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文档简介

线性代数2

线性相关

一.向量的线性组合、线性表示；

二.向量组的线性相关与线性无关；

三.判别向量相关性的例子。

对于两个n维向量、，若存在一常数k,使得则称向量、成比例。例如一、向量的线性组合、线性表示

现将这个概念推广到多个n维向量。如果存在一组数，使得是向量组的一个线性则称向量组合，或称向量可以由向量组，对于n维行（列）向量定义1线性表示。其中例如，设则3就是向量1、

2的线性组合，又称3可由向量1、

2线性表示。不难验证显然：任一n维向量

=(a1,a2,…,an)T都是向量组称为单位向量组则称向量组线性相关

否则，已知n维行（列）向量组，定义2使得称该向量组线性无关。（linearlyde-pendent）二、向量组的线性相关与线性无关如果存在不全为零的一组数，不难验证

所以它们是线性相关的。

对向量组

例题

设有一组数k1,k2,k3,使得例1

试讨论下列向量组的线性相关性：

解k1

1+k2

2+k3

3=0

即所以上述方程组，可见向量组的相关性等价于这个齐次方程组有否非零解。而它的系数行列式即k1=k2=k3=0。于是向量组

1、2、3是线性无关的。只有唯一零解，由克莱姆法则，

设有一组数k1,k2,k3,使得例2

设向量

1、2、3线性无关，试证明向量组1、1+

2、1+

2+3也线性无关。

证k1

1+k2(1+

2)

+k3(1+

2+3)=0

即(k1+k2+k3)1+(k2+k3)

2+k3

3=0

因为向量

1、2、3线性无关，所以所以证毕由克莱姆法则

这是关于k1,k2,k3的齐次方程组，它的系数行k1+k2+k3=0

k2+k3=0

k3=0

列式方程组只有零解，即k1=k2=k3=0。

线性空间及其子空间一线性空间定义二线性空间例子三线性空间的子空间设V是一个非空集合，在V上任意两元素元运算+满足如下性质：交换律有结合律有使得对任意对任意存在使得1）2）3）存在4）一线性空间定义定义1对任意的对任意的有定义运算并记为且设R为实数域，对V中的任意元素及R中的任意元素k定义运算并记为且运算

满足如下性质：”

“1律”5）结合律6）都有7）分配律都有8）分配律都有则称V为R上的一个线性空间，简称为实线性空间，线性空间中的元素称为向量。对任意的对任意的对任意的运算+称为加法运算，称为数乘运算，它们统称为线性运算。称为零向量，若则称为的负向量，并把的负向量记为。二线性空间例子例1表示全体n维实向量形成的集合，即关于n维实向量加法和数乘是线性空间。即对显然在零向量向量的负向量注是最重要的实线性空间。类似有复线性空间

例2阶实矩阵全体关于矩阵线性运算是一个线性空间(实矩阵空间）。特别的阶实方阵全体关于矩阵线性运算是一个线性空间。中的零向量为零矩阵。向量的负向量注是实矩阵空间例3矩阵A的三个子空间

设,以

表示A的第i个列向量，称集合为矩阵A的值域（列空间）矩阵A的零空间矩阵A的行空间二、子空间的分解

定理如果V1,V2是数域K上线性空间V的两个子空间，那么它们的交V1

∩V2也是V的子空间；它们的和V1+V2也是V的子空间。维数定理

如果V1,V2是数域K上的线性空间V

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