应用随机过程课件 ch4 泊松过程

应用随机过程第四章泊松过程中国人民大学出版社PAGE应用随机过程第四章泊松过程中国人民大学出版社PAGE16/75第四章泊松过程第四章泊松过程应用随机过程中国人民大学出版社本章内容本章内容1指数分布1指数分布的基本概念指数分布的矩2指数分布的性质泊松分布2泊松分布的概念泊松分布的性质3泊松过程3

泊松过程的定义泊松过程的性质泊松过程的条件分布泊松过程的变换4泊松过程的拓展非齐次泊松过程复合泊松过程条件泊松过程4引言引言（PoissonDenisPoisson）命名的随机过countingproces指数分布的基本概念指数分布的基本概念指数分布的基本概念指数分布若随机变量指数分布的基本概念指数分布P(T≤t)=1−e−λt, ∀t≥0则称其服从速率为λ的指数分布（exponentialdistributio，记作T∼E(λ)。λe−λt, tλe−λt, t≥0fT(t)=

0, t<0指数分布的矩指数分布的矩指数分布的矩指数分布一阶矩（期望指数分布的矩指数分布E(T)=r∞t·fT(t)dt=r∞t·λe−λtdt=10 0 λ二阶矩：E(T2)E(T2)=r∞t2·fT(t)dt=r∞t2·λe−λtdt=2方差：λ2λ2λ2Var(T)=E(T2)−[E(T)]2=2−1λ2λ2λ2指数分布的矩指数分布的矩(cont.)指数分布的矩指数分布对于T∼E(λ)，其均值为1/λ，方差为1/λ指数分布的矩指数分布简要证明：S=λTSE(1)11。简要证明：TE(λ)，SE(1)ZS/λt，有：P(Z≤t)=P(S/λ≤t)=P(S≤λt)=1−exp[−1·(λt)]=1−e−λt=P(T≤t)

S⇒ T=Z=λ指数分布的无记忆性指数分布的无记忆性指数分布的性质指数分布假设T服从速率为指数分布的性质指数分布P(T>t+s|T>t)=P(T>s)简要证明：由于：简要证明：因此：

P(T≤t)=1−e−λt ⇒ P(T>t)=e−λt|P(T>t+sT>t)=P(T>t+s,T>t)|P(T>t)P(T>t+s)

e−λ(t+s)

−λs= P(T>t) =

=ee−λt

=P(T>s)指数分布的无记忆性指数分布的无记忆性(cont.)指数分布的性质指数分布P(T>t+s|T>t)=P(指数分布的性质指数分布指数分布是唯一具有无记忆性的连续型概率分布。注意：T看作一个仪器的寿命，那么上式说明了，在该仪器已经正ts小时的（条件）概率，与其出s小时的（无条件）概率是完全相等的。也就是说，仪器t小时，不会对其未来正常工作的时间产生任何影响，该特征就是无记忆性（lackofmemor。指数分布是唯一具有无记忆性的连续型概率分布。注意：举例举例指数分布的性质指数分布假设顾客在银行的时间服从均值为10分钟的指数分布，问：一个顾客在此银行用时超过15指数分布的性质指数分布注意：假定一个顾客10分钟后仍在银行，则她在银行用时超过15分钟的概率是多少？注意：此处此处λ=1/10。解答解答指数分布的性质指数分布如果以X表示顾客在这个银行的时间，则问题指数分布的性质指数分布P(X>15)=e−λt=exp（

