《数学（第8版 上册）》 课件 第4章 三角函数

三角函数第4章123目录4.1角的概念的推广4.2任意角的三角比4.3三角比的诱导公式4.4三角函数的图像与性质4.5正弦型函数124学习目标1.了解任意角的概念，会在直角坐标系中作任意角.2.理解弧度制是用实数表示角的一种制度，会进行角度与弧度的换算.3.会用三角比的定义和同角三角比的关系来求已知角的正弦、余弦和正切的值；会用计算器求任意角的三角比的值.4.会利用诱导公式把任意角的三角比的值化为锐角的三角比的值.5.会用五点法作正弦函数、余弦函数和正弦型函数的图像，并能根据图像得到它们的性质；会用描点法作正切函数的图像，并能根据图像得到它的性质.6.能通过三角函数的学习，认识周期现象的变化规律，并能用其解释一些自然现象.1254.1角的概念的推广126实例考察（1）如图a所示，公园里的摩天轮，选定一个机械臂的起始位置作为始边，如果机械臂从这个起始位置旋转一周，就说它转过了360°，那么当它转过一周半或者转过两周时，它转过了多少度呢？（2）如图b所示，如果时钟快了2h，应该如何校准？

校准过程中分针相对起始位置转过了多少度？

如果时钟慢了2h呢？1274.1.1角的概念的推广我们规定：

按上述规定，我们就把角的概念推广到了任意角.128例如，摩天轮的机械臂转过一周半转了540°，转过两周转了720°；时针快2h，分针校准时旋转-720°，慢2h，分针校准时旋转720°.为了能准确地表示一个角，我们在画角的时候，不仅要表示出旋转方向，而且要把形成这个角的旋转过程表示出来.例如，在下图中，正角α=600°，负角β=-60°.1294.1.2象限角与终边相同的角为了方便，我们常把角放到平面直角坐标系中进行讨论.以平面直角坐标系xOy的原点O

为角的顶点，让角的始边与x

轴的正半轴重合，这时角的终边落在坐标系中的第几象限，就说这个角是第几象限角.如果一个角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.例如，在下图中，45°角是第一象限角，-240°角是第二象限角，585°角是第三象限角，300°角是第四象限角，90°角与-180°角不是象限角.130131

在0°~360°范围内，各象限角的范围如图所示.132

在同一直角坐标系中，画出30°，390°，750°，-330°角，如图所示.133

从上图可以看出，390°，750°，-330°角的终边都与30°角的终边相同.我们把它们称为与30°角终边相同的角，而且，30°=30°+0×360°，390°=30°+1×360°，750°=30°+2×360°，-330°=30°+（-1）×360°.134135这样我们可以得到与30°角终边相同的角（含30°角在内）的一般表达式β=30°+k·360°，k∈Z.4.1.3弧度制在初中，我们把圆周分成360等份，每一份称为1度的弧，1度的弧所对的圆心角称为1度（1°）的角.我们还知道1°=60'，1'=60″.这种度量角的单位制称为角度制.在数学和工程实际中还常用另一种度量角的单位制———弧度制.我们规定：136如图所示，AB

弧的长度等于圆O

的半径r，则AB

弧所对的圆心角为1rad的角.根据以上规定，在半径为r的圆中，长度为l的圆弧所对的圆心角α的大小是rad，即由于圆周的长度是2πr，在弧度制下它所对的圆心角的大小是因为圆周角用角度表示为360°，所以可得出360°=2πrad.137由此可得到度与弧度的换算公式：角的弧度数用实数表示，而且，任何一个角的弧度数必定是唯一确定的实数；反过来，任何一个实数也都可以看作是一个弧度数，它对应唯一确定的一个角.因此，角（弧度制表示）的集合与实数集R之间建立了一一对应关系，如图所示.1384.2任意角的三角比139实例考察在上一节的学习中，我们推广了角的概念，并介绍了在直角坐标系中研究角的方法，这种方法是否也能使锐角三角比的概念推广到任意角的三角比呢？下面我们来考察在直角坐标系中的锐角三角比.在直角三角形中

