六年级数学下册 期末复习专题讲义-4.正比例和反比例 （知识点归纳 典例讲解 同步测试）（北师大）

北师大版六年级下册数学期末复习专题讲义-4.正比例和反比例【知识点归纳】1、变化的量生活中存在着大量互相依存的变量，一种量变化，另一种量也随着变化。2、正比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。如果用字母x和y表示两种相关联的量，用字母k表示它们的比值（一定），正比例关系可以表示为：=k（一定）。3、应用正比例的意义判断两种量是否成正比例：有些相关联的量，虽然也是一种量随着另一种量的变化而变化，但它们相对应的数的比值不一定，就不成正比例，如被减数与差，正方形的面积与边长等。4、正比例的图像是一条直线。5、反比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的乘积，反比例的关系式可以表示为：x·y=k（一定）。6、判断两个量是不是成反比例：要先想这两个量是不是相关联的量；再运用数量关系式进行判断，看这两个量的积是否一定；最后作出结论。7、当两个变量成反比例关系时，所绘成的图像是一条光滑曲线。8、一幅图放大或缩小，只有按照相同的比来画，画的图才像。【典例讲解】例1．在比例尺1：10000的图纸上，一个正方形的面积是25cm2，它的实际面积是（）平方米．A．25 B．2500 C．25000 D．250000【分析】先依据正方形的面积公式求出正方形的边长，再据“实际距离＝图上距离÷比例尺”即可求出正方形的边长的实际长度，于是可以求出正方形的实际面积．【解答】解：因为5×5＝25所以正方形的边长的图上距离为5厘米则正方形的边长的实际长度：5÷＝50000（厘米）50000厘米＝500米正方形的实际面积：500×500＝250000（平方米）答：这个正方形的实际面积是250000平方米．故选：D．【点评】此题主要考查图上距离、实际距离和比例尺的关系以及正方形的面积的计算方法的灵活应用，解答时要注意单位的换算．例2．在一幅地图上量得甲、乙两地的距离是8cm，已知甲、乙两地的实际距离是100km，这幅地图的比例尺是1：1250000．【分析】根据比例尺的意义作答，即比例尺是图上距离与实际距离的比．【解答】解：100千米＝10000000厘米8：10000000＝1：1250000答：这幅地图的比例尺是1：1250000．故答案为：1：1250000．【点评】本题主要考查了比例尺的意义，注意图上距离与实际距离的单位要统一．例3．比例尺1：900也可以写成．√（判断对错）【分析】根据比例尺的意义作答，即比例尺是图上距离与实际距离的比．【解答】解：比例尺1：900也可以写成，说法正确；故答案为：√．【点评】此题主要考查比例尺的计算方法，解答时要注意单位的换算．例4．用比例把下面各题的数量关系表示出来．有一堆煤，每天用15t，可用40天，如果这堆煤要用60天，每天只能用xt．【分析】根据题意知道，每天用的吨数与天数的乘积一定（总吨数），即每天用的吨数与天数成正比例，是每天只能用xt，由此列式解答即可．【解答】解：每天只能用xt，60x＝15×40【点评】解答此题的关键是，先判断题中的两种相关联的量成何比例，然后找准对应量，列式解答即可．例5．一个手机零件长3mm，在一幅设计图上量得长9cm，这幅设计图的比例尺是多少？【分析】图上距离和实际距离已知，依据比例尺＝图上距离：实际距离，即可求得这幅设计图的比例尺．【解答】解：9cm＝90mm90：3＝30：1答：这幅设计图的比例尺为30：1．【点评】此题主要考查比例尺的计算方法，解答时要注意单位的换算．【同步测试】一．选择题（共10小题）1．小东和小辰分将学校的正方形花坛画了下来，如图．如果小东是按1：a的比例尺画的，那么小辰按（）的比例尺画的．A．1： B．1：3a C．1：3 D．1：2．比例尺表示（）A．图上距离是实际距离的 B．实际距离是图上距离的800000倍 C．实际距离与图上距离的比为1：8000003．图上距离（）实际距离．A．一定大于 B．一定小于 C．无法确定4．表示x与y成正比例的式子是（）A．x﹣y＝9 B．y＝x C．x+y＝10 D．xy＝125．在一张比例尺是5：1的图纸上，量得某种零件的长是1.5厘米，这种零件的实际长度是（）厘米．A．7.5 B．3 C．1.5 D．0.36．