1−10×

15＼=0.22(2)105分钟的概率。根据指数分布的无记忆性，该概率与之前的用时无关，且等5分钟的概率，即要求的概率如下：P(X>5)=e−λt=exp（

1−10×

5＼=0.604定理定理1指数分布的性质指数分布Tiλi(i12n)Ti指数分布的性质指数分布min(T1,T2,...,Tn)∼E(λ1+λ2+···+λn)简单证明由不等式的性质，可得：简单证明P[min(T1,T2,...,Tn)>t]=P(T1>t,T2>t,...,Tn>t)n ni=1i=1i=1i=1=TTP(Ti>t)=TTi=1i=1i=1i=1=exp[−(λ1+λ2+···+λn)t]即：min(T1,T2,...,Tn)∼E(λ1+λ2+···+λn)定理定理2指数分布的性质指数分布假设T1∼E(λ1)，T2∼E(λ2指数分布的性质指数分布E[max(T,T)]=1+1− 1 简单证明1 2 λ1简单证明

λ2 λ1+λ2由下列恒等式：由下列恒等式：max(T1,T2)=T1+T2−min(T1,T2)根据期望的线性性质，可得：E[max(T1,T2)]=E(T1)+E(T2)−E[min(T1,T2)]= + −1 11λ1 λ2 λ1+λ2定理定理3：指数分布的排序指数分布的性质指数分布假设T1∼E(λ1)，T2∼E(λ2指数分布的性质指数分布P(T

<T)=P[T

λ1 =min(T,T)]=简单证明1 2 1简单证明

1 2 λ1+λ2利用卷积公式，证明如下：利用卷积公式，证明如下：P(T<T)= f(u1 2r∞T1)P(u<T)du= λr∞e−λue−λu1221du0= λr0∞e−(λ+λ)u1 21du=λ1 0λ1+λ2推论推论指数分布的性质指数分布Ti是T1,T2,...,Tn指数分布的性质指数分布1 2P[Ti=min(T,T,...,Tn)]= λi , i=1,2,...,1 2λ1+λ2+···+λn举例举例1指数分布的性质指数分布的性质指数分布思路：i的服务时间服从速率为λi的指数分布(i=1,2)，求小明待在邮局的期望时间。思路：小明待在邮局的时间分成两段：一段是等待两位办事员中的一位忙完所W；另一段是其中一位办事员为小明提供服务所需的SE(WE(S)T1T2。举例举例1(cont.)指数分布的性质指数分布首先，小明等待的时间E(W)应当为T1和T2指数分布的性质指数分布有：E(W)=E[min(T,T)]= 11 2 λ1+λ2接下来，如果是办事员1先结束当前业务，其对应的概率为：P(T

λ1 <T)=1 2 λ1+λ2在此情形下，由办事员1为小明提供服务，相应的服务时间期望值为1/λ1；类似地，如果是办事员2先结束当前服务，其对应的概率为：P(T

λ2 >T)=1 2 λ1+λ2在此情形下，由办事员2为小明提供服务，相应的服务时间期望值为1/λ2。举例举例1(cont.)指数分布的性质指数分布的性质指数分布E(S)=E(T1)·P(T1<T2)+E(T2)·P(T1>T2)1 λ1 1 λ2 = · + ·λ1 λ1+λ22=

λ2 λ1+λ2最终可得：

λ1+λ2E(W)+E(S)= 3λ1+λ2举例举例2指数分布的性质指数分布CAB12的服务。已知两位办事员服务的时间服从速率为λi的指数分布i=1,指数分布的性质指数分布问：C最后一个离开邮局的概率是多少？举例举例2：方法一指数分布的性质指数分布假设A和B二人当中，指数分布的性质指数分布λ1/(λ1+λ2)。此时只剩下C和B在邮局办理业务。根据指数分布的无记忆性，接下来B先办完事情离开的概率为λ2/(λ1+λ2)。类似地，B先办完事情离开的概率为λ2/(λ1+λ2)。此时只剩下A和C在邮局办理业务。根据指数分布的无记忆性，接下来A先办完事情离开的概率为λ1/(λ1+λ2)。因此，将两种情形下的概率相加，最终可得：λ1λ+λ

λ2λ+λ

+ λ2λ+λ

λ1λ+λ

= 2λ1λ2(λ+λ)21 2 1 2 1 2 1 2 1 2举例举例2：方法二指数分布的性质指数分布若A是最后一个离开的，则第一步与B相比，B先完成服务；第二步与C相比，C先完成服务，因此指数分布的性质指数分布λ1+λ2λλ1+λ2