如图所示，在直角三角形OPM

中，∠M

是直角.锐角α的对边是a，邻边是b，斜边是c，则有140在直角坐标系中

如图所示，在锐角α的终边上任取一点P（原点除外)，过点P作x轴的垂线，垂足为

M，这样就得到了直角三角形OPM.设点P

的坐标为

(x，y)，则角α的对边MP

的长是y，邻边OM

的长是x，斜边OP的长是r.其中r=(r>0).由此，得到1414.2.1任意角的三角比在直角坐标系中，锐角三角比可以用其终边上点的坐标来定义.这种方法同样适用于定义任意角的三角比.如图所示，在任意角α的终边上任取一点P，设点P

的坐标为（x，y），OP=r，则142我们这样定义三角比：如图所示，由相似三角形的性质，可知比值（x≠0）只依赖于角α的大小，与点P

在角α的终边上的位置无关.必须指出，当α=+kπ（k∈Z）时，点P

的横坐标x=0，此时tanα没有意义.除此以外，对于每一个确定的角α，三个三角比都有意义.143下面给出了一些特殊角的三角比的值，记住它们对于解决实际问题会有很大帮助.1444.2.2三角比值的符号我们知道，角α的终边上点P

坐标值的符号决定了角α的三角比值的符号，各三角比值在各个象限的符号列表如下：145如图所示，角α的终边与单位圆相交于点P（x，y），r=OP=1.由三角比的定义，得146根据点P

的横坐标x和纵坐标y的符号，可以确定当角α的终边在不同的象限时sinα，cosα与tanα的符号，如图所示.1474.2.3利用计算器求已知角三角比的值利用计算器求已知角三角比的值时，角的大小、正负可以是任意的；角的单位可以是度，也可以是弧度.因此，在计算三角比值之前，必须先使用

键，把计算器调到相应的状态.1484.2.4同角三角比的基本关系一般地，如图所示，设P（x，y）是角α的终边与单位圆O

的交点，则丨OP丨=1，sinα=y，cosα=x.因为丨OP丨=r=，所以sin2α+cos2α=x2+y2=1.

当α≠+kπ（k∈Z）时，由三角比的定义可得149

于是，得出同角三角比的基本关系：借助同角三角比的基本关系和三角比的定义，当我们知道一个角的某个三角比的值时，就可求出这个角的其他的三角比的值.另外，还可以利用它们来化简同角的三角式.1504.3三角比的诱导公式151实例考察角-α与角α的终边关于x轴对称.如图所示，在角α的终边上取一点P，使OP=1，设点P

的坐标为（x，y），则点P'（x，-y）必在角-α的终边上，那么-α的三角比和α的三角比之间有什么联系？

三角比的诱导公式可以帮你解密.152

对于任意角α，在直角坐标系中，角α+2kπ（k∈Z），-α，π+α，π-α的终边与角α的终边有着特殊的关系.我们可以用几个公式表达上述关系.这些公式称为诱导公式.4.3.1有关α+2kπ（k∈Z）的诱导公式我们知道，在直角坐标系中，角α+2kπ（k∈Z）与角α的终边相同.根据三角比的定义，它们的同名三角比的值相等，即

利用公式一，我们能将任意角的三角比化为[0，2π）内的角的三角比.1534.3.2有关-α

的诱导公式在角α的终边上取一点P，使OP=1，设点P的坐标为（x，y），则点P'（x，-y）必在角-α

的终边上，且OP'=1.因为r=1，所以154由此，得到有关-α的诱导公式：利用公式二，我们能将任意负角的三角比转化为正角的三角比.由公式一和公式二得：sin（2π-α）=sin（-α+2π）=sin（-α）=-sinα，cos（2π-α）=cos（-α+2π）=cos（-α）=cosα，tan（2π-α）=tan（-α+2π）=tan（-α）=-tanα.155

由此，得到2π-α的诱导公式：1564.3.3有关π±α

的诱导公式如图所示，把任意角α的终边按逆时针方向旋转π弧度，就得到了角π+α的终边.从下图中可以看出，角π+α的终边与角α的终边关于原点对称.在角α的终边上取一点P，使OP=1，设点P

