《数学（下册）（第二版）》 课件 第１章　函数与极限

函数与极限第1章1目录１.１函数的概念１.２初等函数１.３函数的极限１.４函数极限的运算法则１.５函数的连续性2教学要求：1.理解函数的概念和性质；了解反函数的概念，并认识反三角函数．2.掌握基本初等函数的定义，熟悉它们的图像和性质．3.理解复合函数与初等函数的定义，会进行复合函数的分解．4.了解数列极限的含义；理解函数极限的概念，了解函数左、右极限的概念及其简单的计算．35.了解无穷小与无穷大的概念，会用无穷小的性质求极限，知道一些等价无穷小，会用等价无穷小代换求极限．6.掌握极限的四则运算法则；掌握用两个重要极限求函数极限的方法．7.理解函数连续的定义和初等函数连续性的概念，会求一些简单的函数的间断点；熟悉闭区间上连续函数的性质．41.1函数的概念5集合集合一般地，某些指定的对象组成的全体就是一个集合（简称集）．集合中的每个对象都称为这个集合的元素，集合可以用列举法或描述法来表示．通常用大写英文字母A，B，C等表示集合，用小写英文字母a，b，c等表示集合中的元素．如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A．6实例考察中自变量的取值范围是在实数范围内的数的集合，简称数集，一些常用的数集及其记法如下表：7区间对于数集，还有一种更为简单的表示方法———区间．设a，b都是实数，且a＜b．89上表中，“－∞”和“＋∞”分别读作“负无穷大”和“正无穷大”．“－∞”和“＋∞”不是数，仅仅是记号，“－∞”表示区间的左端点可以无限地减小，“＋∞”表示区间的右端点可以无限地增大．邻域邻域也是常用到的一个集合概念．设a与δ是两个实数，且δ＞０，开区间（a－δ，a＋δ）称为a的δ邻域，记作U（a，δ），（a－δ，a）∪（a，a＋δ）称为a的去心δ邻域，记作

（a，δ）．10函数的概念函数的定义在某一个变化过程中，有两个变量x与y，如果对于x在某个非空的实数集D中的每一个值，按照某个对应关系（或称对应法则）f，y都有唯一确定的值与x对应，那么我们就说y是x的函数，记作y＝f（x），x∈D．其中，x称为自变量，y称为因变量，x的取值范围D称为函数的定义域，与x的值相对应的y的值称为函数值．当x取遍D中所有值时，所得到的函数值y的集合{f（x）丨x∈D}称为函数的值域．11由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，我们就称两个函数相等．函数的定义域的确定通常有以下两种情形：对有实际背景的函数，根据实际背景中变量的实际意义确定定义域；对抽象的算式表达的函数，约定定义域是使得函数表达式有意义的一切实数组成的集合，这种定义域称为函数的自然定义域．12函数的表示法解析法（公式法）用数学式子表示自变量和因变量之间的对应关系的方法．列表法用表格来表示自变量和因变量之间的对应关系的方法．图像法在平面内用图像来表示自变量和因变量之间的对应关系的方法．反函数在函数关系中，自变量与因变量是相对的．例如，对于函数y＝2x，若把x解出，得x＝log2y，则x就成为y的函数．13设函数y＝f（x），定义域为D，值域为M，如果对于M中的每一个y值（y∈M），都可以从关系式y＝f（x）确定唯一的x值（x∈D）与之对应，那么所确定的以y为自变量的函数x＝f－1（y）就称为函数y＝f（x）的反函数，它的定义域为M，值域为D．由此定义可知，函数y＝f（x）也是函数x＝f－1（y）的反函数，即它们互为反函数．习惯上，函数的自变量用x表示，因变量用y表示，所以把函数y＝f（x），x∈D的反函数记为y＝f－1（x），x∈M．函数y＝f（x）的图像与其反函数y＝f－1（x）的图像关于直线y＝x对称．14反三角函数正弦函数y＝sinx，x∈R是没有反函数的，但是在正弦函数y＝sinx的一个单调区间

