专题02 二次根式【考点巩固】（解析版）

专题02二次根式（时间：60分钟，满分120分）一、填空题（每题3分，共30分）1．（2021·湖南）将化为最简二次根式，其结果是（）A． B． C． D．【分析】根据二次根式的化简方法即可得．【详解】解：原式，，故选：D．2．（2022·贵州贵阳）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≥3 B．x≤3 C．x＞3 D．x＜3【答案】A【详解】解：由题意得．解得x≥3，故选：A．3．下列各式中正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【分析】分别根据算术平方根、立方根性质化简，利用二次根式加减法则计算即可判断．【详解】解：A．，故选项A不合题意；B.，故选项B不合题意；C.不等于2，故选项C不合题意；D.，故选项D符合题意．故选D．5．（2022·河北）下列正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据二次根式的性质判断即可．【详解】解：A.，故错误；B.，故正确；C.，故错误；D.，故错误；故选：B．6．（2022·湖北恩施）函数的自变量x的取值范围是（

）A．B．C．且D．【答案】C【分析】根据分式有意义的条件与二次根式有意义的条件得出不等式组，解不等式组即可求解．【详解】解：∵有意义，∴，解得且，故选C．7．（2022·重庆南开中学三模）估计的值在（

）A．4和5之间 B．5和6之间C．6和7之间 D．7和8之间【答案】D【分析】利用二次根式的混合运算法则将原式化简，再进行无理数的估算即可．【详解】解：==∵25<30<36，∴5<<6，∴7<<8，即的值在7和8之间，故选：D．8．（2022·上海崇明·二模）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么x的值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根据最简二次根式的定义：二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式．进行求解即可．【详解】∵最简二次根式与是同类二次根式，∴，∴，故选：D．9．（2022·湖南常德）我们发现：，，，…，，一般地，对于正整数，，如果满足时，称为一组完美方根数对．如上面是一组完美方根数对．则下面4个结论：①是完美方根数对；②是完美方根数对；③若是完美方根数对，则；④若是完美方根数对，则点在抛物线上．其中正确的结论有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据定义逐项分析判断即可．【详解】解：，是完美方根数对；故①正确；不是完美方根数对；故②不正确；若是完美方根数对，则即解得或是正整数则故③正确；若是完美方根数对，则,即故④正确故选C10．（2022·广东番禺中学三模）若，则等于（

）A．1 B．5 C． D．【答案】A【分析】直接利用二次根式中被开方数是非负数，得出x的值，进而得出y的值，再利用有理数的乘方运算法则计算即可．【详解】解：由题意可得：，解得：x＝2，故y＝-3，∴．故选：A．二、填空题（每题4分，共28分）11．（2022·湖北武汉）计算的结果是_________．【答案】2【分析】根据二次根式的性质进行化简即可．【详解】解：．故答案为：2．12．（2022·广西）化简：=_____．【答案】【分析】根据，计算出结果即可．【详解】解：．故答案为：．13．（2022·湖南娄底）函数的自变量的取值范围是_______．【答案】【分析】由有意义可得：再解不等式可得答案．【详解】解：由有意义可得：即解得：故答案为：14．一个三角形的三边长a，b，c满足|a﹣8|++（c﹣10）2＝0，则这个三角形最长边上的高为___．【答案】4.8【分析】首先根据非负数的性质求得a、b、c，然后根据勾股定理的逆定理判断这个三角形是直角三角形，再根据直角三角形的面积公式求最长边上的高．【详解】解：∵|a﹣8|++（c﹣10）2＝0，∴a-8=0，b-6=0，c-10=0，∴a=8，b=6，c=10，∵62+82=102，∴该三角形是直角三角形，∴这个三角形最长边上的高为：=4.8，故答案为：4.8．15．（2022·四川广安·二模）如图所示，化简的结果是___________．【答案】-2【分析】根据数轴即可判断a和b的取值范围，即可判断的符号，最后利用二次根式的性质去根号即可化简．【详解】解：由数轴可知，∴，，∴原式．故答案为：-2．16．（2022·湖北随州）已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值．设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最小值为______，最大值为______．【答案】

3

75【分析】根据n为正整数，是大于1的整数，先求出n的值可以为3、12、75，300，再结合是大于1的整数来求解．【详解】解：∵，是大于1的整数，∴．∵n为正整数∴n的值可以为3、12、75，n的最小值是3，最大值是75．故答案为：3；75．17．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S＝eq\r(\f(1,4)[a2b2－（\f(a2＋b2－c2,2)）2]).已知△ABC的三边长分别为eq\r(6)，2，2，则△ABC的面积为．【解析】直接利用公式结合二次根式的性质化简得出答案．△ABC的面积为：eq\r(\f(1,4)[（\r(6)）2×22－（\f(6＋22－22,2)）2])＝eq\f(\r(15),2).三、简答题（共66分）18.（8分）计算：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）1【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可；（2）先把括号内的二次根式化为最简二次根式，然后合并，再计算除法．【详解】解：（1）==；（2）===119.（8分）计算：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）【分析】（1）先利用二次根式的性质化简，再计算乘除法；（2）先算乘法，将括号展开，再合并．【详解】解：（1）===；（2）==20.（8分）计算：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）7【分析】（1）先将括号展开，再计算乘法，同时化简，最后合并同类二次根式；（2）先计算负指数幂，零指数幂和乘法，再算加减法．【详解】解：（1）===；（2）===721.（12分）观察下列等式：；；；按照上述规律，回答以下问题：（1）请写出第6个等式：________________；（2）请写出第n个等式：________________；（3）求的值．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）（2）从等式中找出规律，比如第三个等式：3×2-1=5，3×2+1=7，3就是a3的3，5就是，7就是，即可得出答案；（3）根据上面的规律得出通分，观察分子中的项，互为相反数相加得0便可解出．【详解】解：（1）观察，如的下标3，与中被开方数，5和7得出：3×2-1=5，3×2+1=7，即7等于下标的2倍加1，5等于下标的2倍减1；，故答案是：；（2）由（1）知，第n个等式的下标是n，被开方数分别为2n+1，2n-1，所以第n个等式，故答案是：；（3）．22．（12分）阅读下面的材料：小明在学习完二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3＋2eq\r(2)＝(1＋eq\r(2))2.善于思考的小明进行了以下探索：设a＋eq\r(2)b＝(m＋eq\r(2)n)2(其中a，b，m，n均为正整数)，则有a＋eq\r(2)b＝m2＋2n2＋2eq\r(2)mn.所以a＝m2＋2n2，b＝2mn.这样小明就找到了一种把类似a＋eq\r(2)b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a，b，m，n均为正整数时，若a＋eq\r(3)b＝(m＋eq\r(3)n)2，用含m，n的式子分别表示a，b，得a＝________，b＝________；（2）利用所探索的结论，找一组正整数a，b，m，n填空：______＋______eq\r(3)＝(______＋______eq\r(3))2；（3）若a＋4eq\r(3)＝(m＋eq\r(3)n)2，且a，m，n均为正整数，求a的值．【答案】(1)m2＋3n2；2mn(2)16；8；2；2(答案不唯一)(3)由题意得a＝m2＋3n2，4＝2mn.因为m，n为正整数，所以m＝2，n＝1或m＝1，n＝2.所以a＝22＋3×12＝7或a＝12＋3×22＝13.综上可知，a的值为7或13.23.（12分）先阅读，后解答：；像上述解题过程中，与相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化，（1）的有理化因式是；的有理化因式是．（2）将下列式子进行分母有理化：①=