六年级数学下册 【典型例题系列】典型例题系列之第一单元圆柱与圆锥拓展篇 带解析（北师大）

六年级数学下册典型例题系列之第一单元圆柱与圆锥拓展篇（解析版）编者的话：《六年级数学下册典型例题系列》是基于教材知识点和常年考点考题总结与编辑而成的，该系列主要包含典型例题和专项练习两大部分。典型例题部分是按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。专项练习部分是从常考题和期末真题中选取对应练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。本专题是第一单元圆柱与圆锥拓展篇。本部分内容主要选取圆柱与圆锥思维拓展类题型，题目难度较大，建议根据学生掌握情况选择性讲解，一共划分为十二个考点，欢迎使用。【考点一】求长方体削成最大圆柱的体积。【方法点拨】在长a厘米，宽b厘米，高c厘米的长方体中切出一个体积最大的圆柱，求这个圆柱的体积是多少立方厘米，要以中间长度的边作为圆柱底面圆的直径，再根据情况选择圆柱的高来计算圆柱的体积。【典型例题】在一个长、宽、高分别是2dm、2dm、5dm的长方体盒子中，正好能放下一个圆柱形物体（如图）。这个圆柱形物体的体积最大是多少立方分米？盒子中空余的空间是多少立方分米？解析：3.14×（2÷2）2×5＝3.14×1×5＝15.7（立方分米）2×2×5－15.7＝20－15.7＝4.3（立方分米）答：这个圆柱形物体的体积最大是15.7立方分米，盒子空余的空间是4.3立方分米。【对应练习1】在长12厘米，宽10厘米，高8厘米的长方体中切出一个体积最大的圆柱，这个圆柱的体积是多少立方厘米？解析：以10厘米为底面直径，高是8厘米EQ3.14×(10÷2)\S\UP6(2)×8＝3.14×25×8＝78.5×8＝628(立方厘米）答：这个圆柱体的体积是628立方厘米。【对应练习2】把一个长8厘米、宽6厘米、高4厘米的长方体木块削成一个最大的圆柱体积木，这个圆柱体积木的体积是多少立方厘米？解析：以6厘米为底面直径，4厘米为高3.14×（）2×4＝3.14×9×4＝113.04（立方厘米）答：这个最大的圆柱体的体积是113.04立方厘米。【对应练习3】把一个长4dm、宽2.5dm、高3dm的长方体，削成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积是多少立方分米？解析：2.5÷2＝1.25（分米）3.14×1.25×4＝19.625（立方分米）答：这个圆柱的体积是19.625立方分米。【对应练习4】把下面的长方体削成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积是多少？解析：3.14××4＝3.14××4＝3.14×2.25×4＝7.065×4＝28.26（立方厘米）答：圆柱的体积为28.26立方厘米。【考点二】不规则圆柱体的等积转化问题。【方法点拨】等积转化问题，关键在于找到题目中的体积不变量，再根据体积不变解决问题。【典型例题1】小军有一个密封的瓶子（图A）。里面装了250毫升的果汁，如果把它倒过来（图B），空白部分的容量是50毫升假如把瓶里装满果汁，那么一共能装多少毫升？解析：250＋50＝300（毫升）答：一共能装300毫升。【典型例题2】一个高的酒瓶中盛有酒，如果把它倒置在桌面上（如图所示），求酒瓶的容积是多少？（单位：）解析：3.14×（6÷2）2×20＋3.14×（6÷2）2×（30－25）＝3.14×9×20＋3.14×9×5＝565.2＋141.3＝706.5（cm3）答：油瓶的容积是706.5cm3。