《第一章 立体几何初步》试卷及答案-高中数学必修2-人教B版-2024-2025学年

《第一章立体几何初步》试卷(答案在后面)一、单选题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）1、已知空间中一点P到平面α的距离为3，点P到平面β的距离为4，若平面α和平面β的距离为5，则点P到平面β的距离可能是：A.9B.10C.11D.122、在三棱锥P−ABC中，底面△ABC是直角三角形，且AB为直角边，AB=3A、3B、4C、5D、63、在直线l上有一点P，经过P任取一点Q，使得PQ中点为O。若将PQ延长至点R，使得QR=4PQ，那么点R关于直线l的对称点记为S，则OS与PR的长度比是：A.1：3B.1：4C.1：2D.2：34、在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若AB=4cm，BC=3cm，AA1=5cm，则长方体对角线AC1的长度为（）A、7cmB、9cmC、10cmD、12cm5、正方体的内切球的半径与正方体的棱长的比是（）A、1:2B、1:√2C、1:√3D、1:36、在正方体中，一个顶点到它与相邻三个面的交线的距离之和是（）A、正方体棱长的一半B、正方体棱长C、正方体棱长的√2/2倍D、正方体棱长的√3/2倍7、已知长方体的长、宽、高分别为a、b、c，且a=b=c，则该长方体的对角线长度为：A.2B.3C.2D.38、在正方体ABCD−A1B1C1D1中，设其棱长为A、30B、45C、60D、90二、多选题（本大题有3小题，每小题6分，共18分）1、在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点G、点H分别是BB1、DD1的中点，过点G斜切截面EFGH为长方形，且△EDG∽△B1HF，已知AB=8cm，AA1=6cm，则此截面面积的可能值为：A、72cm²B、48cm²C、96cm²D、120cm²2、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为棱A1B1的中点，点F为棱A1D1的中点。（1）若点P为棱AB上的动点，则直线PF与平面ABCD所成的角的最大值为（）A.45°B.30°C.60°D.90°3、下列关于空间几何体的说法中，正确的是（）。A、圆锥的底面直径是3，高是4，则它的体积是4π。B、球的表面积与其半径的平方成正比。C、一个长方体的长是3，宽是4，高是5，则它的对角线长度是50。D、正四面体的体积与其棱长的立方成正比。三、填空题（本大题有3小题，每小题5分，共15分）1、已知平面ABC和平面A’BC’相交于直线l，若∠BAC=30°，∠BAC’=45°，则直线l与平面ABC所成的角为____°。2、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为a，那么对角线A1D的长度为______。3、一个正方体的棱长为2，则它的体对角线的长度为_________________。四、解答题（第1题13分，第2、3题15，第4、5题17分，总分：77）第一题题目：在正四面体ABCD中，E是CD的中点，F是AD的中点，G是CF的中点。求证：BE与AG互相垂直。第二题已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点E是棱BB1的中点，点F是棱DD1的中点。（1）求证：EF平行于平面AC1D1；（2）求三棱锥A-BC1D1的体积。第三题已知直三棱柱ABC−A1B1C1解答：（1）首先，明确△ABC是一个等边三角形，边长为4（2）另外给出的条件是侧棱AA1=BB1=（3）要证明A1B∥证明过程：选取AC中点D，连接AD、C1D、BD，我们知道三角形ABD在正三棱柱中是一个直角三角形，且A-A1B∥A1由此可知，A1B∥面ACC1A1。因为A1第四题已知长方体的长、宽、高分别为a、b、c，且a=2,b=3,AB=AC=BC=5。求长方体的体积V。第五题已知长方体的三个相邻面的面积分别为8cm²、12cm²和16cm²，求长方体的体积。《第一章立体几何初步》试卷及答案一、单选题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）1、已知空间中一点P到平面α的距离为3，点P到平面β的距离为4，若平面α和平面β的距离为5，则点P到平面β的距离可能是：A.9B.10C.11D.12答案：B解析：由于点P到平面α和平面β的距离分别为3和4，根据几何知识，点P到平面β的距离一定大于等于4，小于等于3+5=8。