把一个边长为3厘米的正方形按2：1放大，放大后的正方形的面积是（）A．36平方厘米 B．18平方厘米 C．9平方厘米 D．6平方厘米7．下面三个选项中，两种相关联的量成反比例关系的是（）A．正方体的棱长与它的体积 B．三角形的面积一定，它的底与高 C．存款的利率一定，存款的本金与利息8．下面三句话中，错误的是（）A．圆的周长和半径成正比例 B．平行四边形不一定是轴对称图形 C．一个三角形的边长度分别是3cm、4cm、7cm9．汽车每千米的耗油量一定，行驶的千米数和总耗油量（）A．成正比例关系 B．成反比例关系 C．不成比例关系10．X和Y表示两种相关联的量，同时5X＝7Y（X、Y≠0），X和Y（）A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例二．填空题（共8小题）11．（1）一批零件2000个（填写下表）每箱装的个数2040100200400……装的箱数100……（2）一批零件一定，每箱装的个数和装的箱数成比例．12．一个正方形的边长为25cm，如果把它按1：5缩小，边长变为cm；如果把它按4：1放大，边长变为m．13．有一块长方形草坪，长500米，宽28米，画在一张图纸上，量得长是25厘米这幅图的比例尺是，图中的宽是厘米．14．用方砖铺地，当铺地面积一定时，方砖的边长和所需方砖块数的关系是．15．一个三角形底是18cm，高9cm，把它按1：3缩小后得到的三角形的面积是．16．在一幅地图上，标有的线段比例尺是，若改写成数值比例尺是．17．如果ab＝c，（a、b、c均不为0）那么当a一定时，b和c成，当b一定时，a和c成，当c一定时，a和b成．18．实际距离是图上距离的4000000倍，这幅地图的比例尺是．图上距离是实际距离的，这幅地图的比例尺是．三．判断题（共5小题）19．两个正方形边长的比和面积的比能够组成比例．（判断对错）20．x与y是两个相关联的量，且＝，由此可判断x与y是成反比例关系的量．（判断对错）．21．订阅《中国少年报》的单价与份数成反比例．（判断对错）22．煤的数量一定，使用天数与每天的平均用煤量成正比例关系．（判断对错）23．将图形缩小后得到的图形与原图形相比，大小不同，形状相同．（判断对错）四．计算题（共1小题）24．将图1的三角形按比例缩小后得到图2的三角形，求未知数x．五．应用题（共4小题）25．根据甲、乙两车的行程图，回答下面的问题．（1）甲、乙两车行驶的路程与时间是否成比例？说说理由．（2）哪一辆汽车的行驶速度快些？26．一幅地图的比例尺是1：3000000，量得A城到B城的距离是6厘米．一辆汽车从A城到B城，每小时行驶30千米，几小时能到达B城？27．一块等腰直角三角形钢板，用1：200的比例尺画在图纸上，这张图上的两条直角边共长3.2厘米，这块钢板的实际面积是多少平方米？28．在一幅比例尺为1：2000的平面图上，量得一个厂房的地面是长10厘米的长方形，长与宽的比是4：1．（1）这间厂房地面的实际周长是多少米？（2）这间厂房的实际占地面积是多少平方米？六．操作题（共2小题）29．下面是电影院门票销售数量与销售金额的统计表．销售数量/张12345…销售金额/元1632486480…请你把这两个量的变化情况画在图中．30．画一画：把正方形各边放大到原来的2倍，把长方形各边缩小为原来的．七．解答题（共1小题）31．李叔叔新买了一辆汽车，在试车过程中记录了如表的数据．所行的路程/km15304560耗油量L2468（1）根据表中数据，在下图中描出所行路程和耗油量对应的点，再把它们按顺序连起来．（2）所行路程和耗油量成比例．（3）根据图象判断，这辆汽车耗油5升行km．

参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．【分析】2厘米是6厘米的，所以小东选择的比例尺是小辰的；据此解答即可．【解答】解：2÷6＝＝1：a答：小辰按1：a的比例尺画的．故选：A．【点评】解答本题关键是明确比例尺越小，单位长度表示的实际距离越大．2．【分析】根据比例尺的意义作答，即比例尺是图上距离与实际距离的比．【解答】解：由比例尺的意义可知，比例尺表示：图上距离是实际距离的，或实际距离是图上距离的800000倍，或图上距离与实际距离的比为1：800000．故选：B．【点评】本题主要考查了比例尺的意义，注意图上距离与实际距离的单位要统一．3．