《计算机图形学》课件第五章

第五章几何造型技术5.1曲线的表示5.2曲面的表示5.3实体的表示5.4分形

5.1曲线的表示

5.1.1绘制曲线的基本方法

在手工操作绘制曲线时，除了圆弧类曲线可以直接借助于工具（圆规）来画出外，其他的曲线一般都需先确定几个点，然后借用曲线板分段绘出。这也是用计算机来绘制曲线的基本原理。由于计算机图形输出设备特有的工作特点，曲线一般是离散成直线再画出（见图5.1）。图5.1由直线段逼近得到曲线参数法表示对于多值曲线尤为重要。例如对于一个圆，它的标准方程是x2+y2=r2，可写成：(5.1)圆的参数方程可表示为(5.2)这两种表示方法在绘图的时候存在着明显的差别，如图5.2所示。图5.2两种绘图方式5.1.2参数曲线

1.曲线的分类

曲线和曲面的表示方程有参数表示和非参数表示之分，非参数表示又分为显式表示和隐式表示。

平面曲线显式表示的一般形式为

y=f(x)

(5.3)显式表示的缺点有：

（1）不能表示封闭或多值曲线。

（2）与坐标系的选取相关。

（3）会出现斜率为无穷大的情形，不便于编程。

平面曲线隐式表示的一般形式为

F(x，y)=0

(5.4)隐式表示的优点有：

（1）可表示封闭或多值曲线。

（2）便于点和曲线的位置判断。

隐式表示的缺点有：

（1）求值困难。

（2）与坐标系的选取相关。

（3）会出现斜率为无穷大的情形，不便于编程。平面曲线也可用参数表示。假定用t表示参数，则平面曲线上任一点P可表示为

P(t)=［x(t)，y(t)］(5.5)空间曲线上任一点P可表示为

P(t)=［x(t)，y(t)，z(t)］(5.6)

曲线、曲面在表示时，参数表示比显式、隐式表示有更多的优越性，它主要表现在以下七个方面：（1）可以满足几何不变性的要求。

（2）有更大的自由度来控制曲线曲面的形状。例如一条平面三次曲线可显式表示为

y=ax3+bx2+cx+d

(5.7)式中有4个系数控制此曲线的形状，而平面三次曲线的参数表达式则为：(5.8)式中有8个系数控制此曲线的形状。（3）对非参数方程表示的曲线、曲面进行变换时，必须对曲线、曲面上的每个型值点进行几何变换，而对参数表示的曲线、曲面进行变换时，可对其参数方程直接进行几何变换。

（4）便于处理斜率为无穷大的情形，不会因此而中断计算。

（5）参数方程中，代数、几何相关和无关的变量是完全分离的，而且变量个数没有限制，从而便于用户把低维空间中的曲线、曲面扩展到高维空间。这种变量分离的特点使得用数学公式处理几何分量变得容易。

（6）规格化的参数变量t∈［0，1］，它使得相应的几何分量有界，而不必用另外的参数去定义边界。

（7）易于用矢量和矩阵表示几何分量，可简化计算。

2.曲线的基本概念

一条用参数表示的三维曲线是一个有界点集，它可写成一个带参数的、连续的、单值的数学函数，其形式为(5.9)

1）位置矢量

曲线上任一点的位置矢量可表示为

P(t)=［x(t)，y(t)，z(t)］（5.10）

其一阶、二阶和k阶导数矢量（如果存在的话）分别表示为（5.11）

2）切矢量

曲线上任一点的切矢量（如果存在的话）表示为（5.12）如果选择弧长s作为参数，那么根据弧长微分公式，有：（5.13）引入参数t，上式可改写为：（5.14）为了方便，数学上一般取s增加的方向为t增加的方向。考虑到矢量的模为非负，所以有：（5.15）即弧长s是t的单调增函数，故其存在反函数t(s)，且与其一一对应。由此得：

P(t)=P(t(s))=P(s)（5.16）于是得：（5.17）即P(t)关于弧长s的导向矢量是单位矢量。

3）法矢量

对于空间参数曲线上任一点，所有垂直切矢T的矢量构成一平面，该平面成为曲线在该点的法平面。

若曲线上任一点的单位切矢为T，因为［T(s)］2=1，两边对s求导矢，可得

2T(s)·T′(s)=0（5.18）对于一般参数t，有：(5.19)T（切矢）、N（主法矢）和B（副法矢）构成了曲线上的活动标架。N和B构成的平面称为法平面；N和T构成的平面称为密切平面；

B和T构成的平面称为从切平面。

4）曲率和挠率

由于dT/ds与N平行，若令T′=kN，则(5.20)其中，Δθ为相邻两切线的夹角。k为曲线的曲率，其几何意义是曲线的单位切矢对弧长的转动率，它与主法矢同向。曲率的倒数ρ=1/k称为曲率半径。又因为B(s)·T(s)=0，两边对s求导，得

B′(s)·T(s)+B(s)·T′(s)=0（5.21）将T′=kN代入上式，并注意到B(s)·N(s)=0，可得到：B′(s)·T(s)=0（5.22）因为［B(s)］2=1，所以两边对s求导，可得到B′(s)·B(s)=0，可见B′(s)既垂直于T(s)，又垂直B(s)，故

B′(s)∥N(s)（5.23）

再令B′(s)=－τN(s)，τ称为挠率。因为(5.24)其中，Δj为相邻两副法矢间的夹角。所以，挠率的绝对值的概念是副法线方向（或密切平面）对于弧长的转动率。挠率τ大于0、等于0和小于0分别表示曲线为右旋空间曲线、平面曲线和左旋空间曲线。

同样，对N(s)=B(s)×T(s)两边求导，可以得到：

N′(s)=－kT(s)+τB(s)（5.25）将T′、

N′、B′和T、N、B的关系写成矩阵形式,为（5.26）对于一般参数t，曲率k和挠率τ的计算公式如下：（5.27）

1)插值、拟合和逼近

给定一组有序数据点Pi(i=0，1，…，n），构造一条曲线顺序通过这些数据点，称为对这些数据点的插值，所构造的曲线称为插值曲线。

（1）线性插值。假设给定函数f(x)在两个不同点x1和

x2的值，用一个线性函数y=f(x)=ax+b

近似代替f(x)，称f(x)为f(x)的线性插值函数。其中线性函数的系数a，b通过条件f(x1)=y1，f(x2)=y2确定。（2）抛物线插值。抛物线插值又称为二次插值。设

