苏教版高中数学必修第一册全册课件

苏教版高中数学必修第一册全册教学课件2.1命题、定理、定义一、命题定义可判断真假的陈述句叫作命题.【思考】根据命题的定义思考,命题可分为哪几类?提示：一类是判断为真的命题，即真命题；另一类是判断为假的命题，即假命题.(1)如果两条平行直线被第三条直线所截，那么同位角相等!(2)有一个内角是60°的等腰三角形是正三角形；(3)如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等；例如：(4)对顶角相等；(5)若x2＝1，则x＝1；(6)若一个三角形是直角三角形，则这个三角形的两个锐角互余.其中语句(1)(2)(4)(6)判断为真，语句(3)(5)判断为假.因而它们都是命题.●观察上述命题中的(1)(3)(5)(6)，这些命题具有怎样的表示形式?观察上述命题中的(1)(3)(5)6)可以发现，这些命题都具有“如果p，那么q”或“若p，则q”的形式.命题(1)中：p

是“两条平行直线被第三条直线所截”，q是“同位角相等”；命题(3)中：p是“两个三角形的面积相等”，q是“这两个三角形全等”；命题(5)中：p

是“x2＝1”，q

是“x＝1”；等等.例如：数学中，许多命题可表示为“_________________”

或“____________”的形式，其中______叫作命题的条件，________

叫作命题的结论.一般形式如果p，那么q若p，则q

pq例1指出下列命题中的条件p和结论q：(1)若ab

＝0，则a

＝0；(2)若a＜0，则a＞0；解：p：ab

＝0，q：a＝0.解：p：a＜0，q：∣a∣＞0.(3)如果二次函数y＝x2＋k

的图象经过坐标原点，那么k＝0；(4)如果两个三角形的三边分别对应相等,那么这两个三角形全等.解：p：二次函数y＝x2＋k的图象经过坐标原点，q：k＝0.解：p：两个三角形的三边分别对应相等，q：这两个三角形全等.例2将下列命题改写成“若p，则q”(或“如果p，那么q”)的形式：(1)有一个内角是60°的等腰三角形是正三角形；解：

若一个等腰三角形有一个内角是60°，

则这个三角形是正三角形.(2)对顶角相等；(3)平行四边形的对角线互相平分；解：若两个角是对顶角，则这两个角相等.解：如果一个四边形是平行四边形，

那么这个四边形的对角线互相平分.(4)对角线互相平分的四边形是平行四边形.解：如果一个四边形的对角线互相平分，

那么这个四边形是平行四边形.例3判断下列命题的真假：(1)若a＝b，则a2＝b2；(2)若a2＝b2，则a＝b；解：当a＝b时，显然有a2＝b2.所以，命题为真.解：当a＝1，b＝－1时，a2＝b2＝1，即由a2＝b2，

不能推出a＝b.所以，命题为假.(3)全等三角形的面积相等；解：由全等三角形的定义可知，当两个三角形全等时，

这两个三角形的面积一定相等.所以，命题为真.(4)面积相等的三角形全等.解：如图，直角三角形ABC

与等腰三角形A′BC同底等高，这两个三角形的面积相等，但这两个三角形不全等.所以，命题为假.二、定理的含义(1)已经被证明为真的命题；(2)可以作为推理的依据而直接使用.三、定义的含义和特点定义对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵.例如：“两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形”.特点用已知的对象及关系来解释、刻画陌生的对象，并加以区别.例如：“平行四边形”就是通过“四边形”与两组“对边”分别“平行”来描述的.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“✔”，错的打“✘”)(1)疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题.(

)

(2)定理都是真命题.(

)(3)命题“当x∈R时，x2是正数”是真命题.(

)✔✔✘命题都是陈述句.定理是已经被证明为真的命题.当x＝0时x2＝0，故此命题是假命题.2.将命题“互为相反数的两个数之和等于0”改写成“如果p，那么q”的形式：__________________________________________.