的坐标为（x，y），则点P'（-x，-y）必在角π+α的终边上，且OP'=1.所以157由此，得到有关π+α的诱导公式：由公式四和公式二得sin（π-α）=sin[π+（-α）]=-sin（-α）=sinα，cos（π-α）=cos[π+（-α）]=-cos（-α）=-cosα，tan（π-α）=tan[π+（-α）]=tan（-α）=-tanα.158由此，得到有关π-α的诱导公式：159利用三角比的诱导公式将任意角的三角比化为锐角三角比，一般可按下面步骤进行：1604.4三角函数的图像与性质1614.4.1正弦函数y=sinx

的图像与性质正弦函数y=sinx

的图像先用描点法画出y=sinx在区间[0，2π]上的图像.列表：用计算器计算表中的正弦函数值（精确到0.01），并填入表中.162描点：以表中对应x，y

值为坐标，在坐标系中描点.连线：将所描各点顺次用光滑曲线连接起来，即完成所画的图像.如上图b所示为用计算机软件绘制的正弦函数在区间[0，2π]上的图像.请照此核对你画的图像.163正弦函数的定义域是R，因此我们需要将y=sinx（x∈[0，2π]）的图像向两边扩展.现在，我们再利用“描点法”在同一坐标系中继续画出正弦函数

y=sinx

在区间[-2π，0]上的图像（即下图中y轴左侧的曲线）.164从上图可以看到，正弦函数在区间[-2π，0]和[0，2π]上的图像形状完全相同，只是位置不同.因此，y=sinx

在区间[-2π，0]上的图像，可以看作是把y=sinx在区间[0，2π]上的图像向左平移2π个单位得到的.事实上，由于终边相同的角的正弦函数值相等，即sin（x+2kπ）=sinx，k∈Z.正弦函数y=sinx

在区间…，[-6π，-4π]，[-4π，-2π]，[-2π，0]，[2π，4π]，[4π，6π]，…上的图像，都与它在区间[0，2π]上的图像形状完全一样，只是位置不同.我们把正弦函数y=sinx

在区间[0，2π]上的图像向左、右分别平移2π，4π，6π，…个单位，就能得到正弦函数

y=sinx（x∈R）的图像.165我们把正弦函数y=sinx（x∈R）的图像称为正弦曲线.由y=sinx（x∈[0，2π]）的图像可以看出，下面五个点在确定图像形状时起着关键作用：这五个点描出后，正弦函数y=sinx（x∈[0，2π]）的图像形状就基本上确定了.今后，当对精确度要求不高时，我们只需描出这五个关键点，用光滑的曲线顺次连接它们就可得到正弦函数在[0，2π]上的图像.像这样画正弦函数图像的方法称为五点法作图.166正弦函数y=sinx

的性质（1）定义域：正弦函数y=sinx的定义域是R.（2）值域：正弦函数y=sinx的值域是[-1，1].通过分析正弦函数的图像可知：当x=+2kπ（k∈Z）时，正弦函数y=sinx

取得最大值1，即

ymax=1；当

x=+2kπ（k∈Z）时，正弦函数y=sinx取得最小值-1，即ymax=-1.（3）周期性：一般地，对于函数y=f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）=f（x）.那么，函数f（x）就称为周期函数.非零常数T称为这个函数的周期.167我们知道，对于任意实数x都有sin（2kπ+x）=sinx（k∈Z），所以正弦函数y=sinx

是一个周期函数，并且…，-6π，-4π，-2π，2π，4π，6π，…都是它的周期.我们把所有周期中最小的正数2π称为正弦函数y=sinx

的最小正周期.今后，如果不特别说明，函数的周期均指最小正周期.因此，正弦函数y=sinx是周期函数，周期T=2π.函数的周期性在图像上的反映是同一形状的图形重复出现.因此，周期函数一般只要画一个周期的图像就可以了.（4）奇偶性：因为正弦函数y=sinx的图像关于原点对称，所以正弦函数y=sinx是奇函数.168（5）单调性：观察正弦曲线在一个周期

