2014-2015学年高中数学第二章推理与证明第4课时课时作业新人教A版选修2-2

PAGEPAGE4【优化方案】2014-2015学年高中数学第二章推理与证明（第4课时）课时作业新人教A版选修2-2[学业水平训练]1．用数学归纳法证明“2n＞n2＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取()A．2 B．3C．5 D．6解析：选C．当n取1、2、3、4时2n＞n2＋1不成立，当n＝5时，25＝32＞52＋1＝26，第一个能使2n＞n2＋1的n值为5，故选C．2．若k棱柱有f(k)个对角面，则k＋1棱柱的对角面的个数为()A．f(k)＋k－1 B．f(k)＋kC．f(k)＋k＋1 D．f(k)＋k－2解析：选A.由k棱柱到k＋1棱柱，底面对角线增加k－2＋1＝k－1条，∴增加了(k－1)个对角面．3．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步是()A．假设n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3时正确(k∈N*)B．假设n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1时正确(k∈N*)C．假设n＝k时正确，再推n＝k＋1时正确(k∈N*)D．假设n≤k(k≥1)时正确，再推n＝k＋2时正确(k∈N*)解析：选B.正奇数的第一个值为1，应假设n＝2k－1时正确，其后面的正奇数为2k＋1，应再推n＝2k＋1时正确．故选B.4．(2014·济南高二检测)用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝eq\f(n4＋n2,2)，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上()A．k2＋1B．(k＋1)2C．eq\f(k＋14＋k＋12,2)D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2解析：选D．当n＝k时，左端＝1＋2＋3＋…＋k2，当n＝k＋1时，左端＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，故当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，故选D．5．已知在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝eq\f(an,3an＋1)(n∈N*)，依次计算出a2，a3，a4后，归纳、猜想，得出an＝()A.eq\f(2,6n－5)(n∈N*) B.eq\f(2,6n－7)(n∈N*)C．6n－5(n∈N*) D．6n＋5(n∈N*)解析：选A.a1＝2，a2＝eq\f(2,7)，a3＝eq\f(2,13)，a4＝eq\f(2,19)，分母规律为等差数列，公差为6，则an＝eq\f(2,6n－5).6．用数学归纳法证明eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,n＋12)＞eq\f(1,2)－eq\f(1,n＋2)(n∈N*)，假设当n＝k时不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是________．答案：eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,k＋12)＋eq\f(1,k＋22)＞eq\f(1,2)－eq\f(1,k＋3)7．用数学归纳法证明1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n－1)＜n(n∈N*，且n＞1)，第二步证明从“k到k＋1”时，左端增加的项数是________．解析：当n＝k时左端为1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2k－1).当n＝k＋1时左端为1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2k－1)＋eq\f(1,2k)＋eq\f(1,2k＋1)＋…＋eq\f(1,2k＋1－1)，故增加的项数为2k项．答案：2k8．(2014·高考陕西卷)已知f(x)＝eq\f(x,1＋x)，x≥0，若f1(x)＝f(x)，fn＋1(x)＝f(fn(x))，n∈N＋，则f2014(x)的表达式为________．解析：观察分析、归纳推理．f1(x)＝eq\f(x,1＋x)，f2(x)＝eq\f(\f(x,1＋x),1＋\f(x,1＋x))＝eq\f(x,1＋2x)，f3(x)＝eq\f(\f(x,1＋2x),1＋\f(x,1＋2x))＝eq\f(x,1＋3x)，…，由数学归纳法得f2014(x)＝eq\f(x,1＋2014x).答案：f2014(x)＝eq\f(x,1＋2014x)9．用数学归纳法证明：eq\f(1,2×4)＋eq\f(1,4×6)＋eq\f(1,6×8)＋…＋eq\f(1,2n2n＋2)＝eq\f(n,4n＋1)(n∈N*)．