λ2 1+1+λ2

（λ2 ＼2λ1+λ1+λ2λ1+λ2 1+λ2 λλ1+λ21+λ2λ1+λ2λ=类似地，B最后一个离开邮局的概率为：λ=λ1+λ2λλ1+λ2

λ1 1+1+λ2

（λ1 ＼2λ1+λ1+λ2λ1+λ2 1+λ2 λλ1+λ21+λ2λ1+λ2λ==(λ于是，根据概率的完备性，λ==(λλ1+λ21−−（λ1+λ21−−

（λ1 ＼2λ1+λ1+λ2

2λ1λ2 1+1+λ2)2λ1+λ2 λ1+λ2λ1+λ2λ1+λ21+λ2)2定理定理4指数分布的性质指数分布τ1τ2τn∼E(λ)τ1τ2τn相互独立。则这些随机Tn（Tn=τ1τ2···τn指数分布的性质指数分布f t e−λt

(λt)n−1 tTn()=λ

(n−1)!, ≥0即Tn服从Gamma分布，记作Tn∼Γ(n,1/λ)；另外，Tn还服从埃尔朗（Erlang）分布，记作Tn∼Erlang(n,λ)。泊松分布的概念泊松分布的概念泊松分布的概念泊松分布若随机变量泊松分布的概念泊松分布P(X=n)=e−λ

λnn!, n=0,1,2,...则称X服从均值为λ的泊松分布（ndistribution，记作：X∼Poi(λ)。泊松分布的性质泊松分布的性质泊松分布的性质泊松分布对于泊松分布X∼Poi(λ泊松分布的性质泊松分布E(X)=λ；E(X2)=λ+λ2；Var(X)=E(X2)−[E(X)]2=λ。定理定理泊松分布的性质泊松分布／若Xi∼Poi(λi),i=1,2,...,n，且Xi泊松分布的性质泊松分布／ni=1n

Xi∼Poi

ni=1

λi\若X∼Poi(λ)，则下式成立：E[X(X−1)···(X−k+1)]=λk泊松分布与二项分布的关系。当n→∞时，二项分布将趋近于泊松分布，即：B(n,λ/n)→Poi(λ)举例举例3泊松分布的性质泊松分布某保险公司的人寿险种有泊松分布的性质泊松分布0.5%，并且每个人在一年内死亡与否是相互独立的。求在未来一年中，这1000人当中死亡人数为10人的概率。该问题可看作一个成功概率p=0.5%，试验次数N=1000次，其中成功次数k=10次的二项分布。使用二项分布中的概率计算公式，可得：k10（N＼pk(1−p)N−k=（1000＼×0.00510×(1−0.005)1000−10=1.7996%k10×如果使用泊松分布进行近似计算，则有λ=Np=1000 0.5%=5，于是相应的概率如下：×P(k=10)=

λke−λk!

510= e−510!

=1.8133%泊松过程的第一种定义方式泊松过程的第一种定义方式泊松过程的定义泊松过程τ1τ2τnE(λ)τ1τ2τn泊松过程的定义泊松过程Tn=τ1+τ2+···+τn,n≥1，T0=0。定义N(t)=max{n:Tn≤t}，N(t)称为泊松过程，并且服从均值为λt的泊松分布，即：P[N(t)=n]=e−λt·

(λt)nn!, n=0,1,2,...解读：τnn(n1)个顾客的时间间隔；TnnN(tt之前到达的顾客数量。因此，P[N(t)=nt之前到达的顾客数量n的概率。解读：相关分布关系的图示相关分布关系的图示泊松过程泊松过程的定义N泊松过程泊松过程的定义N(t)τi∼E(λ); Tn∼Γ(n,1/λ); N(s)∼Poi(λs) N(s)τi=Ti−Ti−1; N(s)=n,Tn≤s≤Tn+1τ4 τ3 τ1τ2321tT0=0 T1 T2 T3 T4 s两组等价关系两组等价关系泊松过程泊松过程的定义T0 T1 T2 T3 ···Tn−1 Tn t T泊松过程泊松过程的定义τ1 τ2 τ3 ··· τn s