【分析】比例尺是图上距离与实际距离的比，比例尺分为扩大比例尺和缩小比例尺，或等大的比例尺，由此求解．【解答】解：比例尺是图上距离与实际距离的比，当比例尺的前项小于后项时，是缩小的比例尺，如：1：300000000；当比例尺的前项大于后项时，是一个扩大的比例尺，如：20：1；当比例尺的前项和后项相等时，是一个等大的比例尺，如：1：1．所以图上距离可能大于、小于或等于实际距离；故选：C．【点评】本题考查了比例尺的意义和分类．4．【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例．【解答】解：A、x﹣y＝9，是差一定，x和y不成比例；B、y＝x，即y：x＝（一定），是比值一定，则x和y成正比例；C、x+y＝10，是和一定，x和y不成比例；D、xy＝12，是乘积一定，x和y成反比例；故选：B．【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断．5．【分析】要求这种零件的实际距离是多少厘米，根据“图上距离÷比例尺＝实际距离”，代入数值，计算即可．【解答】解：1.5÷＝0.3（厘米）答：这种零件的实际长度是0.3厘米．故选：D．【点评】解答此题应根据图上距离、比例尺和实际距离三者的关系，进行分析解答即可得出结论；注意“比例尺5：1”是放大的比例尺．6．【分析】把一个边长为3厘米的正方形按2：1放大，即将这个正方形的边长扩大2倍，根即扩大后的边长为3×2＝6厘米，然后再根据方形的面积公式进行解答．【解答】解：（3×2）×（3×2）＝6×6＝36（平方厘米）答：放大后的正方形的面积是36平方厘米．故选：A．【点评】本题是考查图形的放大与缩小及正方形面积的计算．注意：把一个正方形放大或缩小，它的边长要同时扩大或缩小相同的倍数．7．【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例；据此依次分析即可．【解答】解：A、因为正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，正方体的棱长与它的体积之间的乘积不是定值，比值也不是定值，所以正方体的棱长与它的体积不成比例；B、三角形的底×高＝面积×2（一定），是乘积一定，三角形的面积一定，它的底和高成反比例；C、存款的利息÷本金＝利率（一定），是本金与利息对应的比值一定，所以存款的本金与利息成正比例．故选：B．【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断．8．【分析】根据相关知识点逐项分析判断即可得解．【解答】解：A、圆的周长与半径是两种相关联的量，圆的周长÷半径＝2π，2π一定，也就是这两种量的比值一定，所以成正比例．说法正确．B、平行四边形不一定是轴对称图形，说法正确．C、一个三角形的边长度分别是3cm、4cm、7cm，3+4＝7，所以说法错误．故选：C．【点评】此题考查了辨识成正比例关系、轴对称图形以及三角形的三边关系．9．【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例．【解答】解：因为总耗油量÷行驶的千米数＝每千米的耗油量（一定），是比值一定，所以每千米的耗油量一定，行驶的千米数和总耗油量成正比例．故选：A．【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断．10．【分析】根据比例的基本性质，把5X＝7Y改写成比例的形式，使X和5做比例的外项，Y和7做比例的内项，即X：Y＝7：5，再根据正比例的意义，两种相关联的量，如果这两种相关联的量相对应的两个数的比值，那么这两种相关联的量成正比例．据此解答．【解答】解：因为，5X＝7Y所以X：Y＝7：5也就是比值一定，所以X和Y成正比例．故选：A．【点评】此题考查的目的是理解掌握正比例的意义，比例的基本性质及应用．二．填空题（共8小题）11．【分析】（1）根据题意，用这批零件的个数分别除以每箱装的个数，求出箱数，然后再填入表格即可；（2）一批零件一定，每箱装的个数×装的箱数＝这批零件个数（一定），所以，一批零件一定，每箱装的个数和装的箱数成反比例．【解答】解：（1）2000÷40＝50（箱）2000÷100＝20（箱）2000÷200＝10（箱）2000÷400＝5（箱）每箱装的个数2040100200400……装的箱数1005020105……（2）因为每箱装的个数×装的箱数＝这批零件个数（一定）；所以，一批零件一定，每箱装的个数和装的箱数成反比例．