上的图像：当x由

增大到

时，曲线逐渐上升，函数y=sinx的值由-1增大到1；当x

由

增大到

时，曲线逐渐下降，函数y=sinx的值由1减小到-1.因此，正弦函数y=sinx在区间

上单调递增，在区间

上单调递减.（6）与x轴的交点：当x=kπ（k∈Z）时，y=sinx=0.因此，正弦函数与x轴的交点的横坐标是x=kπ（k∈Z）.1694.4.2余弦函数y=cosx

的图像与性质余弦函数y=cosx

的图像

先用描点法画出y=cosx在区间[0，2π]上的图像.列表：用计算器计算表中的余弦函数值，并填入表中（精确到0.01）.描点：以表中对应x，y

值为坐标，在坐标系中描点.170连线：将所描各点顺次用光滑曲线连接起来，即完成所画图像.如上图b所示为用计算机软件绘制的余弦函数在区间[0，2π]上的图像.请照此核对你画的图像.171因为余弦函数y=cosx的定义域是R，而且终边相同的角的余弦函数值相等，即cos（2kπ+x）=cosx，k∈Z.所以，与画正弦函数的图像类似，我们同样可以把余弦函数y=cosx在区间[0，2π]上的图像向左、右分别平移2π，4π，6π，…个单位，从而得到余弦函数y=cosx（x∈R）的图像.172余弦函数y=cosx（x∈R）的图像称为余弦曲线.由y=cosx（x∈[0，2π]）的图像可以看出，下面五个点在确定图像形状时起着关键作用：因此，y=cosx（x∈[0，2π]）的图像也能用五点法画出.173余弦函数y=cosx

的性质

（1）定义域：余弦函数y=cosx的定义域是R.（2）值域：余弦函数y=cosx的值域是[-1，1].同时，通过分析余弦函数的图像可知：当x=2kπ（k∈Z）时，余弦函数y=cosx

取得最大值1，即ymax=1；当x=（2k+1）π（k∈Z）时，余弦函数y=cosx取得最小值-1，即ymin=-1.（3）周期性：从余弦曲线可以看出，余弦函数具有周期性，因此，余弦函数y=cosx是周期函数，周期T=2π.（4）奇偶性：余弦函数y=cosx（x∈R）的图像关于y轴对称，余弦函数y=cosx是偶函数.174（5）单调性：观察余弦曲线在一个周期[0，2π]上的图像，当x由0增大到π时，曲线逐渐下降，函数y=cosx的值由1减小到-1；当x由π增大到2π时，曲线逐渐上升，函数y=cosx的值由-1增大到1.因此，余弦函数y=cosx在区间[0，π]上单调递减，在区间[π，2π]上单调递增.（6）与x轴的交点：当x=kπ+（k∈Z）时，y=cosx=0，因此，余弦函数与x轴交点的横坐标是1754.4.3正切函数y=tanx

的图像与性质正切函数y=tanx

的图像用描点法画出正切函数

y=tanx

在区间

上的图像.列表：用计算器计算表中的正切函数值（精确到0.01），并填入表中.176

描点：以表中对应x，y值为坐标，在坐标系中描点.177连线：将所描各点顺次用光滑曲线连接起来，即完成所画的图像.如上图b所示为用计算机软件绘制的正切函数在区间

上的图像.请照此核对你画的图像.

观察上图，我们发现正切函数

y=tanx

在区间

上的图像和在区间

上的图像完全相同，只是位置不同.因此，y=tanx在区间

上的图像，可以看作是把y=tanx在区间

上的图像向右平移π个单位得到的.178事实上，由于tan（kπ+x）=tanx（x∈Z），因此，我们只要把正切函数y=tanx在x∈上的图像向左、右分别平移π，2π，3π，…个单位，就能得到正切函数的图像，即正切曲线，如图所示.179正切函数y=tanx

的性质

（1）定义域：正切函数y=tanx的定义域是（2）值域：由正切曲线可知，函数y=tanx的值域为