因此，选项B（10）是唯一符合条件的答案。2、在三棱锥P−ABC中，底面△ABC是直角三角形，且AB为直角边，AB=3A、3B、4C、5D、6答案：C解析：由题意知，底面△ABC是直角三角形，且AB=侧面PAB和侧面PBC都是等腰三角形，不妨设P到底面ABC的垂足为由于AB是直角边，设点P到AB的垂足为E，则PE垂直于A由于PAB和PBC都是等腰三角形，我们要找PA的长度。由于AC3、在直线l上有一点P，经过P任取一点Q，使得PQ中点为O。若将PQ延长至点R，使得QR=4PQ，那么点R关于直线l的对称点记为S，则OS与PR的长度比是：A.1：3B.1：4C.1：2D.2：3答案：A解析：由题意知，点P是点Q的中点，所以PQ=2PO；又因为QR=4PQ，所以QR=8PO。由于点R关于直线l的对称点S将PR平分，因此PR=PS。因为S是R关于直线l的对称点，所以OS垂直于PR，构成直角三角形POO’。在直角三角形POO’中，通过相似三角形的性质，可以得到OS/PR=OO’/PO。由于RQ=QR+QR=8PO，所以OO’=8PO，因此OS/PR=8PO/PR。因为PR=PS，而PS=1/3PQ=1/3QR=1/3*8PO=8/3PO。所以OS/PR=8/3PO/(8/3PO)=1/3。即OS与PR的长度比是1：3，选项A正确。4、在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若AB=4cm，BC=3cm，AA1=5cm，则长方体对角线AC1的长度为（）A、7cmB、9cmC、10cmD、12cm答案：C解析：在长方体中，对角线AC1可以通过直角三角形ABC和直角三角形AA1C1来求解。首先，在直角三角形ABC中，根据勾股定理，可得AC的长度为：AC=√(AB^2+BC^2)=√(4^2+3^2)=√(16+9)=√25=5cm接着，在直角三角形AA1C1中，同样应用勾股定理，可得AC1的长度为：AC1=√(AA1^2+AC^2)=√(5^2+5^2)=√(25+25)=√50=5√2cm因此，长方体对角线AC1的长度为5√2cm，对应选项C。5、正方体的内切球的半径与正方体的棱长的比是（）A、1:2B、1:√2C、1:√3D、1:3答案：C解析：设正方体棱长为a，内切球的直径等于正方体的棱长a，因此内切球的半径为a/2。所以，正方体的内切球的半径与正方体的棱长的比是1:2，但考虑到半径是直径的一半，实际比例应为1:√3，因此正确答案为C。6、在正方体中，一个顶点到它与相邻三个面的交线的距离之和是（）A、正方体棱长的一半B、正方体棱长C、正方体棱长的√2/2倍D、正方体棱长的√3/2倍答案：D解析：在正方体中，一个顶点分别相邻于三个面，设正方体的棱长为a。那么，该顶点到与之相邻的三个面的交线的距离分别为：a/2,a/2,a/√2。则顶点到三个面的交线的距离之和为：a/2+a/2+a/√2=√2a/2+√2a/2=√2a。因为a/2=a√2/2，所以这个距离之和相当于正方体棱长的√2/2倍。综上所述，选项D正确。7、已知长方体的长、宽、高分别为a、b、c，且a=b=c，则该长方体的对角线长度为：A.2B.3C.2D.3答案：B解析：在长方体中，对角线长度可以通过勾股定理计算得出。由于长方体的长、宽、高相等，设对角线长度为d，则有：d所以，对角线长度d为：d因此，正确答案为B。8、在正方体ABCD−A1B1C1D1中，设其棱长为A、30B、45C、60D、90答案：C解析：正方体ABCD−A1B1C1D1中，设其棱长为a，则A1到B1的距离也是a，点M为BC中点，所以BM=显然A1因此，cosθ为了简单直接地找到答案，我们注意到A1M与AC在该问题情境下的几何关系使我们能够通过观察直接得出两者形成的角为60二、多选题（本大题有3小题，每小题6分，共18分）1、在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点G、点H分别是BB1、DD1的中点，过点G斜切截面EFGH为长方形，且△EDG∽△B1HF，已知AB=8cm，AA1=6cm，则此截面面积的可能值为：A、72cm²B、48cm²C、96cm²D、120cm²【答案】A、C【解析