已知f(x)在三个互异点x1、x2、

x3的函数值为y1、y2、y3，

要求构造一函数y=f(x)=ax2+bx+c，使f(x)在节点xi(i=1，

2，3)处与f(x)在xi处的值相等。由此，可构造f(xi)=f(xi)=

yi(i=1，2，3)的线性方程组，求得系数a，b，c，即构造了f(x)的二次插值函数f(x)。

2）光顺（fairing）

光顺通常的含义是指曲线的拐点不能太多，因为曲线拐来拐去就会导致曲线不顺。对平面曲线而言，相对光顺的条件是：

（1）具有二阶几何连续（G2）。

（2）不存在多余拐点和奇异点。

（3）曲率变化较小。

4.参数化

过三个点P0、P1、

P2构造参数表示的插值多项式曲线可以有无数条，这是因为参数t在［0，1］区间的分割可

以有无数种，即P0、P1、

P2可对应不同的参数，例如，

t0=0，t1=1/2，t2=1或t0=0，t1=1/3，t2=1，其中，每个参数值称为一个节点（knot）。

1）均匀参数化（等距参数化）

使每个节点区间长度Δi=ti+1－ti，i=0，1，…，n－1为正常数d，节点在参数轴上呈等距分布：ti+1=ti+d。

2）累加弦长参数化其中，ΔPi=Pi+1－Pi为向前差分矢量，即弦边矢量。这种参数化如实反映了型值点按弦长的分布情况，能够克服在型值点按弦长分布的情况下采用均匀参数化所出现的问题。

3）向心参数化(5.29)累加弦长参数化没有考虑相邻弦边的拐折情况，而向心参数化法假设在一段曲线弧上的向心力与曲线切矢从该弧段始端至末端的转角成正比，加上一些简化假设，可得到向心参数化法。该参数化特别适用于非均匀型值点分布的情况。

4）修正弦长参数化其中：(5.30)(5.31)弦长修正系数Ki≥1。从上述公式可知，与前后相邻弦长|ΔPi－2|和|ΔPi|相比，若|ΔPi－1|越小，且与前后相邻弦边的夹角的外角θi－1和θi（不超过π/2）越大，则修正系数Ki就越大。

由上述参数化方法得到的参数区间一般是［t0，tn］≠［0，1］。通常将参数区间［t0，tn］规格化为［0，1］，只需对参数区间作如下处理即可：（5.32）

5.参数曲线的代数和几何形式

1）代数形式

三次参数曲线的代数形式是：（5.33）方程组中的12个系数唯一地确定了三次参数曲线的空间位置和形状，上述代数形式写成矢量式是：（5.34）

2）几何形式

描述参数曲线的条件有端点位矢、端点切矢和曲率等。对三次参数曲线，若用其端点位矢P(0)、

P(1)和切矢P′(0)、P′(1)描述，并将P(0)、P(1)、P′(0)和P′(1)简记为P0、P1、P′0和P′1，代入式（5.34)可得：（5.35）将式（5.35）代入式（5.34），整理得：(5.36)令(5.37)将F0、F1、G0、G1代入式（5.36），得到：（5.38）式（5.38）是三次Hermite（Ferguson）曲线的几何形式，几何系数是P0、P1、P0′和P1′。F0、F1、G0、G1称为调合函数（或混合函数），即该形式下的三次Hermite基，它具有如下性质：

F0和F1专门控制端点的函数值对曲线的影响，而同端点的导数值无关；G0和G1则专门控制端点的一阶导数值对曲线形状的影响，同端点的函数值无关。也可以说，F0

和G0控制左端点的影响，

F1和G1控制右端点的影响。

6.连续性

曲线间连接的光滑度量准则有两种：一种是函数的可微性，它使得组合曲线在连接处具有直到n阶连续导矢，

即n阶连续可微，这类光滑度量称为Cn或n阶参数连续性；

另一种称为几何连续性，组合曲线在连接处满足不同于

Cn的某一组约束条件，称为具有n阶几何连续性，简记为

Gn。曲线光滑性的这两种度量方法并不矛盾，Cn连续包含在Gn连续之中。5.1.3

Bézier曲线

1.Bézier曲线的数学表达式

Bézier曲线的形状是通过一组多边折线（特征多边形）的各顶点唯一地定义出来的。在这组顶点中：

（1）只有第一个顶点和最后一个顶点在曲线上。

（2）其余的顶点用于定义曲线的导数、阶次和形状。

（3）第一条边和最后一条边表示了曲线在两端点处的切线方向。

图5.3是一些Bézier多边形折线和相应的Bézier曲线。图5.3

Bézier多边形折线和Bézier曲线

Bézier曲线是由多项式混合函数推导出来的，通常n+1个顶点定义一个n次多项式。其数学表达式为(5.40)式中，P0，P1，…，Pn为Bézier曲线的控制顶点，顺次相连形成的多边形叫做Bézier曲线的控制多边形。Bi，n(t)是n次Bernstein基函数，其表达式如下：(5.41)如果约定：00=1，0!=1，则当t=0时，B0，

n(t)=1，

Bi，n(t)=0，i≠0；当t=1时，Bn，n(t)=1，Bi，n(t)=0，

i≠n。故(5.42)所以说“只有第一个顶点和最后一个顶点在曲线上”，即Bézier曲线只通过多边折线的起点和终点。下面我们通过对基函数的求导来分析两端切矢的情况。由于得(5.43)(5.44)从而有(5.45)Bézier曲线P(t)与它的控制多边形的关系如图5.4所示。其中，控制多边形P0P1…Pn是P(t)的大致形状的勾画，P(t)是对P0P1…Pn的逼近。图5.4Bézier曲线与控制多边形的关系

2.二次和三次Bézier曲线

1)二次Bézier曲线

三个顶点P0，P1，P2可定义一条二次（n=2）Bézier曲线，其相应的Bernstein基函数为(5.46)所以，根据(5.47)可得二次Bézier曲线的表达形式为(5.48)将其写成矩阵形式，则为：(5.49)如图5.5所示，这说明曲线经过其控制三边形中线的中点，综合两端点切矢的性质可知，二次Bézier曲线是一条抛物线。图5.5二次Bézier曲线

2）三次Bézier曲线

四个顶点P0、P1、P2、P3可定义一条三次Bézier曲线：(5.51)

