2020-2021学年湖南省长沙市雨花区中雅培粹学校八年级(上)第一次月考数学试卷-(解析版)

2020-2021学年湖南省长沙市雨花区中雅培粹学校八年级（上）第一次月考数学试卷（解析版）一、选择题1．（3分）如图是四个汽车标志的图案，其中不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）在下列各数3π，，0.0102，，0.515115111511115…（相邻两个5之间的1的个数依次增加1），，1.414中，无理数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（3分）下列不等式变形正确的是（）A．若a+c＜b+c，则a＞b B．若a＞b，则ac2＞bc2 C．若a＞b，c＜0则ac＜bc D．若＞，则a＞b4．（3分）下列运算中，正确的是（）A．a2+a2＝a4 B．a5﹣a3＝a2 C．a2•a2＝2a2 D．（a2）3＝a65．（3分）已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为（）A．13 B．17 C．13或17 D．13或106．（3分）在平面直角坐标系坐标中，第四象限内的点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，则P点坐标为（）A．（2，﹣3） B．（3，﹣2） C．（﹣2，3） D．（﹣3，2）7．（3分）已知方程组，则3x+9y的值为（）A．﹣2 B．2 C．﹣6 D．68．（3分）下列说法中正确的是（）A．若OA＝OB，则O是AB中点 B．连接两点间的线段，叫做这两点的距离 C．汽车的雨刷在挡风玻璃上画出一个扇面，这可以说线动成面 D．从初一1200名学生中，抽取200名进行视力测试，样本容量是200名9．（3分）已知2x﹣3y＝6，则7﹣6x+9y的值为（）A．25 B．﹣25 C．11 D．﹣1110．（3分）若不等式组无解，则m的取值范围为（）A．m≤3 B．m＜3 C．m≥1 D．m＞111．（3分）如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F，交边BC于点E，连接DE．若∠ABC＝40°，∠C＝50°，则∠CDE的度数为（）A．35° B．40° C．45° D．50°12．（3分）如图，在等边△ABC中，AD⊥BC于D，延长BC到E，使CE＝BC，F是AC的中点，连接EF并延长EF交AB于G，BG的垂直平分线分别交BG、AD于点M、点N，连接GN，CN，下列结论：①EG⊥AB；②GF＝EF；③∠GNC＝120°；④GN＝GF．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）13．（3分）点M（﹣1，2）关于x轴对称点的坐标为．14．（3分）如图在△ABC中MP，NQ分别垂直平分AB、AC，若BC的长度为9，则△APQ的周长是．15．（3分）如图，△ABC的三个顶点分别位于x轴、y轴上，且A（﹣3，0），B（3，0），过点A作AD⊥BC于D，若∠ACB＝42°，则∠DAB的度数为．16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝6，BD是△ABC的角平分线，点P，点N分别是BD，AC边上的动点，点M在BC上，且BM＝1，则PM+PN的最小值为．三、解答题（本大题共9个小题，其中17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24题、25题每题10分，共72分）17．（6分）（1）计算：﹣（﹣1）2020++|1﹣|；（2）解不等式．18．（6分）有理数x，y满足条件|x﹣|+＝0，求（﹣2x2y）3+8（x2）2•（﹣x）2•（﹣y）3的值．19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，A（1，0），B（3，3），C（5，1）．（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△AB1C1；（2）△ABC的面积为；（3）在x轴上求一点P，使得△APB的面积等于△ABC的面积．20．（8分）某学校在暑假期间开展“心怀感恩，孝敬父母”的实践活动，倡导学生在假期中帮助父母干家务．