τn+1“t时刻的计数不小于n的时刻不大于t{N(t)≥n}={Tn≤t}“t时刻的计数为t时刻介于计数为n和(n+1)的时刻{N(t)=n}={Tn≤t<Tn+1}泊松过程的第二种定义方式泊松过程的第二种定义方式泊松过程的定义泊松过程已知t时刻前的计数为n，即N(t)=泊松过程的定义泊松过程[t,t+∆t]内有以下概率：P[N(t+∆t)=n]=1−λ∆t+O(∆t)P[N(t+∆t)=n+1]=λ∆t+O(∆t)P[N(t+∆t)=n+2]=O(∆t)则称N(t)是速率/强度为λ的泊松过程，即N(t)∼Poi(λt)。泊松过程的性质泊松过程的性质泊松过程的性质泊松过程N(0)=0泊松过程的性质泊松过程N(t+s)−N(s)∼Poi(λt),N(t+0)−N(0)=N(t)∼Poi(λt)即：长度相等的时间段内，事件发生个数的概率分布是相同的，也被称为平稳增量yincrement；N()具有独立增量independentincremen，即对于t0<t1<···<tn，有：N(t1)−N(t0),N(t2)−N(t1),...,N(tn)−N(tn−1)均独立。平稳的含义平稳的含义泊松过程的性质泊松过程平稳（stationary）可以细分为严平稳（泊松过程的性质泊松过程（weaklystationary）两大类。所谓严平稳，是指一个随机过程的联合分布函数不随时间而发生改变；而宽平稳也称作协方差平稳（covariancestationary，是指一个过程的协方差不随时间而发生改变，即期望、方差和协方差不变。根据这一定义，泊松过程的增量明显满足宽平稳的基本条件。引理引理泊松过程的性质泊松过程N(tsN(s)t0λN(r)泊松过程的性质泊松过程0≤r≤s相互独立。若对任何0=t0<t1<···<tn,ki取值为正整数，且序列不减，则：P[N(tn)=kn|N(tn−1)=kn−1,...,N(t1)=k1]=P[N(tn)=kn|N(tn−1)=kn−1]举例举例4泊松过程的性质泊松过程假设一个计数过程{N(t),t≥0}是速率为泊松过程的性质泊松过程解答P[N(20)−N(18)=2]。解答根据泊松过程的增量平稳性，可进行如下简化：P[N(20)−N(18)=2]=P[N(2)=2]于是此处的t=2,n=2。结合速率λ=2，可得：P[N(t)=n]=

(λt)nen!

−λt最终可得：

P[N(2)=2]=

(2×2)22!

e−2×2

=8e−4

=14.65%P[N(20)−N(18)=2]=14.65%泊松过程的条件分布泊松过程的条件分布泊松过程的条件分布泊松过程关于泊松过程的条件分布问题，我们主要关注两点：泊松过程的条件分布泊松过程到达次数的条件分布。到达时刻的条件分布举例到达时刻的条件分布举例泊松过程的条件分布泊松过程N(t)t分钟内到达商店的顾客数量。N(t)λ的N(tPoi(λt)N(t1T1是第一位顾T1s,s(0t泊松过程的条件分布泊松过程问题转化为求解P[T问题转化为求解P[T1≤s|N(t)=1]。思路：泊松过程泊松过程的条件分布由于{T1≤s}等价于{N(s)≥1}泊松过程的条件分布P[T1≤s|N(t)=1]=P[N(s)≥1|N(t)=1]需要注意的是，由于s≤t，在N(t)=1的前提条件下，N(s)不可能大于1，因此：P[T1≤s|N(t)=1]=P[N(s)=1|N(t)=1]=P[N(s)=1,N(t)=1]P[N(t)=1]=P[N(s)=1,N(t)−N(s)=0]P[N(t)=1]=P[N(s)=1]·P[N(t−s)=0]P[N(t)=1]·λse−λse−λ(t−s) s·= λte−λt =t到达时刻的条件分布结论到达时刻的条件分布结论泊松过程的条件分布泊松过程最终得到的条件分布函数和条件密度函数如下：泊松过程的条件分布泊松过程F(s)=P[T1