3.Bézier曲线的性质

（1）仿射不变性：Bézier曲线在仿射变换下不变。这表明下述两种操作会产生相同的结果：①计算P(t)，然后作仿射变换；②对控制多边形作仿射变换，然后求参数为t的点。仿射不变性在图形的生成与变换中非常有用。

(2)仿射参数变换下的不变性。

(3)凸包性：Bézier曲线P(t)位于控制多边形的凸包之中。凸包性的一个结果是平面控制多边形生成的Bézier曲线是平面曲线；另外的一个重要性在于干涉检查。

（4）端点性质：（5）对称性：保持曲线各控制顶点位置不变，只把次序完全颠倒所得到的新顶点记为Pi=Pn－i，那么可得到一条与原曲线一样的Bézier曲线，不同的是新曲线具有与原曲线相反的定向，即(5.53)（6）变差缩减性（VD性质）：任一平面与Bézier曲线的交点数目不多于平面与控制多边形的交点

数目。

（7）保形性：Bézier曲线的形状酷似控制多边形的形状，特别的是，若控制多边形为一平面凸多边形，则定义的Bézier曲线是一条凸曲线。（8）线性精度：假设控制顶点Pi

（i=0，1，…，n），均匀分布在连接p和q的直线段上，即那么(5.55)(5.54)

4.Bézier曲线的求值

Bézier曲线是采用最为广泛的参数曲线之一。因此，关于它的快速生成算法也是研究最多的，广泛采用的生成算法是deCasteljau算法。记为：(5.56)那么

P(t)=Pn0

(5.57)

deCasteljau算法的几何意义是：按照t:1－t的比例递归分割控制多边形的每一条边，直至其为一个点，即为曲线上参数为t的点，如图5.6所示。图5.6

deCasteljau算法5.1.4

B样条曲线

1.从Bézier曲线到B样条曲线

Bézier曲线在应用中的不足有以下几点：

（1）缺乏灵活性。一旦确定了特征多边形的顶点数（m个），也就决定了曲线的阶次（m－1次），无法更改。（2）控制性差。当顶点数较多时，曲线的阶次会比较高，此时，特征多边形对曲线形状的控制将明显减弱。（3）不易修改。由曲线的混合函数可看出，其值在开区间(0，1)内均不为零。因此，所定义的曲线在（0<t<1）区间内的任何一点都要受到全部顶点的影响，这使得对曲

线进行局部修改不可能实现(在外形设计中，局部修改是要随时进行的）。为了克服Bézier曲线存在的不足，Gordon等人对Bézier曲线做了拓展。就外形设计的需求而言，希望新的曲线具有如下优点：

（1）易于进行局部修改。

（2）更逼近特征多边形。

（3）曲线是低阶次的。

于是，Gordon等人用n次B样条基函数替换了Bernstein基函数，构造了称为B样条曲线的新型曲线。

2.B样条基函数

由递推公式定义的函数Ni，k(u)称为节点向量U上的k阶（k－1次）B样条基函数，递推公式如下：(5.59)(5.60)

3.B样条基函数的性质

·局部支撑性。其表示形式为称区间［ui，ui+k］为Ni，k(u)的支撑区间。（5.61）

·权性（归一性）。其表示形式为（5.62）（5.63）或者为

·分段多项式。Ni，k(u)在每一长度非零的区间［uj，uj+1)上都是次数不超过k－1的多项式。

· 连续性。Ni，k(u)在区间(uj，uj+1)上C∞连续，在节点uj处Ck－r－1次连续，其中r为节点uj的重数。

·导数计算公式为

（5.64）

4.B样条曲线的数学表达式

给定n+1(n≥k)个空间点di（i=0，1，…，n），曲线的参数多项式为(5.65)称其为k阶k－1次B样条曲线，折线d0d1…dn称为P(u)的控制多边形，di称作控制顶点或deBoor点。Ni，k(u)为节点向量U={u0≤u1≤…≤un+k}确定的k阶样条基函数。

5.均匀B样条曲线

若uj=j－k+1，则称相应的B样条基函数为均匀B样条基函数，由其定义的B样条曲线为均匀B样条曲线。由于：

Ni，k(u)=N0，

k(u－i)

(5.66)

基于这一性质，我们只需建立一个节点区间上B样条基函数的数学表示。k阶B样条基函数在节点区间［uk，uk+1］上的显式表示为(5.67)

1）三阶均匀B样条曲线三阶均匀B样条基函数的显式表示如下：(5.68)给定n+1个空间点di（i=0，1，…，n），定义一条三阶均匀B样条曲线，它由n－1段构成。其每一段的显式表示为曲线Pj(t)的端点性质如下：(5.71)且有：(5.73)(5.72)与上述各式所表达的性质相符的曲线如图5.7所示。图5.7一段三阶B样条曲线由此可知，三阶均匀B样条曲线的每一段为顺序三个控制顶点定义的抛物线，即为一平面曲线，整条曲线相邻两段在连接点处C1连续。由于顺序四个控制顶点可以不共面，相邻两段曲线可以在不同的平面内，因而整条曲线可以为空间曲线。这就突破了二次Bézier曲线只能为平面曲线的限制。

利用每一段曲线的端点性质及抛物线的特点，可以由控制多边形给出三阶均匀B样条曲线的大致图形，如图5.8所示。图5.8分段三阶B样条曲线我们也可以将三阶均匀B样条曲线的每一段表示成Bézier形式。设Pj(t)的Bézier表示为因为同一曲线段的两种不同表示形式可以相互转换，所以有以下关系：因而有即(5.77)

2）四阶均匀B样条曲线

四阶均匀B样条基函数的显式表示如下：(5.78)给定n+1个空间点di（i=0，1，…，n），定义的一条四阶均匀B样条曲线由n－2段构成。其每一段的显式表示为曲线Pj(t)具有的端点性质如下：(5.80)根据以上几何性质，可以大致确定出该曲线段的图

形，如图5.9所示。图5.9一段四阶均匀B样条曲线四阶均匀B样条曲线的每一段由顺序四个控制顶点所确定，相邻两段曲线在连接点处C2连续，如图5.10所示。图5.10分段四阶均匀B样条曲线

B样条曲线是一种非常灵活的曲线，曲线的局部形状受相应顶点的控制能很直观地看出。如果将这些顶点控制技术运用得好，可以使整个B样条曲线在某些部位满足一些特殊的技术要求。这些技术要求包括：