故答案为：反．【点评】此题主要利用反比例的意义解决问题．12．【分析】如果把它按1：5缩小，即边长缩小5倍即可；如果把它按4：1放大，边长扩大4倍即可．【解答】解：25÷5＝5（厘米）25×4＝100（厘米）100厘米＝1米答：边长变为5cm；如果把它按4：1放大，边长变为1m．故答案为：5；1．【点评】此题是考查图形放大与缩小的意义，一个图形放大或缩小倍数是指对应边放大或缩小的倍数．13．【分析】图上距离和实际距离已知，依据“比例尺＝图上距离：实际距离”即可求出这幅图的比例尺，再据“图上距离＝实际距离×比例尺”即可求出宽的图上距离．【解答】解：因为500米＝50000厘米，28米＝2800厘米，则25：50000＝1：2000；因此2800×＝1.4（厘米）；答：这幅图的比例尺是1：2000，宽在图上是1.4厘米．故答案为：1：2000、1.4．【点评】此题主要考查比例尺的意义以及图上距离、实际距离和比例尺的关系．14．【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例．【解答】解：方砖面积×方砖块数＝铺地的总面积（一定），可以看出，每块方砖的面积与方砖块数成反比例关系，而每块方砖的面积等于边长的平方，也就是说，铺地的方砖的面积一定时方砖的块数只是与方砖边长的平方成比例关系，与边长不成比例关系．故答案为：不成比例．【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断．15．【分析】一个三角形底是18cm，高9cm，按1：3缩小，就是把这个三角形的底和高都缩小3倍，所以缩小后的长方形的底是18÷3＝6厘米，高是9÷3＝3厘米，再根据底乘高除以可求出缩小后三角形的面积．【解答】解：（18÷3）×（9÷3）÷2＝6×3÷2＝9（平方厘米）答：把它按1：3缩小后得到的三角形的面积是9平方厘米．故答案为：9平方厘米．【点评】本题是考查图形的放大与缩小及三角形面积的计算．注意：放大或缩小后的图形与原图形状不变，就是对应角的度数不变．一个图形扩大或缩小n倍，它的面积将扩大或缩小n2倍．16．【分析】图上距离和实际距离已知，即图上距离是1厘米，实际距离是20千米．然后依据“图上距离÷实际距离＝比例尺”代入数据即可解答．【解答】解：1厘米：20千米＝1厘米：2000000厘米＝1：2000000答：这幅地图的比例尺为1：2000000．故答案为：1：2000000．【点评】此题主要考查图上距离、实际距离和比例尺的关系，找准对应量，特别注意对应量的单位名称．依据“图上距离÷实际距离＝比例尺”代入数据即可解答．17．【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例．据此进行解答即可．【解答】解：（1）c÷b＝a（一定），是比值一定，b和c就成正比例；（2）c÷a＝b（一定），是比值一定，a和c就成正比例；（3）ab＝c（一定），是乘积一定，a和b就成反比例．故答案为：正比例，正比例，反比例．【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断．18．【分析】实际距离是图上距离的4000000倍，即图上1厘米代表实际距离4000000厘米，根据比例尺的意义，这幅地图的比例尺是1厘米：4000000厘米＝1：4000000．图上距离是实际距离的，即代表图1厘米代表实际距离200厘米，根据比例尺的意义，这幅地图的比例尺是1厘米：200厘米＝1：200．【解答】解：实际距离是图上距离的4000000倍，这幅地图的比例尺是1：4000000．图上距离是实际距离的，这幅地图的比例尺是1：200．故答案为：1：4000000，1：200．【点评】此题是考查比例尺的意义及求法．比例尺＝图上距离：实际距离．数值比例尺前、后项长度单位要统一；根据比的基本性质，比的前项要化成1．三．判断题（共5小题）19．【分析】根据题意，设这两个正方形的边长分别是1与2，根据正方形的面积＝边长×边长，分别求出它们的面积，然后再分别求出边长的比值与面积的比值，如果比值相等，就能组成比例，否则不能组成比例．