】本题求解截面长方形的面积，首先，由于△EDG∽△B1HF，可以得到两组对应边的比例相等，即：ED/EE1=HF/B1F由于G、H为中点，所以EE1=BB1，HF=FF1，因此有：ED/BB1=FF1/B1F根据相似三角形的性质，知道对应三角形的面积比等于对应边的平方比，因此：(S△EDG)/(S△B1HF)=(ED/BB1)^2又因为S△EDG=1/2*ED*HH1*sin∠EDH，其中HH1=3cm，ED=AB=8cm，所以：HH1/BB1=sin∠EDH因此有：sin∠EDH=3/4这意味着sin∠EDH的值在两个锐角之间，那么截面长方形的面积S可以通过以下步骤计算得出：S=｜HH1B1F｜=｜3cmBB1｜但是需要确定BB1的取值范围，由于sin∠EDH最大为1，此时HH1=FF1)，所以：3/4≤HH1/BB1≤13/4≤3cm/BB1≤19cmBB1≥12cmBB1≥4cm由于BB1是长方体的两条对角线之一，它的最小值是边长的2倍，即：BB1≥AB√2=8cm1.414=11.316cm结合以上两个结果，可以得出BB1的取值范围为：11.316cm≤BB1≤18cm截面长方形的面积S可以通过以下方程计算得出：S=｜HH1B1F｜=｜3cm(8cm*√2-4cm)｜S=｜3cm(8cm1.414-4cm)｜S=｜3cm*(11.316cm-4cm)｜S=｜3cm*(7.316cm)｜S=21.948cm²然后通过近似可以看出，S的值应该是接近于18cm²的选项，但由于题目中给出的是整数选项，那么可以确定正确答案为A（72cm²）和C（96cm²）。2、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为棱A1B1的中点，点F为棱A1D1的中点。（1）若点P为棱AB上的动点，则直线PF与平面ABCD所成的角的最大值为（）A.45°B.30°C.60°D.90°答案：A解析：由于点P在棱AB上，所以当P与B重合时，直线PF与平面ABCD所成的角达到最大。此时，PF为正方体的体对角线，且PF垂直于平面ABCD。因此，直线PF与平面ABCD所成的角为45°。所以答案为A。3、下列关于空间几何体的说法中，正确的是（）。A、圆锥的底面直径是3，高是4，则它的体积是4π。B、球的表面积与其半径的平方成正比。C、一个长方体的长是3，宽是4，高是5，则它的对角线长度是50。D、正四面体的体积与其棱长的立方成正比。【答案】B、C【解析】A选项，圆锥的体积公式是V=13πr2h，其中r是底面半径，h是高。所以当底面直径是3，即rB选项，球的表面积公式为S=C选项，一个长方体的对角线长度可以使用空间直角坐标系中的距离公式计算，设长方体的长、宽、高分别为a=3，b=4，D选项，正四面体的体积需要根据边长计算，不是简单地与边长的立方成正比，因为边长不同的正四面体即使长度扩大也可能导致体积不同的结果。计算正四面体的体积还需用到特定的体积公式，说明没有必要直接断言其立方关系，因此D选项不完全正确。根据题目的简答要求，仅列出B和C选项。因此，正确答案是B、C。三、填空题（本大题有3小题，每小题5分，共15分）1、已知平面ABC和平面A’BC’相交于直线l，若∠BAC=30°，∠BAC’=45°，则直线l与平面ABC所成的角为____°。答案：75°解析：由题意知，平面ABC和平面A’BC’相交于直线l，因此直线l为两平面的交线。由于∠BAC是平面ABC的内角，∠BAC’是平面A’BC’的内角，它们共同的顶点是点B。因为∠BAC=30°，∠BAC’=45°，我们可以通过计算这两个角的和来确定直线l与平面ABC所成的角。直线l与平面ABC所成的角等于直线BC与平面ABC所成的角。所以，直线l与平面ABC所成的角=arctan(tan(∠BAC)*tan(∠BAC’))=arctan(tan(30°)*tan(45°))=arctan(sqrt(3)/3)。使用计算器计算arctan(sqrt(3)/3)，得到大约75°。因此，直线l与平面ABC所成的角为75°。2、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为a，那么对角线A1D的长度为______。答案：3解析：在正方体中，对角线A1D连接的是两个不在同一平面上的顶点，因此它构成一个空间中的直角三角形。在这个直角三角形中，A1D是斜边，它由两个垂直的棱组成，即AA1和AD。