如果两个数互为相反数,那么这两个数的和为0

①④解析：①是真命题；②是假命题，5不能被3整除；③是假命题，例如a＝－1和b＝－2时，ab是正整数，但a，b都是负整数；④是真命题.解析【解题策略】1.将命题改写为“若p，则q”形式的方法及原则.2.命题改写中的注意点若命题不是以“若p，则q”这种形式给出时，首先要确定这个命题的条件p

和结论q，进而再写成“若p，则q”的形式.【跟踪训练】1.下列语句中，是命题的个数是 (

)

①|x＋2|；②－5∈Z；③π∉R；④{0}⫋N.A.1 B.2 C.3 D.4C解析：①不能判断真假，不是命题；②③④能判断真假，是命题.解析2.命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是(

)A.这个四边形的对角线互相平分B.这个四边形的对角线互相垂直C.这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直D.这个四边形是平行四边形C解析：把命题改写成：若一个四边形是平行四边形，则这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直，由此可知C正确.解析3.将命题“末位数字是4的整数一定能被2整除”改写成“若p，则q”的形式为：

_____________________________________________.

若一个整数的末位数字是4，则它一定能被2整除

(1)(2)(4)解析：(1)能判断真假，是命题；(2)能判断真假，是命题；(3)不能判断真假，不是命题；(4)能判断真假，是命题；(5)是疑问句，不是命题.解析5.把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假：(1)等腰三角形的两个底角相等；命题可改写成：若一个三角形是等腰三角形,则两个底角相等,真命题.(2)当x＝2或x＝4时，x2－6x＋8＝0；(3)已知x，y

为正整数，当y＝x＋1时y＝3，x＝2.命题可改写成：若x＝2或x＝4，则x2－6x＋8＝0，真命题.命题可改写成：已知x，y为正整数，若y＝x＋1，则y＝3，x＝2.假命题.练习1.写出下列命题的条件和结论：(1)如果两个三角形相似，那么这两个三角形的对应角相等；条件是“两个三角形相似”，结论是“这两个三角形的对应角相等”；(2)如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的对角相等；(3)若a，b都是偶数，则a＋b

是偶数；条件是“一个四边形是平行四边形”，结论是“这个四边形的对角相等”；条件是“a，b都是偶数”，结论是“a＋b是偶数”；(4)若两个实数的积为正数，则这两个实数的符号相同；(5)若a＝b，则a2＝ab；条件是“两个实数的积为正数”，结论是“这两个实数的符号相同”；条件是“a＝b”，结论是“a2＝ab”；条件是“q

＞－1”，结论是“方程x2＋2x－q＝0有实数解”“.(6)若q≥－1，则方程x2＋2－q＝0有实数解.2.将下列命题改写成“若p，则q”的形式：(1)绝对值相等的数也相等；(2)矩形的对角线相等；若两个数的绝对值相等，则这两个数相等.若一个四边形是矩形，则这个四边形的对角线相等.(3)角平分线上的点到角两边的距离相等；(4)两角分别相等的两个三角形相似.若一个点是角平分线上的点，则这个点到这个角两边的距离相等.若两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似.3.判断下列命题的真假：(1)若一个三角形中有两个角互余，则这个三角形是直角三角形；因为三角形的两个角互余，则另外一个角为直角，所以这个三角形是直角三角形.该命题为真命题.(2)若一个整数的个位数字是0，则这个数是5的倍数；因为一个整数的末位数字是0，所以这个数必是5的倍数.故该命题为真命题.(3)等腰三角形的底角相等；(4)矩形的对角线相等.因为这个三角形为等腰三角形，所以这个三角形的底角相等.故该命题为真命题.矩形的对角线相等且互相平分，所以该命题为真命题.习题2.1感受·理解1.写出下列命题的条件与结论：(1)如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应高相等；条件是“两个三角形全等”，结论是“这两个三角形对应的高相等”；(2)如果两个三角形的两边及其夹角分别相等，那么这两个三角形全等；(3)若一个四边形是菱形，则这个四边形的四边相等;条件是“两个三角形的两边及其夹角分别相等”结论是“这两个三角形全等”；条件是“一个四边形是菱形”，结论是“这个四边形的四边相等”；(4)若两条直线被一组平行线所截，则所得的对应线段成比例.条件是“两条直线被一组平行线所截”，结论是截得的对应线段成比例”.2.将下列命题改写成“若p，则q”的形式：(1)平面内垂直于同一条直线的两条直线平行；(2)平行于同一条直线的两条直线平行；在同一平面内，若两条直线垂直于同一条直线，则这两条直线平行.若两条直线平行于同一条直线，则这两条直线平行.(3)两个无理数的和是无理数；(4)乘积为正数的两个数同号；若两个数是无理数，则这两个数的和是无理数.若两个数的乘积为正数，则这两个数同号.(5)两个奇数的和是偶数；(6)矩形的四个角相等；若两个数均为奇数，则这两个数的和是偶数.若一个四边形是矩形，则这个四边形的四个角相等.(7)等腰三角形的两个底角相等；(8)直径所对的圆周角是直角.若一个三角形是等腰三角形，则它的两个底角相等.若圆中的一个圆周角是直径所对的圆周角，则这个圆周角是直角.思考·运用3.判断下列命题的真假：(1)若x2＋x－2＝0，则x＝1；∵x2＋x－2＝0，∴x＝1或x＝－2，(1)是假命题.(2)若x∈A∩B，则x∈A∪B；(3)若x＞1，则x2＞1；根据集合的交、并集运算的定义，(2)真命题.∵x＞1，∴x2＞1，(3)真命题