①可以在曲线中构造一段直线；

②使曲线与特征多边形相切；

③使曲线通过指定点；

④指定曲线的端点；

⑤指定曲线端点的约束条件。

6.deBoor－Cox算法

现讨论B样条曲线P(u)的计算问题，对于给定的参数

u∈［uj，uj+1)(k－1≤j≤n)，由B样条基函数Ni，k(u)的递推公式：(5.81)将P(u)化简如下：令则式（5.82）可表示为(5.83)(5.84)运用deBoor-Cox算法，由控制顶点：d0，

d1，…，dn求P(u)值的递推过程的形式如下：

7.B样条曲线分类

（1）均匀B样条曲线（UniformBsplineCurve）：

节点序列中节点沿参数轴均匀分布，所有节点区间的长度为Δi=ui+1－ui=const>0（i=0，1，…，n+k－1）。这样的节点矢量定义了均匀B样条基函数，对应的B样条曲线称为均匀B样条曲线。（2） 准均匀B样条曲线（QuasiUniformBsplineCurve）：节点序列中两端节点为k重，即u0=u1=…=uk－1，un+1=un+2=…=un+k，所有内节点为单节点且均匀分布。曲线定义域［uk－1，un+1］内所有节点区间的长度Δi=ui+1－ui=const>0（i=k－1，k，…，n）。它与均匀B样条曲线定义域内节点的分布相同，差别仅在于两个端节点。这样的节点矢量定义了准均匀B样条基函数，对应的B样条曲线称为准均匀B样条曲线。（3）分段Bézier曲线（PiecewiseBézierCurve）：

节点序列中两端节点为k重，所有内节点均为k－1重节点，即u0=u1=…=uk－1，un+1=un+2=…=un+k，且(5.86)（4）一般非均匀B样条曲线（GeneralNonUniformBsplineCurve）:对于这种类型曲线，任意分布的节点序列U：u0≤u1≤…≤un+k，只要它在数学上成立（节点序列非递减、每一内节点的重数小于k），都是可选的。这样的节点矢量定义了一般非均匀B样条基函数，对应的B样条曲线称为一般非均匀B样条曲线。由此可见，前三种类型的B样条曲线都可作为特例包括在一般非均匀B样条曲线中。

8.B样条曲线与Bézier曲线的比较

B样条曲线与Bézier曲线的差别如下：

（1）对于Bézier曲线，基函数的次数等于控制顶点数减1；对于B样条曲线，基函数的次数与控制顶点数无关。（2）Bézier曲线的基函数即Bernstein基函数是多项式函数，B样条曲线的基函数即B样条基函数则是多项式样条。（3）Bézier曲线是一种特殊表示形式的参数多项式曲线，B样条曲线则是一种特殊表示形式的参数样条曲线。（4）Bézier曲线缺少局部性质，B样条曲线具有局部

性质。5.1.5

NURBS曲线

1.NURBS曲线的定义

给定n+1个空间点di（i=0，1，…，n），和非负实数ωi≥0（i=0，1，…，n），其中ω0>0，ωn>0，分段有理参数k阶多项式曲线表示式为(5.87)

2.NURBS曲线的性质

若某个权因子ωj=0，则相应的控制顶点dj对曲线不产生影响。若ωj→+∞，则（5.88）· Bézier曲线面、B样条曲线面以及圆锥曲线和二次曲面都是NURBS曲线面的特例，由此可以看出NURBS既为标准解析形状，也为自由型曲线面的精确表示与设计提供了一个统一的数学形式。因此一个统一的数据库就能存储这两类形状信息。

3.圆锥曲线的NURBS表示

给定节点向量U={0，0，0，1，1，1}，由控制顶点d0，

d1，

d2和权因子ω0，ω1，ω2确定的二次NURBS曲

线为(5.89)它是一条圆锥曲线，其形状分类如下：(5.90)

4.NURBS曲线的计算

现讨论NURBS曲线的计算问题。在齐次坐标下，NURBS曲线可看做是四维空间的B样条曲线在三维空间中的投影变换下的像。其表示式为(5.91)

5.2曲面的表示

5.2.1

Bézier曲面

Bézier曲面是Bézier曲线向曲面的直接推广。给定三维空间(m+1)×(n+1)个点Pij(xij，yij，zij)（i=0，1，…，m;j=0，1，…，n），其张量积形式的参数多项式曲面表示式为

P(u，v)的矩阵表示为

1.Bézier曲面的性质

类似于Bézier曲线，曲面P(u，v)具有下述性质：

（1）角点位置： （2） 边界线位置：

（3）角点切平面：（4） 角点法向量：

（5）凸包性： （6） 几何不变性

（7）交互能力：（8）易拼接性：

（9）易离散性：（10）对称性：(5.97)

2.Bézier曲面的拼接

设两张m×n次Bézier曲面如图5.11所示，分别由控制顶点Pij(0≤i≤m;0≤j≤n)和Qij(0≤i≤m;0≤j≤n)定义为(5.98)(5.99)图5.11两张Bézier曲面的拼接如果要求两曲面片达到G0连续，则它们有公共的边界，即

P(1，v)=Q(0，v)

(5.100)

于是有

Pmj=Q0j，j=0，1，…，n

如果要求沿公共边界达到G1连续，则两曲面片在该公共边界上有公共的切平面，因此曲面的法向应当是跨界连续的，即

Qu(0，v)×Qv(0，v)=α(v)Pu(1，v)×Pv(1，v)

(5.101)

其中，α(v)为任意非负连续函数。下面讨论满足上式的两种方法。（1）鉴于G0连续，式（5.101）最简单的解是：

Qu(0，v)=α(v)Pu(1，v)

(5.102)

这相当于要求合成曲面上v为常数的所有曲线在跨界时有切向的连续性。为了保证式（5.102）两边关于v的多项式次数相同，必须取α(v)=α（正常数）。于是有：即（2）式（5.102）使得两张曲面片在公共边界达到G1连续时只涉及曲面P(u，v)和Q(u，v)的两列控制顶点，比较容易控制。用这种方法匹配合成曲面的边界时，u向和

v向是光滑且连续的。但实际上，式（5.102）的限制比较严格。为了构造合成曲面时有更大的灵活性，Bézier在1972年放弃把式（5.102）作为G1连续的条件，而以式（5.103）来满足式（5.101），只要求Qu(0，v)位于