s≤s|N(t)=1]=P[N(s)≥1|N(t)=1]=t条件概率密度函数：tf(s)=dF(s)=1, s∈(0,tt因此在t时刻之前有一个顾客到达的条件下，其到达的时刻T1服从[0,t]上的均匀分布uniformdistribution。问题引申问题引申思路：泊松过程泊松过程的条件分布取s1思路：泊松过程泊松过程的条件分布取s1<s2，使得s1≥T1,s2≥T2，构造条件分布F(s1,s2)，表达式如下：F(s1,s2)=P（T1≤s1,2≤s2|N(t)=2)()2l。W71V172V2W推导过程推导过程泊松过程的条件分布泊松过程1 lF(s1,s2)=PT1≤s1,T2≤s2|N泊松过程的条件分布泊松过程1 l=PN(s1)=1,N(s2)=2|N(t)=2l=P[N(s1)=1,N(s2)=2,N(t)=2]P[N(t)=2]=P[N(s1)=1]·P[N(s2)−N(s1)=1]·P[N(t)−N(s2)=0]P[N(t)=2]=P[N(s1)=1]·P[N(s2−s1)=1]·P[N(t−s2)=0]P[N(t)=2]λs1e−λs1·λ(s2−s1)e−λ(s2−s1)·e−λ(t−s2)==s1(s2−s1)t2

1(λt)2e−λt21= 22s1s2−2s221= 2t应用随机过程第四章泊松过程中国人民大学出版社40/应用随机过程第四章泊松过程中国人民大学出版社40/75条件分布和条件概率密度条件分布和条件概率密度泊松过程泊松过程条件概率密度：

泊松过程的条件分布F(s1泊松过程的条件分布

s2)=

2s1s2−2s21t21f(s1,s2)=

∂2F(s1s2)∂s∂s

2=t21 2按照类似的方法可以得到在条件N(t)=n>0下，(T1,T2,...,Tn)的联合密度函数如下：f(s,s,...,s)=n!12 n tn应用随机过程第四章泊松过程中国人民大学出版社PAGE应用随机过程第四章泊松过程中国人民大学出版社PAGE42/75到达次数的条件分布到达次数的条件分布泊松过程的条件分布泊松过程()=]=如果s<t，且0≤m≤泊松过程的条件分布泊松过程()=]=[()=PNs[()=

m|Nt

n （n＼(s\m(

−s\n−mmt1t即在给定N(t)=n时，N(s)的条件分布是二项分布B(n,s/t)。mt1t到达次数的条件分布到达次数的条件分布(cont.)泊松过程的条件分布泊松过程由于s<t，且0≤m≤泊松过程的条件分布泊松过程|P[N(s)=mN(t)=n]=P[N(s)=m,N(t)=n]|P[N(t)=n]=P[N(s)=m,N(t−s)=n−m]P[N(t)=n]=P[N(s)=m]·P[N(t−s)=n−m]P[N(t)=n](λs)me−λs·[λ(t−s)]n−me−λ(t−s)= n!