开学以后，校学生会随机抽取了部分学生，就暑假“平均每天帮助父母干家务所用时长”进行了调査，以下是根据相关数据绘制的统计图的一部分：根据上述信息，回答下列问题：（1）在本次随机抽取的样本中，调查的学生人数是人；（2）m＝，n＝；（3）补全频数分布直方图；（4）如果该校共有学生1000人，请你估计“平均每天帮助父母干家务的时长不少于30分钟”的学生大约有多少人？21．（8分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是AD上一点，EB⊥AB，且EA＝EC．（1）若∠BAC＝50°，求∠AEC的度数；（2）求证：AC＝2AB．22．（9分）如图，D，E分别是AB，AC中点，CD⊥AB，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，CD与BE交于点F．（1）求证：AC＝AB；（2）猜想CF与DF的数量关系，并证明．23．（9分）国家发改委、工业和信息化部、财政部公布了“节能产品惠民工程”，公交公司积极响应将旧车换成节能环保公交车，计划购买A型和B型两种环保型公交车10辆，其中每台的价格、年载客量如表：A型B型价格（万元/台）xy年载客量/万人次60100若购买A型环保公交车1辆，B型环保公交车2辆，共需400万元；若购买A型环保公交车2辆，B型环保公交车1辆，共需350万元．（1）求x、y的值；（2）如果该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保10辆公交车在该线路的年载客量总和不少于680万人次，问有哪几种购买方案？（3）在（2）的条件下，哪种方案使得购车总费用最少？最少费用是多少万元？24．（10分）对正整数x，y，我们定义了一种新运算：T（x，y）＝．（其中a，b为非零常数），例如：T（3，5）＝，已知T（1，2）＝3，T（4，2）＝．（1）求a，b的值；（2）若T（m，9﹣m）＝9，求出m的值；（3）若1≤T（﹣2n，2n+3）≤81，求符合条件的n的值．25．（10分）已知△ABC为等边三角形，取△ABC的边AB，BC中点D，E，连接DE，如图1，易证△DBE为等边三角形，将△DBE绕点B顺时针旋转，设旋转的角度∠ABD＝α，其中0＜α＜180°．（1）如图2，当α＝30°，连接AD，CE，求证：AD＝CE；（2）在△DBE旋转过程中，当α超过一定角度时，如图3，连接AD，CE会交于一点，记交点为点F，AD交BC于点P，CE交BD于点Q，连接BF，请问BF是否会平分∠CBD？如果是，求出α，如果不是，请说明理由；（3）在第（2）问的条件下，试猜想线段AF，BF和CF之间的数量关系，并说明理由．

参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）1．（3分）如图是四个汽车标志的图案，其中不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．解：A、是轴对称图形；B、是轴对称图形；C、是轴对称图形；D、不是轴对称图形；故选：D．2．（3分）在下列各数3π，，0.0102，，0.515115111511115…（相邻两个5之间的1的个数依次增加1），，1.414中，无理数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解：＝2，无理数有：0.515115111511115…（相邻两个5之间的1的个数依次增加1），3π，，共有3个．故选：C．3．（3分）下列不等式变形正确的是（）A．若a+c＜b+c，则a＞b B．若a＞b，则ac2＞bc2 C．若a＞b，c＜0则ac＜bc D．若＞，则a＞b解：A、∵a+c＜b+c，∴两边减去c得：a＜b，故本选项不符合题意；B、∵a＞b，∴ac2≥bc2（当c＝0时，ac2＝bc2），故本选项不符合题意；C、∵a＞b，c＜0，∴ac＜bc，故本选项符合题意；D、＞，当c＞0时，a＞b；当c＜0时，a＜b；故本选项不符合题意；故选：C．4．（3分）下列运算中，正确的是（）A．a2+a2＝a4 B．a5﹣a3＝a2 C．a2•a2＝2a2 D．（a2）3＝a6解：A、a2+a2＝2a2，故原题计算错误；B、a5和a3不是同类项不能合并，故原题计算错误；C、a2•a2＝a4，故原题计算错误；D、（a2）3＝a6，故原题计算正确；故选：D．5．（3分）已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为（）A．