Pu(1，

v)和Pv(1，

v)所在的平面内，也就是曲面片P(u，

v)边界上相应点处的切平面，这样就有了大得多的余地，但跨界切矢在跨越曲面片的边界时就不再连续了。

Qu(0，v)=α(v)Pu(1，v)+β(v)Pv(1，v)（5.103）

3.deCasteljau算法

Bézier曲线的deCasteljau算法可以推广到Bézier曲面的情形。若给定Bézier曲面控制网格的控制顶点Pij(i=0，1，…，m;j=0，1，…，n)和一对参数(u，v)，则(5.104)其中，上式中各控制顶点由下列递推关系式：(5.105)(5.106)

4.Bézier曲面的分割

Bézier曲面P(u，

v)可分成四块小的Bézier曲面片，其分割方法如下：其中，上式中各控制顶点的递推关系式如下：5.2.2

B样条曲面

给定(m+1)×(n+1)(m≥k，n≥l)个空间点dij，i=0，1，…，m;j=0，1，…，n，其张量积参数曲面表示式为称之为k×l阶的B样条曲面。dij，i=0，1，…，m;j=0，…，n

叫做曲面的控制顶点，它们顺次构成的空间四边网格叫做曲面的控制网格。Ni，k(u)、Nj，l(v)分别是由节点矢量U={u0，u1，…，um+k}和V={v0，

v1，…，vn+l}定义的B样条基函数。B样条曲面的性质

（1）定义域：

（2）强凸包性：

（3）分片参数多项式：

（4）几何不变性：

（5）局部性：

（6）对Bézier曲面的包含性。

2.deBoor-Cox算法

B样条曲线的deBoor-Cox算法可以推广到B样条曲

面的情形。若给定B样条曲面控制网格的控制顶点

dij(i=0，1，…，m;j=0，1，…，n)和一对参数(u,v)

(u∈［uI，uI+1)］，v∈［vJ，vJ+1)］，k－1≤I≤m;

l－1≤J≤n)，则：(5.112)其中，d0,0

i，j=di，j，其他各控制顶点由下列递推关系式

决定：或5.2.3

NURBS曲面

类似于NURBS曲线，一张k×l阶NURBS曲面定义

如下：可得表示式：(5.116)称之为双变量有理基函数。

1.权因子的几何意义

从形式上看，权因子是一纯数值的量。实质上，权因子具有明显的几何意义。对于NURBS曲线式：(5.117)若令则有于是由此，我们得到了权因子ωj的明显的几何意义为：权因子ωj等于过控制顶点dj的一条直线上分别具有权因子ωj=+∞，0，1和ωj≠0，1的那四个点dj，m，n，R的交比，这四个点中的前三个点是特定的（图5.12）。因为NURBS曲面权因子的讨论过于复杂，在此不再赘述。图5.12权因子的几何意义

2.NURBS曲面的性质

NURBS曲面除具有B样条曲面的类似性质之外，还具有下述的重要性质：

· 对B样条曲面的包含性：当所有的权因子相等时，即ω00=ω01=…=ωmn=const时，NURBS曲面蜕化为B样条

曲面。

·可精确表示初等二次曲面。

·在仿射变换下的不变性：NURBS曲面在比例、旋转、平移、错切及投影变换下仍是NURBS曲面。

·权因子的引入增强了形状设计的灵活性。利用权因子可对曲面形状进行微调。

3.NURBS曲面的求值算法

在齐次坐标下，NURBS曲面可看作是四维空间的B样条曲面在三维空间的中心投影变换下的像。因此，一张k×l阶的NURBS曲面的求值可按以下步骤进行：

Step1由控制顶点dij和权因子ωij确定带权控制顶点：

Dij=［ωijdij，ωij］

i=0，1，…，m;j=0，1，…，n(5.123）

Step2用带权控制顶点Dij定义k×l阶B样条曲面：（5.124）

Step3用B样条曲面的deBoor-Cox算法计算曲面D(u，v)。

Step4以坐标原点为投影中心、超平面ω=1为投影平面，对D(u，v)做投影变换，即可得NURBS曲面R(u，v)。5.2.4

Coons曲线面

1）双线性混合Coons曲面片

给定由四条参数曲线围成的空间封闭曲边四边形，使两对边分别定义在u∈［0，1］与v∈［0，1］上，要求构造一张以这四条曲线为边界曲线的曲面：

P(u，v)，0≤u，v≤1（5.125）这个问题有无穷多解，其中的一个解就是双线性混合Coons曲面。

在每一对边界曲线间由线性插值构造直纹面：（5.126）两张曲面q(u，

v)与r(u，v)的简单叠加并减去曲面片四个角点决定的一张双线性张量积曲面：即得到所求的双线性混合Coons曲面片：

P(u，v)=q(u，v)+r(u，v)－s(u，v)其矩阵表示如下：

2）局部双三次混合Coons曲面片

采用两对三次混合函数：（5.129）可得到局部双三次混合Coons曲面片：上式右端的三阶方阵包含了曲面的全部边界信息，称之为边界信息矩阵。其右下角二阶子块的4个矢量是曲面边界的端点，称之为曲面的角点。

类似双线性混合中那样，定义对角点数据的插值曲面：：

则双三次混合Coons曲面片为

P(u，v)=q(u，v)+r(u，v)－s(u，v)(5.134)或者以矩阵形式表示为

5.3实体的表示

5.3.1三维实体的定义

三维物体的这种内在的层次结构给出了在计算机内定义实体的拓扑结构，即实体在计算机内通常采用六层拓扑结构来定义，如图5.14所示。图5.14三维物体的层次结构5.3.2三维实体建模

1．线框模型（wireframemodel）

线框模型是用顶点和棱边来表示实体的模型。为了确切地表示清楚形体的形状和位置，必须给出顶点集的位置和它们之间的连边规则。

2．表面模型（surfacemodel）

表面模型是用有向棱边围成的部分来定义形体的表面，再用面的集合来定义形体。表面模型是在线框模型的基础上，增加了面边信息以及表面特性、棱边的连接方向等内容。表面模型可以满足于面面求交线、形成明暗色彩等要求，但对于立体的物性计算和工程分析仍有困难（如有限元分析）。

3．实体模型（solidmodel）

实体模型，即是指实心的立体模型，其主要的几何特征表现为体，它可以更完整准确地表达模型的几何特征，包含的信息也更多。利用实体模型可以计算、分析物体的质量、体积、重心和惯性矩等物理特性，因此它是计算机辅助设计的重要基础。三种方法来定义：