证明：(1)当n＝1时，等式左边＝eq\f(1,2×1×2×1＋2)＝eq\f(1,8)，等式右边＝eq\f(1,4×1＋1)＝eq\f(1,8).等式左边＝等式右边，所以等式成立．(2)假设n＝k(k∈N*)时等式成立，即有eq\f(1,2×4)＋eq\f(1,4×6)＋eq\f(1,6×8)＋…＋eq\f(1,2k2k＋2)＝eq\f(k,4k＋1)，则当n＝k＋1时，eq\f(1,2×4)＋eq\f(1,4×6)＋eq\f(1,6×8)＋…＋eq\f(1,2k2k＋2)＋eq\f(1,2k＋1[2k＋1＋2])＝eq\f(k,4k＋1)＋eq\f(1,4k＋1k＋2)＝eq\f(kk＋2＋1,4k＋1k＋2)＝eq\f(k＋12,4k＋1k＋2)＝eq\f(k＋1,4k＋2)＝eq\f(k＋1,4k＋1＋1).所以当n＝k＋1时，等式也成立，由(1)，(2)可知，对于一切n∈N*，等式都成立．10．证明：凸n边形的对角线的条数为f(n)＝eq\f(1,2)n(n－3)(n≥4，n∈N*)．证明：(1)当n＝4时，四边形有两条对角线，f(4)＝eq\f(1,2)×4×(4－3)＝2，命题成立．(2)假设当n＝k(k≥4，k∈N*)时命题成立，即f(k)＝eq\f(1,2)k(k－3)，那么，当n＝k＋1时，增加一个顶点，凸多边形的对角线增加k－1条，则f(k＋1)＝eq\f(1,2)k(k－3)＋k－1＝eq\f(1,2)(k2－k－2)＝eq\f(1,2)(k＋1)(k－2)＝eq\f(1,2)(k＋1)[(k＋1)－3]，即当n＝k＋1时命题也成立．根据①②，可知命题对任意的n≥4，n∈N*都成立．[高考水平训练]1．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋eq\f(1,4)对一切n∈N*都成立，那么a，b的值为()A．a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(1,4) B．a＝b＝eq\f(1,4)C．a＝0，b＝eq\f(1,4) D．a＝eq\f(1,4)，b＝eq\f(1,2)解析：选A.法一：特值验证法，将各选项中a，b的值代入原式，令n＝1,2验证，易知选A.法二：∵1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋eq\f(1,4)对一切n∈N*都成立，∴当n＝1,2时有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝3a－b＋\f(1,4)，,1＋2×3＝322a－b＋\f(1,4)，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝3a－3b＋\f(1,4)，,7＝18a－9b＋\f(1,4)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,2)，,b＝\f(1,4).))2．用数学归纳法证明34n＋2＋52n＋1能被14整除的过程中，当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1应变形为________．解析：当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1＝81·34k＋2＋25·52k＋1＝25(34k＋2＋52k＋1)＋56·34k＋2.答案：25(34k＋2＋52k＋1)＋56·34k＋23．设数列{an}的前n项和为Sn，且对任意n∈N*，都有：(Sn－1)2＝anSn.(1)求S1，S2，S3.(2)猜想Sn的表达式并证明．解：(1)(Sn－1)2＝(Sn－Sn－1)Sn，所以Sn＝eq\f(1,2－Sn－1).又(S1－1)2＝Seq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2,1))，所以S1＝eq\f(1,2)，S2＝eq\f(2,3)，S3＝eq\f(3,4).(2)猜想Sn＝eq\f(n,n＋1).下面用数学归纳法证明：①当n＝1时，S1＝eq\f(1,2)，eq\f(n,n＋1)＝eq\f(1,2)，猜想正确；②假设当n＝k时，猜想正确，即Sk＝eq\f(k,k＋1).那么，当n＝k＋1时，由Sk＋1＝eq\f(1,2－Sk)＝eq\f(1,2－\f(k,k＋1))＝eq\f(k＋1,k＋1＋1)，猜想也成立，综上知，Sn＝eq\f(n,n＋1)对任意n∈N*均成立．4．证明不等式1＋eq\f(1,\r(2))＋eq\f(1,\r(3))＋…＋eq\f(1,\r(n))＜2eq\r(n)(n∈N*)．证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2.左边＜右边，不等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即1＋eq\f(1,\r(2))＋eq\f(1,\r(3))＋…＋eq\f(1,\r(k))＜2eq\r(k).则当n＝k＋1时，左边＝1＋eq\f(1,\r(2))＋eq\f(1