上，对于y在[－1，1]上每一个值，x在

上都有唯一的值和它对应，因此，函数y＝sinx，

x∈有反函数．函数y＝sinx，x∈的反函数称为反正弦函数，记作y＝arcsinx，它的定义域为[－1，1]，值域为．类似地，函数y＝cosx，x∈[0，π]的反函数称为反余弦函数，记作y＝arccosx，它的定义域为[－1，1]，值域为[0，π]．函数y＝tanx，x∈的反函数称为反正切函数，记作y＝arctanx，它的定义域为R，值域为．函数y＝cotx，x∈（0，π）的反函数称为反余切函数，记作y＝arccotx，它的定义域为R，值域为（0，π）．反正弦函数、反余弦函数、反正切函数、反余切函数统称为反三角函数．15函数的基本性质奇偶性设函数y＝f（x），x∈D，定义域D关于原点对称，如果对于任意x∈D，都有f（－x）＝f（x），则称y＝f（x）为偶函数；如果对于任意x∈D，都有f（－x）＝－f（x），则称y＝f（x）为奇函数．不是偶函数也不是奇函数的函数，称为非奇非偶函数．几何特征：偶函数的图像关于y轴对称，奇函数的图像关于原点对称．1617周期性设函数y＝f（x），x∈D，如果存在一个非零常数T，使得对于任意x∈D，都有x＋T∈D，且f（x＋T）＝f（x），则称y＝f（x）为周期函数，T称为这个函数的周期．对于每个周期函数来说，周期有无穷多个．如果其中存在一个最小正数，则规定这个最小正数为该周期函数的最小正周期，简称周期．我们常说的某个函数的周期通常指的就是它的最小正周期．几何特征：以T为周期的周期函数的图像在定义域内每隔长度为T的区间上形状相同．18单调性设函数y＝f（x），x∈D，区间I⊆D．如果函数y＝f（x）在区间I上随着x的增大而增大，即对于I上任意两点x1，x2，当x1＜x2时，有f（x1）＜f（x2），则称函数f（x）在区间I上单调递增；如果函数f（x）在区间I上随着x的增大而减小，即对于I上任意两点x1，x2，当x1＜x2时，有f（x1）＞f（x2），则称函数f（x）在区间I上单调递减．区间I称为y＝f（x）的单调区间．几何特征：单调递增区间上的图像沿横轴正向上升，单调递减区间上的图像沿横轴正向下降．特别地，当函数f（x）在它的定义域上单调递增（或单调递减）时，就称f（x）是增函数（或减函数）．1920有界性设函数y＝f（x），x∈D，区间I⊆D．若存在一个正数M，对于任意x∈I，都有│f（x）│≤M，则称函数f（x）在区间I上有界，否则，称f（x）在区间I上无界．几何特征：有界函数的图像全部夹在直线y＝M与y＝－M之间．211.2初等函数22基本初等函数常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数．为了便于同学们复习，现将常见基本初等函数的定义域、值域、图像和性质列表如下：2324252627282930复合函数我们先来看一个例子．设y＝u5，u＝3－2x．把u＝3－2x代入y＝u5可以得到函数y＝（3－2x）5．这个函数就是由y＝u5与u＝3－2x复合而成的复合函数．31复合函数不仅可以有一个中间变量，还可以有多个中间变量，即可以由两个以上的函数进行复合，只要它们依次满足能够复合的条件．另外，对于复合函数，我们要弄清两个问题，那就是“复合”和“分解”．所谓“复合”，就是把几个作为中间变量的函数复合成一个函数，该过程就是把中间变量依次代入的过程；所谓“分解”，就是把一个复合函数分解为几个简单的函数，而这些简单的函数往往都是基本初等函数或是由基本初等函数经过有限次四则运算得到的函数．32初等函数例如，y＝x2－2x＋1，y＝，y＝2x＋xlnx，y＝（1＋cosx）tanx等都是初等函数．而分段函数一般不是初等函数，如符号函数就不是初等函数．绝对值函数y＝丨x

丨虽然是分段函数，但由于

，所以它仍是初等函数．本教材所讨论的函数绝大多数都是初等函数．331.3函数的极限34数列的极限根据定义，“割圆术”中圆面积A＝35有些数列的极限是不存在的，例如：（1）数列{n2}，当n→∞时，n2也无限增大，不能无限接近于一个确定的常数，根据数列极限的定义，这个数列的极限不存在，为方便起见，这时可以记作（2）数列{（－1）n}，当n→∞时，（－1）n在两个数1与－1上来回跳动，也不能无限接近于一个确定的常数，根据数列极限的定义，这个数列的极限也是不存在的．36函数的极限当x→∞时，函数f（x）的极限前面我们讨论了数列的极限．数列{an}可看作自变量为n的函数an＝f（n），n∈N∗．因此，数列的极限

