数据、模型与决策（原书第16版）课件 第8章、非线性最优化模型

AnIntroductiontoManagementScience,16e第八章、非线性最优化模型章节内容8-1 一个生产应用:对Par公司的再思考8-2 构建一个指数型基金8-3 马科维茨投资组合模型8-4 另一个混合问题8-5 预测一个新产品的使用

本章小结章节目标完成本章后，你将能够:LO8.1 对非线性最优化问题进行建模，并准确写出目标函数和约束条件LO8.2 利用ExcelSolver求解非线性最优化模型LO8.3 利用ExcelSolver中的设置来增加找到非线性最优化模型全局最优解的机会LO8.4 掌握非线性最优化模型中财务收益和风险的度量，如方差、半方差和风险价值

LO8.5 使用非线性最优化模型创建有效边界LO8.6 对非线性问题进行灵敏度分析介绍许多商业过程都以非线性方式运行。例如，债券的价格是利率的非线性函数，股票期权的价格是标的股票价格的非线性函数。生产的边际成本常常随着生产数量的增多而减少，产品的需求数量常常是价格的非线性函数。非线性最优化问题是指在目标函数或约束条件中至少有一项是非线性的最优化问题。我们考虑一个目标函数是决策变量的非线性函数的生产问题，以此来开始非线性应用的研究。8.2节建立了一个关于设计有价证券的投资组合来跟踪股票市场指数的非线性应用。8.3节引入了曾获得诺贝尔奖的马科维茨模型用于管理风险和收益间的权衡，并由此扩展对投资组合模型的处理。8.4节提供了在第4章中介绍的线性规划混合问题的一个非线性模型。8.5节介绍了一个成功用于新产品销售(引入)预测的非线性规划模型。8-1一个生产应用：对Par公司的再思考一个无约束问题

总利润

8-1对Par公司的再思考:一个有约束问题

8-1对Par公司的再思考:计算机的解决方案及解释目标函数的最优值是49920.55美元。变量部分显示最优解是生产459.7个标准球袋和308.2个高级球袋。第2～4行的非零值表明其他部门存在可用的松弛时间Par公司非线性模型的目标函数等高线是一簇椭圆。8-1局部和全局最优对于某可行解，若其邻域上所有点的目标函数值都不优于该可行解的目标函数值，则称该可行解为局部最优解。对于一个最大化问题，如果某点的邻域内所有的可行解都小于等于该点的目标函数值，则这个点就是局部最大值点。对于一个最小化问题，如果某点的邻域内所有的可行解都大于等于该点的目标函数值，则这个点就是局部最小值点。如果对于一个可行解，在可行域中找不到其他可行解能够比该可行解有更好的目标函数值，就称这个可行解是全局最优解。对于最大化问题，如果可行域内没有其他的点能有更大的目标函数值，则这个点就是全局最大值点。对于最小化问题，如果可行域内没有其他的点能有更小的目标函数值，则这个点就是全局最小值点。有多个局部最优解的非线性问题很难求解。但在许多非线性应用中，局部最优解也是全局最优解。对这类问题，我们只需要找到局部最优解。接下来，我们将展示这种非线性问题的一些更普遍的类型。8-1“局部和全局最优解的常见类型”

一个朝下碗形的函数被称作凹函数。这个特殊函数的最大值是0，点（0，0）给出最优值0。这种凹函数有一个唯一的局部最大值点，该点也是一个全局最大值点。这类非线性问题是相对容易最大化的。一个呈朝上碗形的函数被称作凸函数。这个特殊函数的最小值是0，点（0，0）可得出最小值0。这样的凸函数有唯一的局部最小值，相对容易最小化8-1“多个局部和全局最优解”