由于AA1和AD都是正方体的棱，它们的长度都是a。根据勾股定理，斜边A1D的长度是A。但是题目中给出的是正方体，而不是长方体，所以对角线A1D实际上是由三个边长为a的直角三角形构成的斜边，因此长度应该是3。3、一个正方体的棱长为2，则它的体对角线的长度为_________________。答案：12或2解析：正方体的体对角线可以通过勾股定理在三维空间中计算。设正方体的棱长为a，则体对角线的长度d满足d2=a2+a2填空题部分到此结束。四、解答题（第1题13分，第2、3题15，第4、5题17分，总分：77）第一题题目：在正四面体ABCD中，E是CD的中点，F是AD的中点，G是CF的中点。求证：BE与AG互相垂直。证明：步骤一：连接EG。步骤二：由于E和F分别是CD和AD的中点，且F是CF的中点，连接EF。步骤三：在正四面体ABCD中，ABCD为正四面体，因此AB=BC=CD=DA。步骤四：在ΔABD和ΔBDC中，AB=BC，步骤五：由全等三角形的性质得AD=BC。步骤六：同样的方法，可以证明ΔABE≌ΔACB（SSS）。步骤七：由此可得BE=BC。步骤八：因为F是AD的中点，C是CD的中点，所以AB=BE，因此ΔABE≌ΔEBC（SSS）。步骤九：由全等三角形的性质得BE=BC=EC。步骤十：因此，四边形BEFC是菱形。步骤十一：由于E和F分别是CD和AD的中点，可得菱形BEFC的对角线相交且互相垂直，即EG⊥BF。步骤十二：由于G是CF的中点，可得AG是ΔABD的中线，因此AG⊥BD。步骤十三：因为BD∈平面BCD，AG在平面BCD内，所以AG⊥平面BCD。步骤十四：又因为菱形BEFC包含在平面BCD内，且EG⊥平面BCD，所以EG⊥AG。步骤十五：综上所述，BE与AG互相垂直。解析：本题主要考察了立体几何中正四面体的性质和三垂线定理的应用。解题过程中，首先通过正四面体的性质得出相关边和角的关系，进而利用全等三角形的性质证明ΔABD≌ΔBDC和ΔABE≌ΔACB，从而得到BE=BC=EC。接着利用菱形的性质证明四边形BEFC为菱形，进而得出EG⊥BF，以及AG⊥平面BCD。利用三垂线定理，可以得出EG⊥AG，最终证明BE与AG互相垂直。第二题已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点E是棱BB1的中点，点F是棱DD1的中点。（1）求证：EF平行于平面AC1D1；（2）求三棱锥A-BC1D1的体积。答案：（1）证明：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，由于ABCD是正方形，所以AC垂直于BD。又因为A1C1垂直于平面ABCD，所以AC1也垂直于BD。由于EF是BB1和DD1的中点连线，因此EF平行于BD。又因为BD属于平面AC1D1，所以EF平行于平面AC1D1。（2）解：首先，计算三棱锥A-BC1D1的底面积。底面BC1D1是一个等腰直角三角形，其中BC=CD=√2（因为BC和CD是正方体的对角线的一半），所以底面积S=1/2*BC*CD=1/2*√2*√2=1。接下来，计算三棱锥的高。高是从点A到平面BC1D1的距离。因为A在正方体的一个顶点上，而BC1D1是一个等腰直角三角形，所以高就是正方体的高，即AA1=2。根据三棱锥的体积公式V=1/3*S*h，代入已知的底面积和高，得到：V=1/3*1*2=2/3。解析：（1）首先证明EF平行于平面AC1D1。由于EF是BB1和DD1的中点连线，EF平行于BD。又因为BD在平面AC1D1内，根据平行线的性质，EF平行于平面AC1D1。（2）计算三棱锥A-BC1D1的体积。首先计算底面积，底面BC1D1是一个等腰直角三角形，其边长为√2，因此底面积S=1。然后计算高，高即为AA1的长度，等于正方体的棱长，为2。最后使用三棱锥的体积公式计算得到体积为2/3。第三题已知直三棱柱ABC−A1B1C1解答：（1）首先，明确△ABC是一个等边三角形，边长为4（2）另外给出的条件是侧棱AA1=BB1=（3）要证明A1B∥证明过程：选取AC中点D，连接AD、C1D、BD，我们知道三角形ABD在正三棱柱中是一个直角三角形，且A-A1B∥A1由此可知，A1B∥面ACC1A1。因为A1答案：通过证明A1B∥A1D，且A1答案解析：解题过程中，关键在于利用等边三角形和直三棱柱的性质，通过寻找平行关系来证明A1B与面ACC1第四题已知长方体的长、宽、高分别为a、b、c，且a=2,b=3,AB=AC