＝a，又可以写成也就是说，当自变量n取正整数且无限增大时，对应的函数值f（n）无限接近于一个确定的常数a．对于一般的函数f（x），当它的自变量x的绝对值无限增大时，我们可以类似地定义．37值得注意的是，上述定义中“x→∞”表示x既可取正值而趋于无穷（记作x→＋∞），也可取负值而趋于无穷（记作x→－∞）．但有时所讨论的x值，只能或只需取正值（或负值）趋于无穷，此时我们可以类似地给出如下定义．38由上述极限的定义，可得结论：

＝A的充分必要条件是39当x→x0时，函数f（x）的极限40值得注意的是，上述定义中“x→x0”表示x可以以任意方式趋近于x0，但有时所讨论的x值，只能或只需从x0的左侧趋近于x0（记作x→x0－）或从x0的右侧趋近于x0（记作x→x0＋），此时我们可以类似地给出如下定义．41由上述极限的定义，可得结论：

的充分必要条件是无穷小与无穷大无穷小注意：（1）无穷小是以零为极限的变量，任何一个很小常数都不是无穷小．（2）常数中只有零可以看作无穷小．（3）不能笼统地说某个函数是无穷小，必须指出自变量的变化过程．因为无穷小是用极限来定义的，在自变量的某个变化过程中的无穷小，在另一个变化过程中则不一定是无穷小．42函数极限与无穷小的关系一般地，函数、函数极限与无穷小三者之间具有如下的关系．43无穷小的性质在自变量的同一变化过程中，无穷小具有以下性质．性质1有限个无穷小的代数和仍为无穷小．性质2有限个无穷小的乘积仍为无穷小．性质3无穷小与有界函数的乘积为无穷小．推论常数与无穷小的乘积为无穷小．44无穷大当x→x0（或x→∞）时的无穷大的函数f（x），按函数极限的定义来说，极限是不存在的．但为了便于叙述函数的这一特征，我们也称“函数的极限是无穷大”，并记作45如果当x→x0（或x→∞）时，函数f（x）大于零且无限增大，这时可记作如果当x→x0（或x→∞）时，函数f（x）小于零但绝对值无限增大，这时可记作注意：（1）无穷大是变量，任何一个绝对值很大的常数都不是无穷大．（2）说一个函数是无穷大，必须同时指出自变量的变化过程．46无穷小与无穷大的关系在自变量的同一变化过程中，如果函数f（x）为无穷大，则函数

为无穷小；反之，如果函数f（x）为无穷小，且f（x）≠0，则函数

为无穷大．471.4函数极限的运算法则48函数极限的四则运算法则在下面的讨论中，求极限的过程中自变量的趋向没有标出，表示对任何一个自变量的变化过程都成立，只要在同一问题中的自变量的趋向相同即可．以上法则都可以利用函数极限与无穷小的关系来证明．49证明由函数极限与无穷小的关系，得f（x）＝A＋α，g（x）＝B＋β，其中α，β都是自变量在同一变化过程中的无穷小，于是f（x）·g（x）＝（A＋α）（B＋β）＝AB＋（Aβ＋Bα＋αβ）．由无穷小的性质可知，Aβ＋Bα＋αβ也是无穷小．再根据函数极限与无穷小的关系知道lim[f（x）·g（x）]＝AB．50推论若limf（x）＝A，C为常数，n为正整数，则（1）limCf（x）＝Climf（x）＝CA；（2）lim[f（x）]n＝[limf（x）]n＝An．注意：只有当运算中所涉及的函数极限都存在，且分母的极限不为零时，才能用极限的四则运算法则求极限，否则法则不能使用．51复合函数的极限运算法则前面已经得到，对于多项式函数和有理分式函数f（x），只要f（x0）存在，函数f（x）当x→x0时的极限，等于该函数在x0处的函数值f（x0）．事实上，一切基本初等函数在其定义域内的每一点处同样具有这样的性质，即如果f（x）是基本初等函数，定义域为D，x0∈D，则52类下面给出一个复合函数的极限运算法则．53两个重要极限第一个重要极限