【解答】解：设这两个正方形的边长分别是1与2；1×1＝12×2＝4边长之比的比值是：1：2＝面积之比的比值是：1：4＝≠所以，两个正方形边长的比和面积的比不能组成比例．故答案为：×．【点评】根据题意，用赋值法能比较容易解决此类问题．20．【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例．【解答】解：x与y是两个相关联的量，且＝，即xy＝20，是乘积一定，则x和y成反比例．原题说法正确．故答案为：√．【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断．21．【分析】判断两种相关联的量是否成反比例，就看这两种量是否是对应的乘积一定，如果是乘积一定，就成反比例，如果不是乘积一定或乘积不一定，就不成反比例．【解答】解：因为一份《中国少年报》的价钱是一定的，即单价（一定），单价与份数这两个相关联的量中一个量单价是不变的，另一个量份数在变化，不符合反比例的意义；所以订阅《中国少年报》的单价与份数不成反比例，原题说法错误．故答案为：×．【点评】此题属于辨识成反比例的量，就看这两种量是否是对应的乘积一定，再做出判断．22．【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例．【解答】解：因为每天的平均用煤量×使用的天数＝煤的数量（一定），也就是两种相关联的量的乘积一定，所以，煤的数量一定，使用的天数与每天的平均用煤量成反比例．这种说法是错误的．故答案为：×．【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断．23．【分析】根据图形放大或缩小的意义，一个图形按一定的比放大或缩小，只是对应边大小变了，对应角大小没变，即放大或缩小前、后只是大小变了，而形状不变．【解答】解：将图形缩小后得到的图形与原图形相比，大小不同，形状相同原题说法正确．故答案为：√．【点评】图形放大或缩小的倍数是指对应边放大或缩小的倍数，对应角大小不变，即图形放大或缩小只是大小变了，形状不变．四．计算题（共1小题）24．【分析】根据题意可知，缩小后的三角形与原三角形对应边成比例，所以设未知边为x，列比例为：1.6：x＝3.2：4.8，利用比例的基本性质解比例即可．【解答】解：设未知边为x，1.6：x＝3.2：4.83.2x＝1.6×4.8x＝2.4答：未知数为2.4．【点评】本题主要考查图形的放大与缩小，关键利用放大或缩小后的图形与原图形对应边成比例做题．五．应用题（共4小题）25．【分析】（1）此图象的特征：是一条经过原点的直线；从图象中很清晰的看出甲车行驶的路程与行驶时间同时扩大或缩小的变化规律，只要是两种相关联的量变化方向相同，就说明它们对应的比值一定，所以这两种量就成正比例关系；（2）由图象可知：行驶150千米的路程甲车用的时间少，所以速度较快；据此解答即可．【解答】解：（1）两辆车子所行的路程和时间成比例，因为是一条直线，所以成正比例；（2）由图象可知：甲行驶150km，用4.2小时，乙行驶150km，用4.4小时，4.2＜4.4，路程相同，用的时间越少，速度较快，即甲汽车的行驶速度快些；【点评】此题主要考查对正比例的意义的运用：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，但两种量的比值一定，这两种量成正比例．26．【分析】已知比例尺和图上距离求实际距离，依据“实际距离＝图上距离÷比例尺”即可求出实际距离，再根据路程÷速度＝时间，列式解答．【解答】解：6÷＝18000000（厘米）18000000厘米＝180千米180÷30＝6（小时）答：6小时才能到达B城．【点评】此题主要考查比例尺的意义及已知比例尺和图上距离求实际距离．注意单位的换算．27．【分析】先根据“图上距离÷比例尺＝实际距离”，代入数值，求出两条直角边的实际长度，再除以2求出等腰直角三角形实际的两条直角边的长度，然后根据：三角形的面积＝底×高÷2，进行解答即可．【解答】解：3.2÷＝640（厘米）640÷2＝320（厘米）320厘米＝3.2米面积：3.2×3.2÷2＝5.12（平方米）答：这块钢板的实际面积是5.12平方米．【点评】解答此题应根据图上距离、比例尺和实际距离三者的关系，进行分析解答即可得出结论；用到的知识点：三角形的面积计算公式．28．【分析】（1）先根据长10厘米，长与宽的比是4：1，求得图上宽是多少，再