13 B．17 C．13或17 D．13或10解：①当腰是3，底边是7时，不满足三角形的三边关系，因此舍去．②当底边是3，腰长是7时，能构成三角形，则其周长＝3+7+7＝17．故选：B．6．（3分）在平面直角坐标系坐标中，第四象限内的点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，则P点坐标为（）A．（2，﹣3） B．（3，﹣2） C．（﹣2，3） D．（﹣3，2）解：∵点P在第四象限，且点P到x轴的距离是2，∴点P的纵坐标为﹣2，∵点P到y轴的距离是3，∴点P的横坐标为3，所以，点P的坐标为（3，﹣2）．故选：B．7．（3分）已知方程组，则3x+9y的值为（）A．﹣2 B．2 C．﹣6 D．6解：，①﹣②得：x+3y＝﹣2，3x+9y＝3（x+3y）＝﹣6，故选：C．8．（3分）下列说法中正确的是（）A．若OA＝OB，则O是AB中点 B．连接两点间的线段，叫做这两点的距离 C．汽车的雨刷在挡风玻璃上画出一个扇面，这可以说线动成面 D．从初一1200名学生中，抽取200名进行视力测试，样本容量是200名解：A．若OA＝OB，则O不一定是AB中点，当A、O、B不在同一直线上是，O不是AB中点，故本选项不合题意；B．连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离，故本选项不合题意；C．汽车的雨刷在挡风玻璃上画出一个扇面，这可以说线动成面，说法正确，故本选项符合题意；D．从初一1200名学生中，抽取200名进行视力测试，样本容量是200，故本选项不合题意．故选：C．9．（3分）已知2x﹣3y＝6，则7﹣6x+9y的值为（）A．25 B．﹣25 C．11 D．﹣11解：∵2x﹣3y＝6，∴原式＝7﹣3（2x﹣3y）＝7﹣3×6＝﹣11，故选：D．10．（3分）若不等式组无解，则m的取值范围为（）A．m≤3 B．m＜3 C．m≥1 D．m＞1解：解不等式＜+1，得：x＜3，∵x＞3m且不等式组无解，∴3m≥3，解得m≥1，故选：C．11．（3分）如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F，交边BC于点E，连接DE．若∠ABC＝40°，∠C＝50°，则∠CDE的度数为（）A．35° B．40° C．45° D．50°解：∵∠B＝40°，∠C＝50°，∴∠BAC＝90°，∵∠ABF＝∠EBF，BF＝BF，∠BFA＝∠BFE＝90°，∴△BFA≌△BFE（ASA），∴BA＝BE，∵BD＝BD，∴△BDA≌△BDE（SAS），∴∠BED＝∠BAD＝90°，∴∠CED＝90°，∴∠CDE＝90°﹣50°＝40°，故选：B．12．（3分）如图，在等边△ABC中，AD⊥BC于D，延长BC到E，使CE＝BC，F是AC的中点，连接EF并延长EF交AB于G，BG的垂直平分线分别交BG、AD于点M、点N，连接GN，CN，下列结论：①EG⊥AB；②GF＝EF；③∠GNC＝120°；④GN＝GF．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4解：①∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝∠B＝60°，AC＝BC，∵CE＝BC，F是AC的中点，∴CF＝CE，∴∠E＝∠CFE，∵∠ACB＝∠E+∠CFE＝60°，∴∠E＝30°，∴∠BGE＝90°，∴EG⊥AB，故①正确；②设AG＝x，则AF＝FC＝CE＝2x，∴FG＝x，BE＝6x，Rt△BGE中，BG＝3x，EG＝3x，∴EF＝EG﹣FG﹣3x﹣x＝2x，∴GF＝EF，故②正确；③如图，过N作NH⊥AC于H，连接BN，在等边三角形ABC中，∵AD⊥BC，∴AD平分∠BAC，BN＝CN，∵MN⊥AB，∴NH＝NM，∵MN是BG的垂直平分线，∴BN＝NG，∴BN＝CN＝NG，在Rt△NGM和Rt△NCH中，，∴Rt△NGM≌Rt△NCH（HL），∴∠GNM＝∠CNH，∴∠MNH＝∠CNG，∵∠ANM＝∠ANH＝60°，∴∠CNG＝120°，故③正确；④∵MN是BG的垂直平分线，∴BM＝MG＝x，∴AM＝x+x＝x，在等边△ABC中，AD⊥BC，∴∠BAD＝30°，∴MN＝，∴GN＝＝＝≠FG，故④不正确；其中正确的有：①②③，一共3个，故选：C．