(n−m)!e(λt)n λtn!esm·(t−s)n−m=m!(n−m)!· tnm=·tm·tn−m m=·tm·tn−m =·tt

sm·(t−s)n−m

（n＼mm

(s\m（−s＼−m到达次数的条件分布到达次数的条件分布(cont.)泊松过程的条件分布泊松过程P[N(s)=m|N(t)=n]=·（n＼泊松过程的条件分布泊松过程P[N(s)=m|N(t)=n]=·m t tmttm t tmtt根据最终的结果不难看出：到达次数的条件分布服从n次试验中成功次数为m、成功概率为s/t的二项分布，即B(n,s/t)。注意注意泊松过程的条件分布泊松过程泊松过程的条件分布泊松过程|P[N(t)=nN(s)=m]=P[N(t)=n,N(s)=m]|P[N(s)=m]=P[N(s)=m]·P[N(t−s)=n−m]P[N(s)=m]=P[N(t−s)=n−m]−[λ(t s)]n−m−=(n−m)!

e−λ(t−s)泊松过程的变换泊松过程的变换泊松过程的变换泊松过程泊松过程的变换分为两大类：一类是稀释thinnin泊松过程的变换泊松过程（n，即若干个独立的泊松过程可以合成一个泊松过程。泊松过程的稀释泊松过程的稀释泊松过程泊松过程的变换设(t)是速率为λ的泊松过程［即(t)∼i(λt)，表示到t时刻p，且事件是否被N1(t)tN1(tPoi泊松过程泊松过程的变换p1p2p3···pnN1p1p2p3···pnN2(t)∼SQB(p2λt)N(t)∼SQB(λt)npi=1i=1

N3(t)∼SQB(p3λt)·········nnN(t)∼SQB(pλt)nn推导过程推导过程泊松过程的变换泊松过程的变换泊松过程、 | 、 | ·P[N1(t)=n]= P[N1(t)=nN(t)=m+n]P[N(t)=m+n]m=0∞、（m+n＼n m −λt(λt)m+n∞=m=0∞

n p(1−p)·e

(m+n)!m+nm!n!(m+n)!=、(m+n)!pn(1−p)m!n!(m+n)!P[N1(t)=n|N(t)=mn](mn)个事件当中，被记录的事件n个的概率。由于事件是否被记录是独立的，因此这里可看作成功概p的二项分布，相应的概率就是：1nP[N(t)=n|N(t)=m+n]=（m+n＼pn(1−p)m1n推导过程推导过程(cont.)泊松过程的变换泊松过程、泊松过程的变换泊松过程、根据ex= x，可得：n=0n!P[NP[N(t)=n]=e−λt、(1−p)(λt)·p(λt)

m m n n1 m! n!m=0=e−λt=e−λtpλt)、[(1p)λt]n!−λt(pλt)n

m!m=0(1−p)λt

−pλt(pλt)n因此：

=e n! ·e

=e n!N1(t)∼Poi(pλt)泊松过程的叠加泊松过程的叠加泊松过程泊松过程的变换假设N1(t),...,Nk(t)是独立的泊松过程，速率分别为λ1,...,λk，则N1(t)+···+Nk(t)是一个泊松过程，并且速率为λ1+···+泊松过程泊松过程的变换N1(t)∼SQB(λ1t)N2(t)∼SQB(λ2tN3(t)∼SQB(λ3t)

N(tSQB(寸n

λit)·········Nn(t)∼SQB(λnt)

nN(t)=n

Ni(t)泊松过程的拓展泊松过程的拓展泊松过程的拓展前面所介绍的泊松过程，从严格意义上讲是一种特殊的齐次泊松过泊松过程的拓展非齐次泊松过程；复合泊松过程；条件泊松过程。非齐次泊松过程非齐次泊松过程非齐次泊松过程泊松过程的拓展满足以下条件的计数过程{N(t):t≥0}就是强度函数为λ(t)的非齐次泊松过程（非齐次泊松过程泊松过程的拓展N(0)=0；rN(t)具有独立增量性；rE[N(r)−N(s)]=

rsλ(t)dt, N(r)−N(s)∼Pois

（rr注意：s注意：s

λ(t)dt＼。此时的时间间隔此时的时间间隔τ1,τ2,...不再服从指数分布，并且不满足独立性条件。当λ(t)=λ时，强度/速率不随时间而发生改变，此时便是我们所熟悉的（齐次）泊松过程。非齐次泊松过程的性质非齐次泊松过程的性质非齐次泊松过程泊松过程的拓展非齐次泊松过程在t时刻计数为非齐次泊松过程泊松过程的拓展其中：

