高等数学概率中心极限定理

高等数学概率中心极限定理

一、中心极限定理的客观背景

在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生总影响.例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素的影响.

空气阻力所产生的误差，对我们来说重要的是这些随机因素的总影响.如瞄准时的误差，炮弹或炮身结构所引起的误差等等.

一般来讲，如果一个随机现象是众多独立的随机因素的总和，而某一项偶然因素对总和的影响是均匀的、微小的，即没有一项起特别突出的作用，则可以断定描述这一随机现象的随机变量近似地服从正态分布。

中心极限定理是研究相互独立的随机变量序列的和的分布，在适当条件下向正态分布收敛的规律性问题.

二、中心极限定理

为方便起见，我们不研究n个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随机变量

的分布函数的极限.分布是标准正态分布.在一定的条件下，可以证明，中心极限定理这就是下面要介绍的的极限我们只讨论几种简单情形.定理1(李雅普诺夫定理)设…是相互独立的随机变量序列，有期望值及方差（i=1,2,…），若每个对总和的影响不大，令,则李雅普诺夫定理表明：当n充分大，且每个r.v.对总和的影响不大时，n个具有期望和方差的r.v.之和近似地服从正态分布，其标准化近似地服从标准正态分布。中心极限定理的重要应用：近似计算有关随机事件的概率。例1、一个螺丝钉的重量是一个随机变量，期望值是100g，标准差是10g。求一盒（100个）同型号螺丝钉的重量超过10200g的概率。例2、对敌人的防御地段进行100次轰炸，每次轰炸命中目标的炸弹数目是一个随机变量，其期望值为2，方差为。求在100次轰炸中有180到220颗炸弹命中目标的概率。例3、计算机在进行加法时每个加数取整数（取最为接近于它的整数），设所有的取整误差是相互独立的，且它们都在，0.5]上服从均匀分布。求：（1）若将1500个数相加，误差总和的绝对值超过15的概率是多少？（2）最多几个书加在一起可使得误差总和的绝对值小于10的概率不超过90%？定理2(棣莫佛－拉普拉斯定理）

设随机变量~B(n,p)(0<p<1)，则有（1）局部极限定理：当时，（2）积分极限定理：当时，拉普拉斯定理表明：当n充分大时，二项分布以正态分布为极限。拉普拉斯定理的重要应用：近似计算二项分布。也就是说，若~B(n,p)，则当n充分大时，近似地服从标准正态分布。例4、10部机器独立工作，每部停机的概率为。求3部机器同时停机的概率。例5、设电站供电网有10000盏电灯，夜晚每一盏灯开灯的概率都是，而假定开、关时间彼此独立，估计夜晚同时开着的灯数在6800与7200之间的概率。某单位有200部分机,每部约有5%的时间要使用外线通话.设每部是否使用外线通话是相互独立的.求:该单位总机至少需要安装多少条外线才能以90%以上的概率保证每部需要使用外线时可以打通?例6、P{每部需要使用外线时可以打通}=P{使用外线的数目≤k}=P{X1+X2++X200≤k}求最小的k,使P{每部需要使用外线时可以打通}≥90%求最小的k,使P{X1+X2++X200≤k}≥90%求最小的k,使∴该单位总机至少需要安装14条外线.某市公司开办一年人身业务.被人每年需交付费160元.若一年内发生重大人身事故,其本人或家属可获2万元赔金.己知该市人员一年内发生重大人身事故的概率为0.005.现有5000人参加此项.求:公司一年内从此项业务所得到的总收益在20万元到40万元之间的概率.解:

例4∴

Xi∼b(1,p).P=0.005X1,X2,

,X200相互独立.则:P{20万元≤总收益≤40万元}=P{20万元≤万元费参保人数-2万元赔金一年内发生重大人身事故的人数≤40万元}=P{20≤5000-2(X1+X2++X5000)≤40}∵

np=25np(1-p)=25

∴总收益在20万元到40万元之间的概率为0.6826.不知大家是否还记得街头赌博的演示?

现在我们用中心极限定理来揭穿这个赌博中的奥秘.请看演示：高尔顿钉板试验的理论解释

街头赌博

再看演示请点击如图,钉板有n=16层，可以求出标准差

n次碰钉后小球的位置Yn近似服从正态分布N(0,n).E(Yn)=0,Var(Yn)=n.左右8颗钉子以内的概率近似为95.6%,根据正态分布的查表计算知道,落在2以内即中线

说,落在这以外的概率只有4%左右.即是如图钉板有n=16层，可以求出标准差

根据正态分布的查表计算知道,落在2以内即中线左右8颗钉子以内的概率近似为95.6%,即是说,落在这以外的概率只有4%左右.现在你知道为什么摆摊的人敢于在上面放那么值钱的东西了吧!这一讲我们介绍了中心极限定理

在后面的课程中，我们还将经常用到中心极限定理.

中心极限定理是概率论中最著名的结果之一，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释为什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲线这一值得注意的事实.每年进入夏季，由于气温高、湿度大，对幼儿的照顾要特别注意，以下是出国留学网为您搜集整理的育儿健康小常识1.不是所有宝宝都需额外补充维生素很多家长会问，孩子多大需要开始补充维生素?小婴儿是否需要补充维生素?刘主任表示，孩子多大补充维生素没有明确的界定，如果宝宝是吃母乳或奶粉，一般营养物质都足够、全面，不需要额外补充维生素，如果出现了某些症状，如缺乏维生素B或维生素C等，再有针对性的补充会更好。维生素D可以促进钙的吸收，小婴儿也应该补充，特别是纯母乳喂养的宝宝，如果没有补充维生素D，常带宝宝晒太阳，也可以转化为维生素D，从而促进钙的吸收。给宝宝晒太阳，一般每天半小时到1小时，注意不要遮挡着晒太阳，如果是戴太阳帽、打伞或擦防晒霜等，起不到晒太阳的效果。2.不能用维生素补充剂代替蔬菜水果有的家长认为，都是补充维生素，用维生素补充剂方便多了，因此就用维生素补充剂代替水果和蔬菜。刘主任表示，只要条件允许，应尽量从食物中摄取维生素，如果是因为某些特殊情况导致不能全面有效获得维生素，则可以考虑食用维生素补充剂。而且维生素补充剂是不能代替蔬菜和水果的。因为蔬菜、水果中的各种维生素是按一定比例存在的天然成份，是多种维生素的集合体;而维生素制剂多数是人工合成的，两者在性质上会有所差别。蔬菜、水果除了含有维生素外，还含有一些虽然对人体的作用与维生素类似的天然物质，如叶绿素、胡萝卜素等。此外蔬菜中含有矿物质、微量元素、碳水化合物、纤维素等非维生素类营养成份。3.维生素补充剂含有的维生素种类不是越多越好有的家长容易陷入一个误区，认为既然要补，那就补得全面一点，总给宝宝吃综合性维生素。刘主任表示，维生素补充剂并不是所含种类越多越好。刘主任建议，对于挑食特别厉害的宝宝，吃东西的品种少，可以选择补充综合性维生素剂;如果是缺乏某些维生素，建议有针对性地补充更合适;如果只是缺乏某一种维生素，没必要补充综合维生素制剂，因为有的维生素会产生蓄积中毒的情况。4.维生素应从正规渠道购买如果是身体缺乏维生素的话，还是要在医生的指导下服用维生素药品，如果是出于保健的需求，可以服用保健品5.维生素补多久补多少最好由医生判断给宝宝补充维生素一定要注意用量，特别是维生素缺乏者，最好由医生判断该如