【对应练习1】如图，一个饮料瓶内直径是9cm，瓶里饮料的高度是15cm，把瓶盖拧紧后，使其瓶口向下倒立，无饮料部分的高度是5cm，这个饮料瓶的容积是多少？解析：3.14×（9÷2）2×（15＋5）＝63.585×20＝1271.7（立方厘米）答：这个饮料瓶的容积是1271.7立方厘米。【对应练习2】如图所示，一个内直径为6的饮料瓶，它的容积是多少？解析：3.14×（6÷2）2×15＋3.14×（6÷2）2×5＝3.14×9×15＋3.14×9×5＝28.26×15＋28.26×5＝423.9＋141.3＝565.2（cm3）565.2立方厘米＝565.2毫升答：它的容积是565.2毫升。【对应练习3】一个内半径是4cm的胶水瓶里，胶水的高度是8cm，把瓶盖拧紧倒置放平，没有胶水的部分高2cm。这个瓶子的容积是多少？解析：3.14×42×8＋3.14×42×2＝3.14×16×8＋3.14×16×2＝50.24×8＋50.24×2＝401.92＋100.48＝502.4（cm3）502.4立方厘米＝502.4毫升答：这个瓶子的容积是502.4毫升。【对应练习4】一个内直径是10cm的瓶子里，水的高度是7cm，把瓶盖拧紧倒置放平，无水部分是圆柱形，高度是18cm。这个瓶子的容积是多少毫升？解析：3.14×（10÷2）2×（7＋18）＝3.14×25×25＝78.5×25＝1962.5（立方厘米）＝1962.5（毫升）答：这个瓶子的容积是1962.5毫升。【考点三】排水法在圆柱中的三种应用方式：求不规则物体的体积。【方法点拨】形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式：①V物体=V现在－V原来②V物体=S×(h现在-h原来)③V物体=S×h升高【典型例题】在一个底面直径是6dm的圆柱形容器内装了一部分水，水中完全浸没着一个高4dm的圆锥形铁块，当铁块从水中取出时，水面下降了5cm，这个圆锥形铁块的体积是多少？解析：5cm＝0.5dm半径：6÷2＝3dm水面下降了5cm，圆锥形铁块的体积就是下降的水的体积，所以体积：3.14×32×0.5＝3.14×9×0.5＝3.14×4.5＝14.13（dm3）答：这个圆锥形铁块的体积是14.13dm3。【对应练习1】爸爸拿出一个钢球，对小洁说：“你能求出这个钢球的体积吗？”小洁说：“当然能。”于是，小洁将家中一个底面直径是20cm的圆柱形玻璃杯装一部分水，量得水深10cm，然后把钢球完全浸没在水中，这时又量得水面高度是12cm。你知道这个钢球的体积是多少吗？解析：3.14×（20÷2）2×（12－10）＝3.14×100×2＝628（立方厘米）答：这个钢球的体积是立方厘米。【对应练习2】有一个底面内直径为20cm，装有一些水的圆柱形玻璃容器，已知容器内的水面高度为5cm。现将一个圆锥形铅锤完全浸入容器中，此时容器内的水面高度上升到7cm。求这个铅锤的体积。解析：3.14×（20÷2）2×（7－5）＝3.14×100×2＝628（cm3）答：这个铅锤的体积是628cm3。【对应练习3】在一个底面直径是10cm的圆柱形容器里加入若干水，水深8cm。把一个苹果完全浸没在水中，水没有溢出，这时水深增加到10cm。这个苹果的体积是多少立方厘米？解析：3.14×（10÷2）²×（10－8）＝3.14×25×2＝157（立方厘米）答：这个苹果的体积是157立方厘米。【对应练习4】从一个底面半径为10分米的圆柱形水桶里取出一块底面积是6.28平方分米完全浸泡在水中的圆锥形钢材，取出后水面下降5厘米，求圆锥形钢材的体积。解析：5厘米＝0.5分米