将原点坐标代入函数的解析式，得m＝0，(4)是真命题.

(6)若a＋b＞0，则a2＋b2＞0.∵a

＋b

＞0，a、b至少有一个大于零，∴a2＋b2

＞0，(6)是真命题.探究·拓展4.

考察下述推导过程，找出错误原因.若x

＝y，则有xy＝y2，从而有x2－xy

＝

x2－y2，即有x(x－y)＝(x＋y)(x－y).所以x

＝x

＋y.又因为x

＝y，所以x

＝2x.所以1＝2.解：推理中，由x(x－y)＝(x＋y)(x－y)得到x＝x＋y是错误的，错误原因在于有可能x－y＝0；由x＝2x

得到1＝2也是错误的，错误原因在于x有可能为0.同学们，通过这节课的学习，你有什么收获呢？谢谢大家爱心.诚心.细心.耐心，让家长放心.孩子安心。2.2充分条件、必要条件、充要条件一、命题真假与推出关系命题真假“若p，则q”为真命题“若p，则q”为假命题文字表述由p可以推出q成立由p不能推出q成立符号表示___________读法p推出qp不能推出q传递性如果p⇒q，q⇒s，那么_______p⇒qp⇏qp⇒s例如：(1)x＝y⇒

x2＝y2，但x2＝y2

⇏

x＝y；(2)x＞1⇒x2＞1，但x2＞1⇏x＞1；这里，“x＞1”表示“x是大于1的实数”；“S△ABC”表示“△ABC的面积”.(3)△ABC≌△A′B′C′⇒S△ABC＝S△A′B′C′，

但S△ABC

＝S△A′B′C′⇏△ABC≌△A′B′C′.●如果“p＝q”，那么p，q

之间有怎样的关系?分析(1)(2)(3)，可以发现，“p

⇒q”的含义是：一旦p

成立，q一定也成立.即p对q

的成立是充分的.也可以这样说：如果q

不成立，那么力一定不成立.即g对的成立是必要的.二、充分条件、必要条件推出关系p⇒q条件关系p是q的__________条件，q是p的__________条件.充分必要例1下列所给的各组p，q中，p是q的充分条件的有哪些?解：因为p⇒

q，所以p是q的充分条件.(1)p：x＝2，q：x2－x－2＝0；(2)p：四边形的对角线相等，q：四边形是正方形.解：因为p⇏q，所以p不是q的充分条件.(3)p：同位角相等，q：两条直线平行；(4)p：四边形是平行四边形，q：四边形的对角线互相平分.解：因为p⇒

q，所以p是q的充分条件.解：因为p⇒

q，所以p是q的充分条件.例2下列所给的各组p，q

中，p是q

的必要条件的有哪些?(1)p：∣x∣＝1，q：x＝1；(2)p：两个直角三角形全等，q：两个直角三角形的斜边相等；解：因为q⇒

p，所以p是q的必要条件.解：因为q⇏p，所以p不是q的必要条件.(3)p：同位角相等，q：两条直线平行；(4)p：四边形是平行四边形，q：四边形的对角线互相平分解：因为q⇒

p，所以p是q的必要条件.解：因为q⇒

p，所以p是q的必要条件.观察例1(3)和例2(3)、例1(4)和例2(4)，可以发现，其中既有p⇒q，也有q⇒p.三、充要条件定义推出关系p⇒q，且q⇒p，记作_______称为“p与q等价”或“p等价于q”.条件关系p是q的充分且必要条件，简称p是q的充要条件p⇔q