P[N(t)=n]=pn(t)=

[m(0,t)]nexp m tn! [−(0,)]exp m tm(s,t)=

trλ(t′)dt′rs非齐次泊松过程的期望和方差：E[N(t)]=Var[N(t)]=m(0,t)=

trλ(t′)dt′r0举例举例5泊松过程的拓展{X(t)t0λ(t泊松过程的拓展松过程，其中ω̸=0。求E[X(t)]和Var[X(t)]。

非齐次泊松过程(1非齐次泊松过程2

cosωt)的非齐次泊E[E[X(t)]=Var[X(t)]= λ(t′)dt′= 2(1+cosωt′)dt′rt rt0= t′+ sinωt′1（ 102= t+ sinωt1（ω12ω＼1t′=0＼1′=t举例举例6非齐次泊松过程泊松过程的拓展设某路公共汽车从早晨5时到晚上21非齐次泊松过程泊松过程的拓展5200人/小时计算；58时乘客平均到达率线性增加，81400人/小时；818时保持平均到达率不变；18211400人/21200人/小时。假定乘客数在不重叠的时间间隔内是相互独立的。求12时至14时有2000人来站乘车的概率，并求出这两个小时内来站乘车的人数的期望值。举例举例6(cont.)思路：泊松过程的拓展非齐次泊松过程将刚开始的早晨5时记为时刻t=0，其他的时间以此类推，最终21时记为时刻t=16。由此可以得到乘客到达率的函数λ(t思路：泊松过程的拓展非齐次泊松过程λ(t)=

1400, t [3,13]∈200+400t, t∈[0,3]1400−∈200+400t, t∈[0,3]1400λ(t)2000 3 1316 t举例举例6(cont.)非齐次泊松过程泊松过程的拓展rr所要求的时间段应当为t∈[7,非齐次泊松过程泊松过程的拓展rrm(7,9)=

9λ(t)dt=7

971400dt=1400×(9−7)=2800(人)7在12时到14时有2000名乘客到达的概率为：P −m(7,9)[m(7,9)]n

−280028002000[N(9)−N(7)=2000]=e

n! =e

2000!相应地，这段时间内乘客数的期望值即为：m(7,9)=2800(人)复合泊松过程复合泊松过程复合泊松过程泊松过程的拓展{S(t):t0就是复合泊松过程（compoundnprocess复合泊松过程泊松过程的拓展··· ··· 、S(t)=Y1+Y2+ +YN(t)= Yii=1其中，{N(tt0λ的泊松过程；{Yii1是独立同分布{Yi{N(tt0是独立的。复合泊松过程与泊松过程复合泊松过程与泊松过程泊松过程的拓展复合泊松过程S(t)泊松过程的拓展复合泊松过程S(t) τ3 Y1tτ2τ1Y2τ4Y3Y4S(t)=Y1+Y2+···+YN(t)S(4)S(3)S(2)S(1)T0=0T1 T2 T3 T4复合泊松过程举例复合泊松过程举例1复合泊松过程泊松过程的拓展假设N(t)是在时间段[0,t]内到达某商店的人数，并且{N(t),t≥复合泊松过程泊松过程的拓展是泊松过程。假设Yk是到达商店的顾客k消费的金额，如果假设{Yk},k=1,2,...,N(t)是独立同分布的随机变量序列，并且与{N(t)}独立，那么商店在时间段[0,t]内的总营业额X(t)就是：、N(t)、X(t)= Yk, t≥0k=1这里的{X(t),t≥0}就是一个复合泊松过程。复合泊松过程举例复合泊松过程举例2复合泊松过程泊松过程的拓展N(t[0t内跳空上涨或下{N(t)t0Ykk次跳跃的{Yk},k12N(t是独立同分布的随机变{N(t)复合泊松过程泊松过程的拓展那么在时间段[0,t]内，该股票价格总的跳跃幅度X(t)就是：、N(t)、X(t)= Yk, t≥0k=1这里的{X(t),t≥0}也是一个复合泊松过程。随机和随机和定理：复合泊松过程泊松过程的拓展Y1Y2µσ2，S(tY1Y2···YN(t){N(tt0λ的泊松S(t定理：复合泊松过程泊松过程的拓展E[S(t)]=µλt, Var[S(t)]=λt(σ2+µ2)随机和的期望随机和的期望复合泊松过程泊松过程的拓展由于{N(t)}是速率为复合泊松过程泊松过程的拓展E[N(t)]=Var[N(t)]=λt首先求出E[S(t)]，具体如下：、 | 、 | ·E[S(t)]= E[S(t)N(t)=n]P[N(t)=n]n=0、nµ、nµ·λt)∞n=0∞

