《高等数学（经济类）下册 第2版》课件 10-4 反常二重积分_第1页
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第十章二重积分第四节反常二重积分一、无界区域上的二重积分二、小结

在我们研究的二重积分都是在有界区域上或是被积函数是有界的，但是在实际应用中有时会遇到积分区域或被积函数是无界的二重积分。因此，我们称这样的二重积分为反常二重积分。无界区域上的二重积分，它是在概率论与数理统计中有广泛应用的一种积分形式，它的计算方法与一元函数的反常积分的方法类似。一般先在有界区域内计算积分，然后令有界区域趋于原无界区域时取极限求解。如果极限存在则反常二重积分收敛，否则就发散。一、无界区域上的二重积分定义设D是xoy面上的无界区域，在D上连续且G是D上的任意一个有界闭区域。若G以任何方式无限扩展且趋于D时，均有极限

存在，则称此极限值I为在无界区域D上的反常二重积分，并记为

此时称在D上可积或反常二重积分收敛，否则，称反常二重积分发散。例1求,其中D是整个xoy平面，并由此计算概率积分解：由于的原函数不是初等函数，则此二重积分在直角坐标系中无法计算，故在极坐标系下计算整个xoy平面用极坐标可表示为则有例1求,其中D是整个xoy平面，并由此计算概率积分解：则有而故令则注意:函数是概率论与数理统计中非常重要的一种密度函数—标准正太分布随机变量的密度函数，如右图由本例可知它在实数轴上的反常积分为1例2求反常二重积分,其中D是整个xoy平面.解：先在圆域内考虑，此时当时，由于故原积分收敛，且当时，由于故原积分发散.解：由于被积函数仅在第一象限不为0，因此只需计算积分区域D在第一象限部分的二重积分即可，如右图例3设二元函数，计算反常二重积分，其中积分区域D是部分无界区域.例3设二元函数，计算反常二重积分，其中积分区域D是部分无界区域.

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