《高等数学（经济类）下册 第2版》课件 12-2 一阶微分方程

第十二章微分方程第二节一阶微分方程一、可分离变量的微分方程二、齐次方程三、一阶线性微分方程四、可化为一阶线性方程的特殊类型五*、恰当方程六、小结一、可分离变量的微分方程例如，定义1若一阶微分方程可化为以下形式其中f(x)和g(x)为连续函数，则称为可分离变量的微分方程.可分离变量的微分方程的解法分离变量两端积分例如：整理、化简例1求微分方程解：分离变量两端积分注：当即时，经验证也是方程的解，

但它们不能并入通解.例2求初值问题的特解.解:

分离变量得两边积分得整理得（

为任意常数）再由初始条件得，故所求特解为二、齐次方程定义2若一阶微分方程可以化成以下形式则称之为齐次方程，其中

f(x)是连续函数.例如，齐次方程的解法:

变量代换法分离变量两边积分，整理并用y/x替换u，得到通解.解：(1)原方程可改写为例3

求下列齐次方程的通解方程可化为整理并分离变量，得两边积分，得用y/x替换上式中的u，并整理，得到原方程的隐式通解为解：(2)原方程可改写为例3

求下列齐次方程的通解方程可化为整理并分离变量，得两边积分，得用y/x替换上式中的u，并整理，得到原方程的通解为三、一阶线性微分方程例如是一阶线性微分方程；是一阶非线性微分方程.定义3

如果一阶微分方程可化为如下形式则可称之为一阶线性微分方程.当时，称之为一阶非齐次线性微分方程；当时，称之为一阶齐次线性微分方程.显然，方程是可分离变量的.分离变量,有两边积分整理得即为一阶齐次线性微分方程的通解.1、一阶齐次线性微分方程的解法2、一阶非齐次线性微分方程的解法讨论两边积分故有将y看为关于x的函数，分离变量.即得非齐次方程通解形式为常数变易法把齐次线性方程通解中的常数变易为待定函数的方法.实质:未知函数的变量代换.齐次方程的通解非齐次方程的通解故一阶线性非齐次微分方程的通解为:对应齐次方程的通解非齐次方程的特解令则通解公式！例4解法1（1）先求相应的齐次线性方程的通解利用常数变易法，分为2步：方程可化为例4解法1（2）求非齐次线性方程的通解代入原方程，整理得于是得到非齐次线性微分方程的通解为常数变易法分为两步吗，计算麻烦！例4解法2直接利用通解公式故有在以后的通解计算中，直接利用公式即可！例5解显然，方程不是关于y的线性微分方程.如果将方程改写为即则是关于x(y)和dx/dy的一阶非齐次线性微分方程.利用通解公式，可得说明：1.微分方程是关于的一阶线性微分方程.2.微分方程是关于的一阶线性微分方程.3.两种形式的微分方程通解都可直接利用公式求得.四、可化为一阶线性方程的特殊类型1、伯努利（Bernoulli）方程称形如的微分方程称为伯努利（Bernoulli）方程，其中P(x),Q(x)为连续函数，且n是不等于0或1的常数.解法：这是一个关于z的一阶线性微分方程，可按通解公式求解.即原方程两边同乘以，则有例6求方程的通解.这是n=3的伯努利方程，两边同乘以，有解：所以于是原方程的通解为2.形如的方程，可化为线性方程或伯努利方程.解法：将方程化为将f(y)看作一个整体，则方程为伯努利方程.例7求方程的通解.解：原方程可化为原方程两边同乘以，则有这时原方程转化为关于的一阶线性方程.由通解公式，得原方程的通解例8求解下列微分方程

(1)先将原方程改写为上式两边同乘以e-x，得即所以因此，原方程的通解为解：例8求解下列微分方程

(2)先将原方程改写为上式两边同乘以y-3，得即所以因此，原方程的通解为解：例8求解下列微分方程

(3)令分离变量并积分，得将方程化为代回原变量，得方程的通解解：例8求解下列微分方程

(4)先将原方程改写为易知y=ex是它的一个特解.令z=y-ex，得分离变量并积分，得即因此，原方程的通解为解：五*、恰当方程一阶微分方程也常以微分形式出现，即写成如果存在二元可微函数u(x,y)，使得则称方程上面的方程为恰当方程．此时可改写为从而就是它的通解．例9求下列微分方程的通解解

分项组合，得从而有所以方程的通解为例10求下列微分方程的通解解

先改写成微分形式分项组合从而有所以