2.3.1 直线的交点坐标 课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.3.1两条直线的交点坐标学习目标1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标(重点).2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系(重点)..3.掌握两点间距离公式并会应用(难点)．提示直线l1，l2的图象如图所示.点M既在直线l1上，也在直线l2上.满足直线l1的方程x＋y－5＝0，也满足直线l2的方程x－y－3＝0.问题1

已知两条直线l1：x＋y－5＝0，l2：x－y－3＝0，画出两条直线的图象，分析交点坐标M与直线l1，l2的方程有什么关系？解之得x=4,y=1,即交点M（4，1）。实例1：求下列两条直线的交点坐标，并画出图形：l1:3x＋4y─2＝0，l2:2x＋y＋2＝0.即直线l1,l2交点M（-2，2）实例2：求经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l的方程.即l1与l2的交点坐标为(－2,2).∵直线过坐标原点，故直线方程为y＝－x，即x＋y＝0.方法二∵l2不过原点，∴可设l的方程为3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0(λ∈R)，即(3＋2λ)x＋(4＋λ)y＋2λ－2＝0.将原点坐标(0,0)代入上式，得λ＝1，∴直线l的方程为5x＋5y＝0，即x＋y＝0.实例2：求经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l的方程.结论：过直线l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不同时为0)与l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不同时为0)交点的直线系方程：A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R,λ为参数且λ≠0)求与已知两直线的交点有关的问题，可有以下两种解法：(1)先求出两直线交点，将问题转化为过定点的直线，然后再利用其他条件求解.(2)运用过两直线交点的直线系方程：若两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0有交点，则过l1与l2交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ为待定常数，不包括直线l2)，设出方程后再利用其他条件求解.变式：求证:不论m为何实数,直线

(m－1)x＋(2m－1)y=m－5都恒过某一定点.两直线的交点坐标例.求证:不论m为何实数,直线

(m－1)x＋(2m－1)y=m－5都恒过某一定点.两直线的交点坐标含有参数的直线恒过定点问题的解法①直接法将已知的直线方程转化为点斜式、斜截式等形式的方程，进而得定点．②特殊值法取出直线系中的两条特殊直线，它们的交点就是所有直线都过的定点．③方程法将已知的直线方程整理成关于参数的方程，由于直线恒过定点，则关于参数的方程应有无穷多解，进而求出定点．方法总结实例3.判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点坐标.(1)l1:x－y=0，l2:3x＋3y－10＝0；(2)l1:

3x－y＋4＝0，l2:6x－2y－1＝0；(3)l1:

3x＋4y－5＝0，l2:6x＋8y－10＝0.故l1与l2无公共点，即l1//l2得此方程组无解。得此方程组有无穷多组解，故l1与l2重合。实例3.判断下列各对直线的位置关系，(如果不要求求交点坐标)(1)l1:x－y=0，l2:3x＋3y－10＝0；(2)l1:

3x－y＋4＝0，l2:6x－2y－1＝0；(3)l1:

3x＋4y－5＝0，l2:6x＋8y－10＝0.故l1与l2无公共点，即l1//l2解：（1）因为A1B2-A2B1=1×3-3×（-1）=6≠0，得l1,l2相交；故l1与l2重合。（2）因为A1B2-A2B1=3×（-2）-6×（-1）=0，且A1C2-A2C1=3×（-1）-6×4≠0（3）因为A1B2-A2B1=3×8-6×4=0，且A1C2-A2C1=3×（-10）-6×(-5)=0已知直线l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不同时为0)与l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不同时为0)一组无数组一个无数个零个相交重合平行用方程组解的个数判断其位置关系运算量较大，一般使用下列结论：变式练习：已知直线5x＋4y＝2a＋1与直线2x＋3y＝a的交点位于第四象限，则a的取值范围是__________.例2（2）

求经过两条直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线l的方程．题型二相交直线系的应用例2（2）

求经过两条直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线l的方程．注.过两直线的交点的直线求解题型二相交直线系的应用(1)求过两直线交点的直线方程的方法直线系法：先设直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0再结合条件利用待定系数法求出参数，最后确定直线方程．方法总结：(2)含有参数的直线恒过定点问题的解法①直接法：将直线方程化为点斜式、斜截式等形式的方程，进而得定点．②特殊值法：取出直线系中的两条特殊直线，求它们的交点．③方程法：将已知的直线方程整理成A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，解方程组求解．1.两条直线的交点坐标：一般地，将两条直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则直线l1

与

l2

相交，方程组的解就是交点的坐标.

直线l1:A1x+B1y+C1=0，l2:A2x+B2y+C2=0位置关系判定：

经过两直线l1:A1x+B1y+C1=0，l2:A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程是A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0，其中λ是参变量，它不表示直线l2.

(3)共点直线系方程：与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n=0(n是参变量).(2)垂直直线系方程：与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是Ax+By+m=0(m≠C),m是参变量.(1)平行直线系方程：2.直线系：具有某一共同属性的一类直线的集合.3.平面内两点P1(x1,y1),

P2(x2,y2)间的距离公式为：【当堂达标】CBB(0，1)2x＋y－4＝0题型一求相交直线的交点坐标例1直线l过原点，且经过另两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点，则直线l的方程为________．注意：求两相交直线的交点坐标，关键是解方程组，解二元一次方程组的常用方法有代入消元法和加减消元法.(1)若一条直线的方程是斜截式，常常应用代入消元法解方程组.(2)若直线的方程都是一般式，常常应用加减消元法解方程组.[跟踪训练]1（1）若两直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y