微分几何2-4知识研讨

单击此处编辑母版副标题样式单击此微处分编几辑母何版标题样式*1第二章曲面:局部理论第一节 参数曲面和第一基本形式第二节 Gauss映射和第二基本形式第三节 G-C方程和曲面基本定理第四节 协变微分,平行移动和测地线第二章曲面:局部理论第四节 协变微分，平行移动和测地线曲面的内蕴几何概念之一：“平行移动”。 如何比较曲面上任意两点的切向量?怎么判断它们是否平行？第二章曲面:局部理论定义:给定正则参数曲面 ，向量函数称为 上一个（切）向量场，如果它满足（1）（2）对于曲面任意的正则参数表示函数 都是连续可微的。第二章曲面:局部理论的切向量例1 单位球面 上任意一个大圆场 是单位切向量场,恰好是指向球心,所以球面上大圆的切向量场沿着大圆平行。另外常向量场 沿着球面的赤道平行。第二章曲面:局部理论例2

曲面

上参数曲线上对应的切向量场的协变导数恰好可以由Christoffel记号表示。在给定局部参数表示

下第二章曲面:局部理论命题

设线,且存在唯一的平行向量场使得是曲面 上一条参数曲,切向量 。则沿着。证明:不妨设曲线 包含在某个参数表示中，有 。进一步假设第二章曲面:局部理论由于 ,我们计算第二章曲面:局部理论是沿着 的平行向量场当且仅当是下列方程组的解:由微分方程解的存在唯一性定理,只要取定了,使得 ,我们就得到唯一的平行向量场 满足。第二章曲面:局部理论线,且起始点为定义

设

是曲面

上一条参数曲。是沿 的平行向量场,则向量称为沿

到点

的平行移动。·之前的命题的存在唯一性结论保证了平行移动定义的合理性。·如果曲线不依赖于是正则的,则平行移动的参数表示。第二章曲面:局部理论例3

单位球面上纬线圆,考虑向量 从点出发沿着纬线逆时针的平行移动。第二章曲面:局部理论解:将单位球面Christoffel记号的计算结果带入方程(eq-1)中得到加上初始值条件,解得。平行移动保持切向观察到量的长度不变？第二章曲面:局部理论命题

假设

和

是沿行向量场,则内积的两个平为常数。推论

平行移动保持向量的长度和夹角。沿 平行,则 与证明:向量场平行，则同理第二章曲面:局部理论平面中“直线”在曲面的推广－－“测地线”。曲面上两点之间的最短连线是什么？定义 曲面 上一条非常值参数曲线称为测地线（geodesic），如果切向量场沿 平行，即测地线满足以引进弧长参数,参数曲线正则,可。第二章曲面:局部理论曲面上以弧长为参数的测地线的曲率向量在曲面的切平面上投影为零,即测地线在每点的主法向量与曲面的法向量平行。这里曲线的曲率向量在曲面法向量上的投影恰好是曲线的法曲率。第二章曲面:局部理论曲面 上一条弧长参数曲线在考虑法曲率时,我们实际上引入了有别于Frenet标架的另一个标架 （Darboux标架）。第二章曲面:局部理论此时,曲率向量可以分解为是曲率其中法曲率 是曲率的法分量,而的切分量,称为曲面上曲线的测地曲率（geodesic curvature)。·曲线是曲面测地线当且仅当它的测地曲率为零。例1证明球面上的大圆是测地线。第二章曲面:局部理论定理（Liouville公式）假设上的正交参数表示,是曲面是

上的一条曲线,其中 是弧长参数。假定曲线 与曲线的夹角为 ,则曲线

的测地曲率为第二章曲面:局部理论证明: 曲线和 曲线的单位切向量为曲线 的切向量夹角 满足Darboux标架中第二章曲面:局部理论曲率向量计算测地曲率得到其中第二章曲面:局部理论曲线的测地于是定理成立。特别的, 曲线和曲率分别为因此Liouville公式可以改写成■第二章曲面:局部理论一般情况,利用(eq-1),其中我们得出测地线满足方程由常微分方程组解的存在唯一性得到以下推论第二章曲面:局部理论命题

在曲面

上给定点

和非零切向量存在

和唯一的测地线

满足由上面命题中的唯一性可推出球面上测地线只能是大圆；平面上的测地线只能是直线。第二章曲面:局部理论定理

测地线在局部上使得弧长极小。证明思路:曲面 上取定任意一点 和过点并且与的测地线

。假设

是

上过点正交的曲线。我们可以构造曲面局部参数表示满足

,并且曲线都是与

正交的测地线；曲线与

曲线正交。第二章曲面:局部理论第二章曲面:局部理论对于曲线 上任意一点 ,考察曲面上 和 的连线,不妨设其有参数表示曲面的第一基本量在此构造下满足（习题2）第二章曲面:局部理论则

的弧长满足其中

是连接

和

的测地线