二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）13．（3分）点M（﹣1，2）关于x轴对称点的坐标为（﹣1，﹣2）．解：∵2的相反数是﹣2，∴点M（﹣1，2）关于x轴对称点的坐标为（﹣1，﹣2），故答案为：（﹣1，﹣2）．14．（3分）如图在△ABC中MP，NQ分别垂直平分AB、AC，若BC的长度为9，则△APQ的周长是9．解：∵在△ABC中，MP，NO分别垂直平分AB、AC，∴AP＝BP，AQ＝CQ，∵BC＝9，∴△APQ的周长是AP+PQ+AQ＝BP+PQ+CQ＝BC＝9，故答案为：9．15．（3分）如图，△ABC的三个顶点分别位于x轴、y轴上，且A（﹣3，0），B（3，0），过点A作AD⊥BC于D，若∠ACB＝42°，则∠DAB的度数为21°．解：∵A（﹣3，0），B（3，0），C点位于y轴上，∴OA＝OB，∵AC2＝AO2+OC2，AC2＝BO2+OC2，∴AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA，∵∠ACB+∠CAB+∠CBA＝180°，∠ACB＝42°，∴∠CAB＝∠CBA＝69°，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∵∠ADB+∠DAB+∠CBA＝180°，∴∠DAB＝21°．故答案为21°．16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝6，BD是△ABC的角平分线，点P，点N分别是BD，AC边上的动点，点M在BC上，且BM＝1，则PM+PN的最小值为．解：如图所示，作点M关于BD的对称点M'，连接PM'，则PM'＝PM，BM＝BM'＝1，∴PN+PM＝PN+PM'，当N，P，M'在同一直线上，且M'N⊥AC时，PN+PM'的最小值等于垂线段M'N的长，此时，∵Rt△AM'N中，∠A＝30°，∴M'N＝AM'＝（6﹣1）＝，∴PM+PN的最小值为，故答案为：．三、解答题（本大题共9个小题，其中17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24题、25题每题10分，共72分）17．（6分）（1）计算：﹣（﹣1）2020++|1﹣|；（2）解不等式．解：（1）原式＝﹣1+2+﹣1＝；（2）解不等式5x+4＞3（x+1），得：x＞﹣，解不等式≤，得：x≥﹣7，则不等式组的解集为x＞﹣．18．（6分）有理数x，y满足条件|x﹣|+＝0，求（﹣2x2y）3+8（x2）2•（﹣x）2•（﹣y）3的值．解：∵|x﹣|+＝0，∴x﹣＝0，y﹣2＝0，∴x＝，y＝2，∴（﹣2x2y）3+8（x2）2•（﹣x）2•（﹣y）3＝﹣8x6y3﹣8x4•x2•y3＝﹣8x6y3﹣8x6y3＝﹣16x6y3，把x＝，y＝2代入上式得：原式＝﹣16×（）6×23＝﹣2．即（﹣2x2y）3+8（x2）2•（﹣x）2•（﹣y）3的值是﹣2．19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，A（1，0），B（3，3），C（5，1）．（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△AB1C1；（2）△ABC的面积为5；（3）在x轴上求一点P，使得△APB的面积等于△ABC的面积．解：（1）如图所示，△AB1C1即为所求．（2）△ABC的面积为4×3﹣×2×3﹣×1×4﹣×2×2＝5，故答案为：5；（3）设点P坐标为（m，0），根据题意，得：×|m﹣1|×3＝5，解得m＝或m＝﹣，∴点P的坐标为（，0）或（﹣，0）．20．（8分）某学校在暑假期间开展“心怀感恩，孝敬父母”的实践活动，倡导学生在假期中帮助父母干家务．开学以后，校学生会随机抽取了部分学生，就暑假“平均每天帮助父母干家务所用时长”进行了调査，以下是根据相关数据绘制的统计图的一部分：根据上述信息，回答下列问题：（1）在本次随机抽取的样本中，调查的学生人数是200人；（2）m＝20，n＝25；（3）补全频数分布直方图；（4）如果该校共有学生1000人，请你估计“平均每天帮助父母干家务的时长不少于30分钟”的学生大约有多少人？解：（1）在本次随机抽取的样本中，调查的学生人数是：60÷30%＝200，故答案为：200；（2）m%＝（200﹣60﹣40﹣50﹣10）÷200×100%＝20%，n%＝50÷200×100%＝25%，即m＝20，n＝25，故答案为：20，25；（3）20～30分钟的频数为：200﹣60﹣40﹣50﹣10＝40，补全的频数分布直方图如右图所示；（4）1000×＝300（人），即“平均每天帮助父母干家务的时长不少于30分钟”的学生大约有300人．