是边AC上一点（不与点A、C重合），EF垂直平分BD，分别交边AB、BC于点E、F，联结DE、DF．（1）（3分）如图1，当BD⊥AC时，求证：EF=AB；（2）（3分）如图2，设CD=x，CF=y，求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）（4分）当BE=BF时，求线段CD的长．【答案】（1）证明：∠ABC=90°，∠C=30°，AB=1，是的垂直平分线，是等边三角形，而（2）解：如图，当过A点，是的垂直平分线，则如图，当过点C，则所以分别在AB、BC上时，则如图，过F作于N，同理：整理得：（3）解：当同理可得：设则【思路引导】（1）由直角三角形的性质求出证明是等边三角形，由等边三角形的性质得出即可得出结论；

（2）当过A点，是的垂直平分线，则过F作于N，有直角三角形的性质以及勾股定理即可得出结论；

（3）证明由全等三角形的性质得出则设则求出n的值即可得出答案。

27．（7分）（2021八上·淮滨月考）（1）（1分）如图1所示，在中，，BC的垂直平分线交AB于点D，垂足为E，当BD=5cm，，的周长=.（2）（1分）如图2所示，在中，，，D是BC的中点，，垂足为E，那么.（3）（5分）如图3所示，在等边△ABC中，D，E分别是BC，AC上的点，且AE=DC，AD，BE交于点P，作BQ⊥AD于点Q，若BP=2，求PQ的长.【答案】（1）15cm（2）3：1（3）解：∵△ABC为等边三角形.∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°，在△BAE和△ACD中，，∴△BAE≌△ACD（SAS），∴∠ABE＝∠CAD.∵∠BPQ为△ABP外角，∴∠BPQ＝∠ABE＋∠BAD.∴∠BPQ＝∠CAD＋∠BAD＝∠BAC＝60°∵BQ⊥AD，∴∠PBQ＝30°，∴BP＝2PQ＝2，∴PQ＝1.【完整解答】解：（1）∵DE是线段BC的垂直平分线，∴CD＝BD=5cm，

∴∠DCB=∠B＝30°∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴∠A=90°-30°=60°，∠ACD=90°-30°=60°∴△ACD是等边三角形∴△ACD的周长＝3CD＝15cm.故答案为：15cm；（2）连接AD，如图所示.∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，D是BC的中点，∴∠BAD＝60°，∠B=30°，又∵DE⊥AB，∴∠B＝∠ADE＝30°，∴AB=2AD，AE＝AD，∴BE＝AB-AE=2AD-AD=AD，∴BE：AE＝AD：AD=3：1.故答案为：3：1.【思路引导】（1）根据线段垂直平分线的性质可得CD＝BD，根据等边对等角得∠DCB=∠B＝30°，易得∠A=60°，∠ACD=60°，推出△ACD是等边三角形，进而可得周长；（2）连接AD，根据等腰三角形的性质得∠BAD＝60°，根据同角的余角相等得∠B＝∠ADE＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得AB=2AD，AE＝AD，则BE＝AD，据此解答；

（3）由等边三角形的性质得AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°，证△BAE≌△ACD，得∠ABE＝∠CAD，根据外角的性质得∠BPQ＝∠ABE＋∠BAD，则∠BPQ＝60°，∠P