考察当x→0时，函数

的变化趋势如下表．由表我们可以看出，当x→0时，

无限接近于常数1，即54注意：（1）第一个重要极限是

型．（2）形式必须一致，在x的同一个变化过程中，

中的两个φ（x）是同一个无穷小．（3）第一个重要极限也可以写成55第二个重要极限考察当x→∞时，函数

的变化趋势如下表．56由表可以看出，当x→－∞或x→＋∞时，函数的值越来越接近一个确定的常数2.71828···．这个确定的常数用e来表示，即在上式中令t＝，则x→∞时，t→0，于是上式可变成

＝e，即注意：（1）第二个重要极限是1∞型．（2）形式必须一致，在x的同一个变化过程中，中的两个φ（x）是同一个无穷小．57无穷小的比较在无穷小的性质中，我们已经知道两个无穷小的和、差、积仍然为无穷小，那么两个无穷小的商是否为无穷小呢?答案是不定．例如，当x→0时，x2，2x，3x，sinx都是无穷小，而两个无穷小的商的各种极限情况，反映了分子、分母的无穷小趋于零的“快慢”程度的不同．就上面的例子来说，在x→0的过程中，x2→0比2x→0“快得多”，3x→0比x2→0“慢得多”，3x→0与2x→0“快慢相仿”，而sinx→0与x→0“快慢一致”．58为了对无穷小趋于零的快慢有一个定性的描述，我们给出“无穷小的阶”的概念．59由定义可知，当x→0时，x2是比2x高阶的无穷小；3x是比x2低阶的无穷小，3x与2x是同阶无穷小，而sinx与x是等价无穷小．前面我们已经求出，当x→0时，60所以，当x→0时，有下列常用的等价无穷小．sinx~x，tanx~x，arcsinx~x，arctanx~x，对于等价无穷小，有下列性质．定理当x→x0时，α~α′，β~β′，且存在，则这个定理表明，求两个无穷小之比的极限时，分子、分母都可以用等价无穷小来代替，这样可以使计算简化，但当分子或分母是若干项无穷小的和或差时，则一般不能对其中某一项无穷小作等价代换．611.5函数的连续性62函数连续性的概念函数的增量设x0是一个定点，当自变量从初值x0变化到终值x时，我们称自变量终值与初值的差x－x0为自变量的增量（或自变量的改变量），记作Δx，即Δx＝x－x0，从而有x＝x0＋Δx，即x0＋Δx也表示自变量的终值．63设函数y＝f（x）在点x0

的某邻域内有定义，当自变量从x0

变化到x0

＋Δx时，即自变量x在x0

处有增量Δx时，函数y＝f（x）的值相应地从f（x0

）变到f（x0

＋Δx）也产生了一个改变量，我们把Δy＝f（x0

＋Δx）－f（x0

）称为函数y＝f（x）在点x0

处的增量．64函数在一点处的连续性在几何上，函数的增量表示当自变量从x0变化到x0＋Δx时，曲线上对应点的纵坐标的增量．65函数在点x0

处连续，在几何上表示为函数图像在x0

附近为一条连续不断的曲线．从上图可以看出，当自变量的增量Δx趋近于0时，函数的增量Δy也趋近于0．66由于x＝x0

＋Δx，因此Δx→0就是x→x0

；Δy→0就是f（x）→f（x0

）．由此，函数y＝f（x）在点x0

处连续的定义也可叙述如下．67函数在区间上的连续性如果函数f（x）在点x0

处有则称函数y＝f（x）在点x0

左连续（或右连续）．如果函数f（x）在开区间（a，b）内每一点处均连续，则称函数f（x）在开区间（a，b）内连续，区间（a，b）称为函数f（x）的连续区间．如果函数f（x）在开区间（a，b）内连续，且在左端点a处右连续，在右端点b处左连续，即则称函数f（x）在闭区间[a，b]上连续．在几何上，连续函数的图像是一条连续不间断的曲线．基本初等函数在其定义