21．（8分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是AD上一点，EB⊥AB，且EA＝EC．（1）若∠BAC＝50°，求∠AEC的度数；（2）求证：AC＝2AB．【解答】（1）解：∵AD平分∠BAC，∠BAC＝50°，∴∠EAC＝∠BAC＝25°，∵EA＝EC，∴∠ECA＝∠EAC＝25°，∴∠AEC＝180°﹣25°﹣25°＝130°；（2）证明：作EF⊥AC于F，∵EA＝EC，EF⊥AC，∴AC＝2AF，在△ABE和△AFE中，，∴△ABE≌△AFE（AAS），∴AB＝AF，∴AC＝2AB．22．（9分）如图，D，E分别是AB，AC中点，CD⊥AB，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，CD与BE交于点F．（1）求证：AC＝AB；（2）猜想CF与DF的数量关系，并证明．【解答】（1）证明：连接BC．∵点D是AB中点且CD⊥AB于点D，∴CD是线段AB的垂直平分线，∴CA＝CB，同理BA＝BC，∴AC＝AB．（2）猜想：CF＝2DF．证明：由（1）得AC＝AB＝BC，∴△ABC是等边三角形，∴∠A＝60°在Rt△ABE中，∠ABE＝90°﹣∠A＝30°，在Rt△BFD中，BF＝2DF，∵在Rt△ADC中，∠ACD＝90°﹣∠A＝30°，又∵∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠FBC＝∠FCB，∴CF＝BF，∴CF＝2DF．23．（9分）国家发改委、工业和信息化部、财政部公布了“节能产品惠民工程”，公交公司积极响应将旧车换成节能环保公交车，计划购买A型和B型两种环保型公交车10辆，其中每台的价格、年载客量如表：A型B型价格（万元/台）xy年载客量/万人次60100若购买A型环保公交车1辆，B型环保公交车2辆，共需400万元；若购买A型环保公交车2辆，B型环保公交车1辆，共需350万元．（1）求x、y的值；（2）如果该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保10辆公交车在该线路的年载客量总和不少于680万人次，问有哪几种购买方案？（3）在（2）的条件下，哪种方案使得购车总费用最少？最少费用是多少万元？解：（1）由题意，得，解得；（2）设购买A型环保公交车m辆，则购买B型环保公交车（10﹣m）辆，由题意，得，解得6≤m≤8，∵m为整数，∴有三种购车方案方案一：购买A型公交车6辆，购买B型公交车4辆；方案二：购买A型公交车7辆，购买B型公交车3辆；方案三：购买A型公交车8辆，购买B型公交车2辆．（3）设购车总费用为w万元则w＝100m+150（10﹣m）＝﹣50m+1500，∵﹣50＜0，6≤m≤8且m为整数，∴m＝8时，w最小＝1100，∴购车总费用最少的方案是购买A型公交车8辆，购买B型公交车2辆，购车总费用为1100万元．24．（10分）对正整数x，y，我们定义了一种新运算：T（x，y）＝．（其中a，b为非零常数），例如：T（3，5）＝，已知T（1，2）＝3，T（4，2）＝．（1）求a，b的值；（2）若T（m，9﹣m）＝9，求出m的值；（3）若1≤T（﹣2n，2n+3）≤81，求符合条件的n的值．解：（1）根据题意得：T（1，2）＝＝3，T＝（4，2）＝＝，∴，化简得，，∴a4b2＝ab2，即ab2（a3﹣1）＝0，∴a3＝1，∴a＝1，由b2＝9，得b＝±3；（2）∵T（m，9﹣m）＝9，∴，∴amb9﹣m＝81，∵a＝1，b＝±3，∴b9﹣m＝81，当b＝3时，39﹣m＝34，解得，m＝5，当b＝﹣3时，（﹣3）9﹣m＝34，解得，m＝5，综上，m的值为5；（3）∵1≤T（﹣2n，2n+3）≤81，∴1≤≤81，又∵a＝1，b＝±3，∴3≤b2n+3≤35，当b＝3时，3≤32n+3≤35，又∵2n+3为整数，∴2n+3＝1或2n+3＝2或2n+3＝3或2n+3＝4或2n+3＝5，解得，n＝﹣1或n＝﹣或n＝0或n＝或n＝1，又∵﹣2n为正整数，∴n＝﹣1或n＝﹣，当b＝﹣3时，3≤（﹣3）2n+3≤35，又∵2n+3为整数，∴2n+3＝2或2n+3＝4，解得，n＝﹣或n＝，