该函数共有两个局部最小值和三个局部最大值。局部最小值中有一个也是全局最小值，局部最大值中有一个也是全局最大值。8-1非线性优化的灵敏度分析非线性模型中的简约梯度类似于线性模型中的递减成本。简约梯度本质上是非负约束的对偶值，或者更笼统地说，它是决策变量上下限约束条件对应的对偶值。回想一下，对于线性模型，对偶价格是约束条件右侧每单位增量引起的最优值的变化。对于非线性模型，与对偶价格类似的是约束条件的拉格朗日乘数。拉格朗日乘数是目标函数相对于约束条件右侧的变化率。然而，对于非线性问题，允许的增量和减量基本上为零。因此，即使约束条件右侧很小的变化，也可能会引起拉格朗日乘数的变化。8-2构建指数型基金指数型基金指数型基金是共同基金行业中一个相当流行的投资手段。实际上，先锋500指数基金是美国一个最大的共同基金，2005年，其净资产超过700亿美元。指数型基金是被动资产管理的一个例子。指数型基金的核心思想是构建一个股票、共同基金或其他有价证券的投资组合，尽可能接近像标准普尔500这样的泛市场指数的绩效。指数基金流行的背后是因为金融领域的大量研究表明“你无法打败市场”。Hauck公司的金融服务让我们重新看一下第5章中Hauck公司的例子。假定Hauck公司有大量客户想要拥有共同基金投资组合，这些投资组合在整体绩效上能很接近于标准普尔500指数。为了使投资组合的整体绩效更接近于标准普尔500指数，投资组合中每个共同基金应被投资的比例是多少？8-2指数型基金：问题表达式决策变量

目标函数和约束条件

8-2指数型基金：完整的模型和解

8-3马科维茨投资组合模型

8-3马科维茨投资组合模型：完整的模型和解

8-3马科维茨投资组合模型：有效边界马科维茨投资组合模型为投资者提供了一个方便的方法来权衡风险和收益。在实践中，这个模型对不同收益值进行多次求解。右图表示随着要求的期望收益以1%的步长从8%增加到12%，对应每个收益的投资组合方差的最小值。在金融领域，这个图被称作有效边界。有效边界上的每个点是对每个给定收益的最小可能风险（由投资组合方差测量的）。通过查看有效边界的图形，投资者能得到他最满意的均方差平衡的投资方案。8-4石油公司的混合问题GrandStrand精炼厂为了最大化利润，想要精炼三种石油成分得到一般规格和特殊规格的汽油。成分1和成分2混合在一个单独的存储罐，成分3有自己的存储罐。在当前的生产计划期，三种成分可用的最大加仑数分别是5000、10000和10000。

成分1、2和3的成本分别是2.50美元、2.60美元和2.84美元。每加仑一般规格汽油的价格是2.90美元，每加仑特殊规格汽油的价格是3.00美元。最终，必须生产至少10000加仑一般规格汽油。一般规格和特殊规格汽油的产品规格如下：一般规格汽油最多30%成分1最少40%成分2最多20%成分3特殊规格汽油最少25%成分1最多40%成分2最少30%成分3GrandStrand必须做出两个决策：1.混合物中成分1和成分2的比例是多少？2.需要混合罐中多少成分1和成分2的混合物与成分3混合来生产一般规格和特殊规格汽油？8-4混合问题：决策变量

8-4混合问题：目标函数与约束条件

8-4混合问题：完整的模型与计算机求解

8-4混合问题：解决方案的解释

8-5预测一个新产品的使用在引入新产品后，预测该产品的使用是一个非常重要的营销问题。这一节介绍由FrankBass建立的一个预测模型—Bass预测模型，这个模型已被证明对预测创新和新技术在市场上的使用特别有效。非线性规划用于估计Bass预测模型的参数。这个模型有三个参数必须进行估计：m=最终使用新产品的估计总人数q=模仿系数，测量了潜在使用者受到已使用产品的人的影响时使用该产品的相对可能性p=创新系数，p测量了在假定没有受到他人已购买（使用）产品的影响时使用该产品的相对可能性注意，这两个参数p和q可正可负。如果参数为负值，则意味着随着时间推移消费者购买的可能性会降低。利用这些参数，我们可以建立预测模型。8-5FrankBass-Bass预测模型

8-5预测一个新产品的使用：问题表达式

8-5独立制片公司电影票房收入：预测模型

8-5独立制片公司电影票房收入：结果与解释对于独立电影，在第4周有最大收益，模仿参数q的值是0.49，这个值显著大于创新参数p=0.074。由于良好的口碑，这部电影经过一段时间后，票房开始快速增加。在第4周后，随着越来越多的潜在观影者已看过它，收益开始下降。将利用右表中的参数做出的预测值与观察值绘制在一张图上，我们得到了右图。从图中可以看出，Bass预测模型能很好地描述独立电影的收益。新产品引入使用Bass预测模型的一种方法是，假定新产品的购买模式与之前的某产品相似，且这种产品的p和q已计算出来，我们只需再主观估计出新产品的潜在市场规模m。本章小结在这章中我们介绍了非线性最优化模型。非线性最优化模型是在约束条件或目标函数中至少有一个非线性项的模型。因为在商业和自然界中很多过程都以非线性的方式表