102×3.14×0.5＝100×1.57＝157（立方分米）答：圆锥形钢材的体积为157立方分米。【考点四】排水法在圆柱中的三种应用方式：求不规则物体的高。【方法点拨】形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式：①V物体=V现在－V原来②V物体=S×(h现在-h原来)③V物体=S×h升高【典型例题】有一只底面半径为3dm的圆柱形水桶，桶内盛满水，并浸有一块底面为正方形边长为2dm的长方体铁块（完全浸没水中）。当铁块从水中完全取出时，桶内的水面下降了5cm，求这块长方体铁块的高。（得数保留一位小数）解析：5厘米＝0.5分米；3.14×3²×0.5÷（2×2）＝14.13÷4≈3.5（分米）答：这块长方体铁块的高是3.5分米。【对应练习1】将石块放入A容器中（全部淹没水中），水位上升2.5厘米，如果将其放入B容器中（全部淹没水中），水位会上升多少厘米？（水没有溢出）

解析：12×8×2.5÷60＝240÷60＝4（厘米）答：水位会上升4厘米。【对应练习2】在一个长方体容器内盛满水，从里面量测得它的长是10cm、宽10cm、高20cm，容器内完全浸没了一个底面半径是4cm，高5cm的圆柱体铁块，如果把铁块完全取出，容器内的水面会下降多少cm？解析：圆柱容积：3.14×42×5＝251.2（cm3）水面下降：251.2÷10÷10＝2.512（cm）答：如果把铁块完全取出，容器内的水面会下降2.512cm。【对应练习3】在一个底面半径为的圆柱形水桶里，有一段底面半径为的圆柱形钢材浸没在水中。把钢材从水桶中取出后，桶里水的高度下降了，这段钢材有多长？解析：＝5024×6＝30144（立方厘米）答：这段钢材有长。【考点五】排水法在圆柱中的三种应用方式：溢水问题。【方法点拨】溢水问题，由于物体放入容器中有水溢出，所以物体的体积应由水上升部分的体积加上水溢出部分的体积，即：V物体=V上升部分+V溢出部分。【典型例题】在一个装有部分水的圆柱形容器中（如图）放入一块石头，结果溢出了的水。这块石头的体积是多少立方厘米？解析：上升的水的体积＋溢出水的体积就是这块石头的体积。答：这块石头的体积是2530立方厘米。【对应练习1】把一个铁圆锥放入底面半径是10cm的盛满水的圆柱形容器里，溢出了150.72cm³的水，如果取出这个圆锥，容器里的水面将下降多少？解析：150.72÷（3.14×10）＝150.72÷314＝0.48（厘米）答：容器里的水面将下降0.48厘米。【对应练习2】一个盛有水的圆柱形容器的底面直径是10厘米，水深12厘米，放入一块石头，从容器中溢出50毫升水，这个容器的高是22厘米，石头的体积是多少？解析：50毫升＝50立方厘米石头体积：3.14×（10÷2）2×（22－12）＋50＝3.14×25×10＋50＝78.5×10＋50＝785＋50＝835（立方厘米）答：石头的体积是835立方厘米。【对应练习3】一个底面直径是6dm、高7dm的圆柱形玻璃器皿里装有5dm深的水，现将一块棱长为4dm的正方体铁块放入水中，铁块沉入水底。容器里会溢出多少升的水？解析：6÷2＝3（分米）4×4×4－3.14×3×（7－5）＝64－56.52＝7.48（立方分米）＝7.48（升）答：容器里会溢出7.48升的水。【考点六】圆锥的切面积问题一。【方法点拨】将圆锥沿着高并垂直于底面切成完全相同的两块，每一块的切面都是一个等腰三角形，而且这个三角形的底是底面圆的直径，高是圆锥的高，相比较圆锥的表面积，增加了两个这样的切面。【典型例题】一个圆锥的底面半径2厘米，高是7厘米，沿着高并垂直于底面将圆锥切成完全相同的两块，每个切面的面积是多少平方厘米?