n!∞=µλt·∞=µλt·e

(n−1)!=µλt(n−1)!=µλt·e

−λt

(λt)kkk!n=0 k=0n=0k=0k!=µλt·e−λt·eλt=µλt随机和的二阶矩随机和的二阶矩复合泊松过程泊松过程的拓展接下来求出E[S2(t复合泊松过程泊松过程的拓展2 2 2 2 | ·E[S(t)]= E[S(t)N(t)=n]P[N(t)=n]n=0=、(=、(n2µ2+nσ2)·(λt)e−λtn=0∞

n!=µ2、=µ2、n2·(λt)e−λt+σ2、n·(λt)e−λtn!n=0∞

n!n=0∞=µ2、n2·P[N(t)=n]+σ2、n·P[N(t)=n]n=0=µ2E[N2(t)]+σ2E[N(t)]

n=0随机和的方差随机和的方差复合泊松过程泊松过程的拓展1 l最后求出Var[S(复合泊松过程泊松过程的拓展1 l1 lVar[S(t)]=ES2(t)−[ES(t)]1 l=µ2EN2(t)+σ2E[(t)]−µ2E[(t)]21 l=σ2E[(t)]+µ2JE2(t)−{E[(t)]21 l=σ2E[N(t)]+µ2Var[N(t)]=λt(σ2+µ2)泊松过程的拓展条件泊松过程在风险理论中，我们常常使用条件泊松过程来刻画意外事件的发λΛ来表条件泊松过程示，当一段时间后频率确定下来了，这个泊松过程就有了确定的参数λ。于是，意外事件发生的次数N(t)所服从的泊松分布就可以解释为给定Λ=λ时，N(t)的条件分布。条件泊松过程的定义条件泊松过程的定义条件泊松过程也称考克斯过程（Coxprocess）或双随机泊松过程（doublystochasticPoissonprocess，可以看作强度λ(t)为随机变量的非λ(t)N(t)两个随机源。说明：条件泊松过程泊松过程的拓展Λ0Λλ{N(t),t0是条件泊松过程也称考克斯过程（Coxprocess）或双随机泊松过程（doublystochasticPoissonprocess，可以看作强度λ(t)为随机变量的非λ(t)N(t)两个随机源。说明：条件泊松过程泊松过程的拓展条件泊松过程的定理条件泊松过程的定理1条件泊松过程泊松过程的拓展假设随机变量Λ的分布函数为G(·)，对应的密度函数为g(·)，则事件在任意时间区间t内，发生1条件泊松过程泊松过程的拓展PNt s Ns

n r∞e−λt(λt)ndG[(+)−

()=]==

0∞e−λt0

n!(λt)nn!

(λ)r, ∀srg(λ)dλ例子：例子：条件泊松过程泊松过程的拓展N(tλmθGamma条件泊松过程泊松过程的拓展求：P[N(t)=n]。

g(λ)=θ

e−θ