《高等数学（经济类）下册 第2版》课件 10-3 在极坐标系下计算二重积分_第1页
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文档简介

第十章二重积分第三节在极坐标系下计算二重积分一、极坐标系下二重积分的表达式三、小结二、极坐标系下二重积分化二次积分知识点回顾（1）直角坐标下累次积分的计算公式［Y型区域］［X型区域］确定累次积分限关键直角坐标系下的面积元素知识点回顾（2）交换二次积分的积分次序画出积分区域形状，确定新的二次积分限关键本节重点本节关键如何将二重积分化为极坐标形式的二次积分确定积分限是关键极坐标系下的面积元素如何表示？在极坐标系下一、

极坐标系下二重积分的表达式极坐标系下的区域如何表示？极坐标系下被积函数如何表示？?1.极坐标系下的面积元素利用扇形的面积公式面积元素极坐标系下区域的面积（用极坐标曲线划分D）计算小扇形的面积化边界曲线化被积函数化面积元素应用范围：积分区域为圆域(或一部分)，被积

函数含的用此简便.2.二重积分转化为极坐标形式的表达式

=

=

型：极坐标系下的二次积分极坐标系下区域如图所示：二、极坐标系下二重积分化二次积分方法：三线法确定极坐标系下先

后积分的方法区域特征（1）如图：极点在积分区域外二重积分化为二次积分的公式（１）二重积分化为二次积分的公式（２）区域特征（2）如图极点在区域D的边界上.二重积分化为二次积分的公式（３）区域特征（3）如图极点在区域D的内部.二重积分化为二次积分的公式（4）区域特征（4）如图极点在环形区域D的内部.二重积分化为二次积分的公式（4）的特殊情形区域特征（4）如图极点在环形区域D的内部.思考:

下列各图中区域D

分别与x

,

y轴相切于原点,

试问

的变化范围是什么?答:(1)(2)例1计算二重积分，其中积分区域解：积分区域化为极坐标下表达式为故有例2写出二重积分在极坐标系下的二次积分，其中积分区域解：所以圆方程为直线方程为在极坐标系下故有例3计算，其中D是由圆心在原点、半径为a的圆周所围成的封闭区域解：在极坐标系中，闭区域D可表示为注:利用上例可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反常积分公式

如果积分区域D为圆、半圆、圆环、扇形域等，或被积函数f(x2+y2)形式，利用极坐标常能简化计算.通常出现下面两类问题：1.将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下的二重积分，2.将极坐标系下的二重积分转化为直角坐标系下的二重积分结论：极坐标系下计算二重积分的步骤：1.将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下的二重积分，需依下列步骤进行：(1)将代入被积函数.(2)将区域D的边界曲线换为极坐标系下的表达式，

确定相应的积分限---关键！(3)将面积元dxdy

换为.2.将极坐标系下的二重积分转化为直角坐标系下的二重积分步骤与1相似，只需依反方向进行.例4将直角坐标系下的二次积分化为极坐标系下的二次积

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