解析：沿着高并垂直于底面将圆锥切成完全相同的两块，每一块的切面都是一个等腰三角形，而且这个三角形的底是直径，高是圆锥的高，也就是说底是4厘米，高是7厘米，所以每个切面的面积是14平方厘米。【对应练习1】将一个底面直径18厘米，高是8厘米的圆锥形木块分成形状、大小完全相同的两个木块后，表面积比原来增加了多少平方厘米?解析：将圆锥切成完全相同的两块，每一块的切面都是一个等腰三角形，而且这个三角形的底是直径，高是圆锥的高，也就是说底是18厘米，高是8厘米，所以每个切面的面积是72平方厘米，而现在的表面积比原来增加了2个切面，所以增加了144平方厘米。【对应练习2】一个圆锥的底面直径是24厘米，高12厘米。将这个圆锥沿着高切成大小相同的两半，表面积增加()平方厘米。解析：24×12÷2×2＝144×2＝288（平方厘米）【对应练习3】一个底面直径是12厘米的圆锥，从顶点沿高将它切成两半后，表面积增加了96平方厘米，这个圆锥的高是()厘米。解析：96÷2×2÷12＝8（厘米）【考点七】圆锥的切面积问题二。【方法点拨】将圆锥沿着高并垂直于底面切成完全相同的两块，每一块的切面都是一个等腰三角形，而且这个三角形的底是底面圆的直径，高是圆锥的高，相比较圆锥的表面积，增加了两个这样的切面。【典型例题】把一个底面直径是10cm的圆锥沿着高切开后，表面积增加了60cm2，这个圆锥的体积是多少cm3？解析：60÷2×2÷10＝6（厘米）3.14×（10÷2）²×6÷3＝3.14×25×2＝157（立方厘米）【对应练习1】把一个高15厘米的圆锥，沿着底面直径垂直切开，将圆锥平均分为两份，跟原来比表面积增加了300平方厘米，求这个圆锥的体积是多少？解析：一个三角形的面积：300÷2＝150（平方厘米）圆锥的底面直径：150×2÷15＝20（厘米）×3.14×（20÷2）2×15＝314×5＝1570（立方厘米）答：这个圆锥的体积是1570立方厘米。【对应练习2】将一个圆锥沿着高垂直于底面切成两半，表面积比原来增加了108cm2。若圆锥的高为18cm，这个圆锥的体积是多少立方厘米？解析：圆锥的底面直径：108÷2×2÷18＝6（cm）圆锥的底面半径：6÷2＝3（cm）圆锥的体积：3.14×32×18×＝3.14×54＝169.56（cm3）

答：这个圆锥的体积是169.56立方厘米。【考点八】排水法在圆锥体积中的应用一：求圆锥的高。【方法点拨】形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式：①V物体=V现在－V原来②V物体=S×(h现在-h原来)③V物体=S×h升高【典型例题】有一个底面直径是20cm的圆柱形容器，容器内盛了一些水。把一个底面周长是18.84cm的圆锥放入容器内，完全浸在水中，容器的水面升高了0.6cm，这个圆锥的高是多少cm？解析：圆锥底面半径：18.84÷2÷3.14＝3（厘米）圆锥底面积：3.14×32＝28.26（平方厘米）圆锥高：3.14×（20÷2）2×0.6×3÷28.26＝3.14×100×0.6×3÷28.26＝565.2÷28.26＝20（厘米）答：这个圆锥的高是20厘米。【对应练习2】有一个长方体水箱，底面是边长为4分米的正方形，水箱内原有3.5分米深的水。现在把一个底面积为8平方分米的圆锥形铜块完全浸没在水中，这时水面升高了0.5分米，求这个圆锥形铜块的高。解析：4×4×0.5×3÷8＝16×0.5×3÷8＝8×3÷8＝24÷8＝3（分米）答：这个圆锥形铜块的高是3分米。【对应练习3】一个底面半径为9厘米的圆柱形水桶里装有水，水中放着一个底面周长为37.68厘米的圆锥形铅锤，铅锤完全浸没在水中，取出铅锤后水桶中水面下降2厘米，圆锥形铅锤的高是多少厘米？