（1）给出实体存在侧的一点。

（2）用表面的外法矢直接指明。

（3）用面环方向表示（隐含了法矢）。实体即定义为各面负方向一侧的交。

尽管实体模型与前面所说的线框模型、表面模型截然不同，但是在图形显示时，实体模型也是以线框图来表示的，除非对它进行了消隐（Hide）、阴影（Shade）或渲染（Render）处理。以下是三种不同模型间的简单比较，如表5.1所示。5.3.3实体的表示方法

1.实体的CSG表示

CSG表示法也称为体素构造法，它是用称为体素的基本实体经集合运算构造复杂实体的一种实体表示法。例如，图5.15给出的三维实体可以看作是由两个长方体和一个圆柱体经集合运算构成的，其几何定义为

Part=Cube1+Cube2－Cylinder1

(5.136)

1）物体间的正则集合运算

物体间的并、交、差运算是CSG表示法构造物体的最基本的手段之一。三维实体的一个最显著的特征是：它们可以用一个具有边界子集和内部子集的封闭点集来描述。执行物体间的并、交、差操作的结果也应该是具有边界子集和内部子集的封闭点集，并应保持初始物体的维数，而传统的点集之间的并、交、差运算可能会改变点集的正

则性。图5.15三维实体的CSG构造例如，图5.16中A、

B两个物体都具有边界子集bA、

bB和内部子集iA、iB。交运算在数学上是正确的，但在

几何上是不正确的，因为此时C=A∩B不像A、B那样具有内部子集，也不再是二维物体。为此，我们必须对传统的点的集合运算施加一些限制，如引入正则集合和正则集合运算。图5.16二维实体的交运算

·正则集合：三维空间E3中的集合S称为正则集，如果S=kiS。

· 正则算子：对于E3中的点集A、B，相应的正则算子定义如下：

A∪*B=ki(A∪B)，A∩*B=ki(A∩B)，A－*B=ki(A－B)

(5.137)正则算子∪*，∩*，－*具有以下重要性质：(5.138)

·正则运算：对三维物体进行正则运算的关键是算法，其最基本的算法步骤有求交、包含性测试、跟踪边界、形成回路和重新参数化回路等。下面我们以二维物体A、

B的正则运算为例，对正则运算的算法步骤做以下介绍。（1）正则交运算∩*。令（5.139）如图5.17所示。由于Q=bQ∪iQ，所以必须找出bQ和iQ的子集以构成封闭的维数一致的形体Q*，Q*的侯选部分只能从上式四部分求得。图5.17二维实体的正则交运算图5.17中形体A和B有两处明显的重叠交，这些交的特点是它既不在A的内部，也不在B的内部，我们通常有两种区分方法：一种是在边界上取一点P，从P的垂直方向沿

左右移动一距离ε产生两个点PL，PR，然后构造一表格来测试PL，PR是否既在A内又在B内（图5.18）。图5.18正则交运算下的边界测试综合以上讨论，两个形体A和B的正则交运算的结果可表示为注意，式（5.141）并没有指出物体的维数，即它可以适用于一维、二维、三维或n维形体。（2）正则并运算∪*。令(5.142)据此来确定bQ*和iQ*，从而确定Q*。二维实体的正则并运算如图5.19所示。图5.19二维实体的正则并运算这里，ValidbbA不在iB中，部分在bB上的bA，即：(5.145)(5.146)我们再一次看到在bA∩bB中存在二义性，必须像讨论正则交运算那样，通过测试方法来解决，所以有：(5.147)（3）正则差运算－*。令(5.149)据此来确定bQ*和iQ*，从而确定Q*。

图5.20二维实体的正则差运算由图5.20可以看出：第一，iQ*=iA－bB－iB，此处为两个不连接的子集；第二，iQ*≠Q，因为bQ*的某些元素在bQ中丢失了。若在Q中加上iA∩bB，其边界仍不完整。丢失的线段是bA∩bB的子集，因此必须对bA∩bB做进

一步的有效性测试，来决定有效的边界。对差而言，有效的bA∩bB是那些仅仅与iQ*或iA－iB邻接的边界，因此：(5.150)所以，正则差运算－*的结果为(5.151)对于实际应用而言，形体A、B之间的位置关系是千变万化的，图5.21便是一种，这里的形体A完全包含了形体B。图5.21二维实体的正则运算实例

2）物体的CSG树表示

一般地，物体的CSG表示都可以描述成一棵二叉树，这棵二叉树的叶结点或者是基本元素，或者是坐标变换的变换参数。非叶结点或者是正则集合运算，或者是几何变换。每棵子树表示其下面两个结点运算的结果，根结点则表示了最终的复杂物体。

CSG树的语义为：

<CSG树>∷=<体素叶子>|<CSG树><正则集合运算结

点><CSG树>|

<CSG树><坐标变换结点><坐标变换参数>

CSG树只定义了物体的构成体素和构造方式，并不反映物体的面、边、顶点等有关的边界信息。因此，这种表示又被称为物体的隐式模型（UnevaluatedModel）或过程模型（ProceduralModel）。

CSG树的结点数据结构如图5.22所示。图5.22

CSG树的结点数据结构每个结点均由操作码、坐标变换指针、基本体素指针、左子树指针和右子树指针5个域构成。除操作码外，其余各域都以指针形式存储。操作码按约定方式取值，当操作码为零时，表示该结点为一基本体素，相应的左、右子树指针为空（Null）；对于非叶结点，操作码取约定的正整数，表示左子树和右子树结点间进行正则集合运算，此时基本体素域为空。变换域存储该结点所表示形体在进行新的集合运算前所做的坐标变换信息，即将体素及其局部坐标系置于物体的整体坐标系中给定位置。

用CSG树表示一个复杂物体比较简洁。它所表示的物体的有效性是由基本体素的有效性和集合运算的正则性自动得到保证的。

CSG树提供了足够的信息以判断空间任一点在它所定义的内部、外部或体的表面上。因此，它可唯一地定义一个物体，并支持对这个物体的一切几何性质的计算。这里指的物体的几何性质既包括它自身的性质，如体积、面积、重心等，也包括它与别的物体相互关联的性质，如计算这个物体与一相邻物体之间的最短距离等。计算物体几何性质的算法和描述一个物体的数据结构是密切相关的，不同的数据结构对应不同的算法。CSG表示法最适宜采用“分而治之”的算法（divided&conquer）。设F是关于一个CSG树所定义物体的几何性质的函数，则计算F的算法框架如下：其中，Prim_F为计算基本体素的几何性质F的函数，Combine为依据CSG树非叶结点进行的运算对左右子树的几何性质F进行合成的函数。