解析：37.68÷3.14÷2＝6（厘米）3.14×92×2÷÷（3.14×62）＝＝13.5（厘米）答：圆锥形铅锤的高是13.5厘米。【考点九】排水法在圆锥体积中的应用二：求水面下降高度。【方法点拨】形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式：①V物体=V现在－V原来②V物体=S×(h现在-h原来)③V物体=S×h升高【典型例题】一个底面直径是20厘米的圆柱形玻璃杯中装有水，水里放着一个底面直径是6厘米、高是20厘米的圆锥形铅锤，当铅锤取出时，杯里的水面会下降多少厘米？解析：3.14×（6÷2）²×20÷3＝3.14×9×20÷3＝188.4（立方厘米）188.4÷[3.14×（20÷2）²]＝188.4÷[3.14×100]＝188.4÷314＝0.6（厘米）答：杯里的水面会下降0.6厘米。【对应练习1】一个底面半径是12厘米的圆柱形玻璃缸中装有水，里面放有一个底面半径是6厘米、高是18厘米的圆锥形铁块，全部被水淹没，当把铁块从水中取出后，水面会下降多少厘米？解析：3.14×6²×18×÷（3.14×12²）＝678.24÷452.16＝1.5（厘米）答：水面会下降1.5厘米。【对应练习2】在一个底面周长是125.6厘米，水面高度为30厘米的圆柱形水桶里，完全浸没着一个圆锥形零件，零件底面半径是10cm，高是6cm，当把这个零件从水桶里取出后，桶里的水面下降了多少厘米？解析：答：把这个零件从水桶里取出后，桶里的水面下降了0.5厘米。【对应练习3】一个底面直径是20厘米的圆柱形杯中装有水，水里浸没一个底面直径是10厘米，高是18厘米的圆锥体铁块，当铁块从杯中取出时，杯里的水面会下降多少厘米？解析：×3.14××18÷[3.14×]＝×3.14×25×18÷[3.14×100]＝3.14×25×6÷314＝1.5（厘米）答：杯里的水面会下降1.5厘米。【考点十】排水法在圆锥体积中的应用三：溢水问题。【方法点拨】形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式：①V物体=V现在－V原来②V物体=S×(h现在-h原来)③V物体=S×h升高【典型例题】一个装满水的无盖长方体容器（如下图），如果在容器中放入一个底面半径，高是的实心铁圆锥（完全浸没），会溢出多少毫升的水？解析：（立方厘米）157立方厘米＝157毫升答：会溢出157毫升的水。【对应练习1】把一个底面半径是4厘米，高是6厘米的铁制圆锥体放入盛满水的桶里，将有多少立方厘米的水溢出？解析：×3.14×42×6＝×3.14×16×6＝100.48（立方厘米）答：将有100.48立方厘米的水溢出。【对应练习2】有一个底面半径为8cm的圆柱形玻璃容器，水深6cm。把一块底面半径是6cm、高是10cm的圆锥形铁块放入水中，水会溢出45mL，那么这个玻璃容器有多高？（得数保留整数）解析：圆锥形铁块的体积：×3.14×6²×10＝376.8（cm³）水的体积：3.14×8²×6＝1205.76（cm³）45mL＝45cm376.8＋1205.76－45＝1537.56（cm³）玻璃容器的高：1537.56÷（3.14×8²）≈8（cm）答：这个玻璃容器的高约8cm。【考点十一】圆锥中的倒水问题。【方法点拨】圆锥中的倒水问题圆锥中倒入部分水，水的形状也是圆锥，当水的高度和原来圆锥的高度之比是m∶n时，水形成的圆锥和原来的圆锥的底面半径之比也是m∶n，那么底面积的比就是m2;n2，此时体积之比就是m3：n3。【典型例题】如图，圆锥形容器中装有水40升，水面高度是这个容器的一半，这个容器最多能装水多少升?解析：水与圆锥高之比为1:2，