虽然CSG树表示可以支持关于它所表示物体的多种几何性质的计算及其他应用，但它并非适用于一切场合。例如，它不适用于对物体形状做局部修改，并且生成工程设计中常用的线框图效率低，此时常需要将物体的CSG树表示转化为边界表示，以便获取边界信息。

2.实体的边界表示

实体的边界表示法就是通过描述物体的边界来表示一个物体，边界就是物体内部点与外部点的分界面。显然，定义了物体的边界，该物体就被唯一地定义了。

1）边界表示法表示物体的方式

用边界表示法定义物体有两种方式：其一是把面组成CSG表示中的体素，再通过装配体素形成更复杂的物体；另一种是直接通过适当表面的组合和相交产生复杂的物体。

2）边界表示法的翼边结构

在边界表示法中，表示面、边和顶点相互邻接关系的信息属于拓扑信息，表示这些邻接关系的拓扑信息在建立边界模型以及对边界模型进行处理和交互操作中非常重要。描述面、边、顶点三种拓扑元素的邻接关系可分为三组共九种表示方式，如图5.23所示。图5.23面、边、顶点的邻接关系在边界表示法中，没有必要包含所有九种邻接拓扑信息，一方面是由于这些邻接关系不全是彼此独立的，而是相互相关的，一些邻接关系可由其他邻接关系演变而来；另一方面是存储量太大，过于累赘和烦琐。

实验表明，以边为核心的一组邻接关系是最实用的，这一组邻接信息的数据结构通常称为翼边结构（WingededgeStucture）。翼边结构是描述与一条边相邻的两个顶点、四条邻边和两个邻面这些拓扑信息的数据结构，当我们从外面观察多面体的一条边时，可以看到这条边的上、下两个顶点

P1、P2，左右两个邻面LoopL、LoopR，以及上、下、左、右四条邻边Ercc、Ercw、Elcc、Elcw。这四条边好像是伸展的翅膀（图5.24），因此将其命名为翼边。图5.24翼边结构通过翼加结构可以方便地查找各元素之间的邻接关系。例如，可以迅速列出一面上所有的边，从一个面出发遍历所有的面等。多面体的运算中往往以边作为最基本的运算单元来实现边与边求交、边与面求交、删除旧边、增加新边、生成新的面环等。因此，将边作为建立邻接关系的中心环节在应用上最为方便。

翼边结构的结点结构如图5.25所示。图5.25翼边结构的结点结构

3）边界表示法中的数据结构

综合物体的层次结构和边界表示的翼边结构，边界表示中的数据结构如图5.26所示。用此数据结构表示时，物体的几何模型兼有CSG和B-rep两种表示形式。此外，该数据结构还引入了空间（Space）概念，它类似于二维绘图系统中层（Layer）的应用。物体分属于不同的空间，每个

空间可以设定不同的显示色彩，也可以设定为不可见。图5.26边界表示的数据结构

4）Euler运算

Euler运算提供了直接使用顶点、边、表面等基本元素构造三维物体的手段，构造的过程是逐步的：先输入一个点，作为建立物体的开始；然后输入第二个点，它与第一点连成一条边；若干条边构成一个面的边界，若干个面围成一个体等。显然，任意数目的顶点、边和面不能构成一个体。顶点、边和面之间一定要满足一定的关系，即拓扑一致性和几何一致性。顶点、边、面之间要满足的拓扑关系由扩展的Euler公式表示为

V－E+F－R=2(S－H)

(5.152)

其中，V、E、F分别表示物体上的顶点、边和面的数目，而R、S、H则分别表示物体表面边界的内环数、不相连接的物体数以及物体上的通孔数。基于扩展的Euler公式，可设定一套Euler运算来构造物体。这些运算包括：

①MEV：输入一个顶点，生成一条边；

②MEF：产生一条边和一个面；

③MVSF：输入一个顶点，产生一个体、一个面（构造体的开始）；

④MEKR：产生一条边，删除一个内环；

⑤MHS：产生一个体和一个孔。上述五种Euler运算所对应的补运算是：

①KEV：删除一个顶点和一条边；

②KFE：删除一个面和一条边；

③KVSF：删除一个体、一个面、一个顶点；

④KHS：删除一个孔和一个体；

⑤KEMR：删除一条边，产生一个内环。为了方便对形体的修改，还定义了两个辅助操作：

①SEMV：将边分割成两端，生成一个新的点和一条新的边；

②JEKV：合并两条相邻的边，并删除它们的公共端点。

可以证明，Euler操作是有效的，即用Euler操作对形体操作的结果在物理上是可实现的；Euler操作也是完备的，即任何形体都可用有限步骤的Euler操作构造出来。以上的Euler操作仅适用于正则形体，非正则形体已不再满足Euler公式，但是，Euler操作中对形体点、边、面、体几何元素做局部修改的原理仍然适用。Weiler定义了扩展的Euler操作来构造非正则形体，我们仍然把那一套操作性拓扑结构的方法叫做Euler操作。

3.实体的八叉树表示

物体的八叉树表示是一种层次数据结构。首先对三维物体定义一个外接立方体，立方体的三组棱边分别与x、

y、z

轴平行，边长为2N。如果所表示的物体本身就是该立方体，则物体可用该立方体来表示。否则将立方体等分为

8个子立方体，其边长为原立方体边长的一半。将八个子立方体依次编号为0，1，…，7，编号规则如图5.27所示。图5.27八叉树的结点编号若某一个小立方体完全在物体内部，则将此小立方体标识为“满”；若它完全在物体外部，则将其标识为“空”；其他情况下，将其标识为“部分占有”，并继续等分为八块。依此方式，物体在计算机内可表示为一棵八叉树，凡标识为“满”或“空”的立方体均为终端结点，而标识为“部分占有”的立方体为非终端结点。最后，当分割生成的每一个小立方体的边长为单位长时，分割结束。此时，应该将每一个标识为“部分占有”的小立方体重新标识为“满”或“空”。这就是物体的八叉树表示。采用八叉树表示物体的优点有：

(1)物体间的集合运算十分简单，此时只需同时遍历

表示物体的两棵八叉树，对相应的小立方体结点进行运算即可；（2）计算物体的体积简便，只要从八叉树的根结点开始逐个累加标识为“满”的结点的立方体的体积，计算精度取决于八叉树的分割层数，当最下一层的“部分占有”叶结点都算作“满”时，算得的体积最大；反之，如果将这些叶结点都算作“空”时，所求得的体积最小。当然，更合理的算法是引入Montacarlor法，即产生随机数，根据随机数来取一部分“部分占有”的叶结点作为“满”结点。（3）八叉树的数据结构简化了隐藏线隐藏面的消除算法。由于消隐算法的核心是排序，即将待显示物体上的点、线、面按它们离观察点的远近排列次序，离观察点近的元素遮挡远的元素，而物体的八叉树表示中，物体的各元素已按空间位置排列成一定的顺序。同一层次的八叉树结点组成三维空间中可线性分离的丛，因此很容易建立丛的优先级树。例如，在我们所给的编码方式下，当观察点处于图5.28中z轴方向的E点附近时，只要按照0，1，2，3，4，

5，6，7的次序显示各体元，就可获得物体的消隐图。这种消隐算法的时间复杂度与所要显示物体的体元数目n成线性关系O(n)。图5.28八叉树结点编码下的消隐八叉树的缺点有以下几点：

（1）占用存储空间大；

（2）物体的坐标变换代价高。当物体旋转一角度后，整个八叉树需要重新生成。对于平移而言，物体的八叉树结点分割保持不变，但沿平移方向的所有结点都需要重新编码；

（3）与B-rep表示或CSG表示难以统一，而B-rep表示或CSG表示可以转化成八叉树表示。这种单向转换导致八叉树的表示形式难以集成到已有的基于B-rep表示或CSG表示的系统中。

4.线性八叉树表示

减少八叉树表示所需的空间存储量的一种有效措施是线性八叉树。线性八叉树表示与八叉树表示类似，唯一的区别是存储方式不同。线性八叉树是用一个可变长度的一维数组存储一棵八叉树，数组中仅存储八叉树的终端结点，即描述一个物体的大大小小的立方体。对于2N×2N×2N

的空间分割，每个结点在八叉树中的位置可用一个八进制数表示为（5.153）性质1设P(x，y，z)为空间任一点，其x，y，z的

二进制表示如下：（5.154）则点P对应的线性八叉树结点的编码为{qn－1qn－2…q0}，其中：性质2给定线性八叉树结点的编码{qn－1qn－2…q0}，则对应的子立方体的前下角的坐标为（5.157）式中［·］表示取整，il，jl，kl为ql的二进制表示，即ql=kljlil，l=0，1，…，n－1。例如，对于Q=51，有：q0=1=(001)2，q1=5=(101)2，

则x=(11)2=3，y=(00)2=0，z=(10)2=2，或者有：

5.4分形

5.4.1分形的历史

1967年法国数学家B.B.Mandelbrot提出了“英国的海岸线有多长？”的问题，这个问题看起来好像极其简单，因为长度依赖于测量单位。以1km为单位测量海岸线，可得到的近似长度将短于1km的迂回曲折都忽略掉了，若以1m为单位测量，则能测出被忽略掉的迂回曲折长度将变大，测量单位进一步变小时,测得的长度将愈来愈大，这些愈来愈大的长度将趋近于一个确定值，这个极限值就是海岸线的长度。答案似乎解决了，但Mandelbrot发现：当测量单位变小时，所得的长度是无限增大的。因此，他认为海岸线的长度是不确定的，或者说，在一定意义上海岸线是无限长的。答案也许是因为海岸线是极不规则和极不光滑的。我们知道，经典几何研究光滑的曲线和曲面时，传统上将自然界大量存在的不规则形体规则化后再进行处理，我们必须将海岸线折线化才能得出一个有意义的长度。可贵之处是Mandelbrot突破了这一点，长度也许已不能正确概括海岸线这类不规则图形的特征。海岸线虽然很复杂，但却有一个重要的性质——自相似性。从不同比例尺的地形图上我们可以看出，海岸线的形状大体相同，其曲折、复杂程度是相似的。换言之，海岸线的任一小部分都包含有与整体相同的相似的细节。要定量地分析像海岸线这样的图形，引入分形维数是很有必要的。分形的研究可以上溯到很久以前。最早的工作可追朔到1875年，德国数学家维尔斯特拉斯（K.Weierestrass）构造了处处连续但处处不可微的函数，集合论创始人康托（G.Cantor，德国数学家）构造了有许多奇异性质的三分康托集。1890年，意大利数学家皮亚诺（G.Peano）构造了填充空间的曲线。1904年，瑞典数学家科赫（H.vonKoch）设计出类似雪花和岛屿边缘的一类曲线。

1915年，波兰数学家谢尔宾斯基（W.Sierpinski）设计了像地毯和海绵一样的几何图形。这些都是为解决分析与拓朴学中的问题而提出的反例，它们正是分形几何思想

的源泉。但是，像其他的一些革命性的思想一样，当时分形的研究受到了主流学术的谴责，被人们认为是研究一些数学中的怪异现象。那个时候著名的数学家CharlesHermite

把分形称为“怪物”，这代表了绝大多数人的观点。

1973年美籍法国数学家曼德尔布罗特(B.B.Mandelbrot）在法兰西学院讲课期间提出了分形几何的思路。1975年，他用拉丁词根构造了单词“Fractal”。1983年出版的《自然界的分形几何》使分形概念迅速传遍全球，这是独立于欧几里德几何学之外的数学方法。动力系统中的分形集是近年分形几何中最活跃的一个研究领域。动力系统的奇异吸引子通常都是分形集，它们产生于非线性函数的迭代和非线性微分方程中。动力系统中另一类分形集来源于复平面上解析映射的迭代。朱利亚（G.Julia）和法图（P.Fatou）于1918至1919年间开创了这

一研究领域。他们发现，解析映射的迭代把复平面划分成两部分：一部分为法图集；另一部分为朱利亚集（J集）。他们在处理这一问题时还没有计算机，完全依赖于他们自身的想象力，因此他们仅凭智力获得的成就受到限制。随后50年间，这方面的研究并没有得到进展。随着机算机的发展和用计算机来做实验的普及，这一研究课题又获得了生机。5.4.2分数维的计算

1910年，德国数学家豪斯道夫（F.Hausdorff）开始了奇异集合性质与量的研究，提出分形维概念。之后，这一领域的研究工作并没有引起更多人的注意，先驱们的工作只是作为分析与拓扑学教科书中的反例而流传开来。和相对论发展了传统力学一样，分维是对传统维数概念的进一步发展。虽然自然界里有丰富的欧几里德物体的例子（如六角形、圆、立方体、四面体、正方形、三角形……）。但许多随意性的自然现象似乎难以