本质p是q的充分必要条件，也常说成p成立当且仅当q成立.应用充要条件是数学中非常重要的概念，应用充要条件可以从不同的角度来理解、刻画很多数学内容.“⇒”和“⇔”都具有传递性，即如果p⇒q，q⇒s，那么p⇒s；如果p⇔q，q⇔s，那么p⇔s.【思考】命题按条件和结论的充分性、必要性可分哪几类?提示：①充分必要条件(充要条件)，即p⇒q且q⇒p.②充分不必要条件，即p⇒q且q⇏p.③必要不充分条件，即p⇏q且q⇒p.④既不充分又不必要条件，即p⇏q且q⇏p.例3指出下列命题中，p是q的什么条件：(1)p：两个三角形全等，q：两个三角形的对应角相等；解：根据三角形全等的性质，得出两个三角形的对应角相等，所以p⇒q.反过来，由两个三角形的对应角相等，不能得出两个三角形全等.例如，两个等腰直角三角形，它们对应的角相等，但对应边不相等，这两个三角形就不全等.所以q⇏p.因此，p是q的充分条件，但p不是q的必要条件.(2)p：三角形的三边相等，q：三角形是等边三角形；解：根据等边三角形的定义，可知三边相等的三角形是等边三角形，所以

p⇒q.反过来，根据等边三角形的定义，可知等边三角形的三边相等.所以

q

⇒p.因此，p⇔q，即p是q的充要条件.(3)p：a2

＝b2，q：a

＝b；解：a2－b2

⇒

a2－b2＝0⇒(a－b)(a＋b)＝0⇒a－b＝0或a＋b＝0⇒a＝－b或a＝b，所以p⇏q.

反过来，a＝b⇒a－b＝0⇒(a－b)(a＋b)＝0⇒a2－b2＝0⇒a2＝b2，所以q

⇔p.因此，q

⇒

p，但p⇏q，即p是q的必要条件，但p不是q的充分条件.还可以通过举反例来说明，如22＝(－2)2，但2≠－2.(4)p：x

＞y，q：x2＞y2.解：取x＝1，y＝－2，此时，x＞y，但x2＜y2，所以p⇏q.反过来，取x＝－2，y＝－1，此时，x2＞y2，但x＜y，所以q

⇏p.因此，p

不是q

的充分条件，q也不是p的必要条件.四、性质定理、判定定理和数学定义(1)性质定理是指某类对象具有的具体特征.性质定理具有“_____________”.(2)判定定理是指对象只要具有某具体的特征，就一

定有该对象的所有特征.判定定理具有“_____________”.(3)数学定义既具有必要性也具有充分性.必要性充分性【基础小测】1.辨析记忆(对的打“✔”，错的打“✘”)(1)若A⊆B，则“x∈A”是“x∈B”的充分条件.(

)

(2)两个三角形相似的充要条件是两个三角形的三边对应成比例. (

)✔✔(3)若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的充要条件.(

)(4)如果p是q的充分条件，则p是唯一的.(

)✔✘不唯一，如x＞3，x＞5，x＞10等都是x＞0的充分条件.2.从符号“⇒”“⇏”“⇔”中选择适当的一个填空：

⇒⇔⇏3.从“充分”“必要”中选择适当的一个填空：(1)“x＞2”是“x＞3”的________条件；

(2)“四边形ABCD是正方形”是“四边形ABCD是菱形”

的________条件.

必要充分解析：(1)因为“x＞3”⇒“x＞2”，所以“x＞2”是“x＞3”的必要条件；(2)因为“四边形ABCD是正方形”⇒“四边形ABCD是菱形”，所以“四边形ABCD是正方形”是“四边形ABCD是菱形”的充分条件.解析【解题策略】(1)准确理解题意，明确证明方向①条件已知推出结论成立是充分性，结论已知推出条件成立是必要性.②“p是q的充分(必要)条件”有时也写为“q的充分(必要)条件是p”.充要条件的证明策略(2)关注证明的两个环节一是充分性；

二是必要性.

证明时，不要认为它是推理过程的“双向书写”，而应该进行由条件到结论，由结论到条件的两次证明.【跟踪训练】1.使x(y－2)＝0成立的一个充分条件是 (

)

A.x2＋(y－2)2＝0 B.(x－2)2＋y2＝0C.(x＋1)2＋y2＝0 D.(x－1)2＋(y＋2)2＝0A解析：根据题意，原题可改写为“(

)是x(y－2)＝0的充分条件”.x2＋(y－2)2＝0⇒x＝0且y＝2⇒x(y－2)＝0，所以x2＋(y－2)2＝0是x(y－2)＝0的充分条件.解析2.对于任意的实数a，b，c，在下列命题中，真命题是

(

)A.“ac＞bc”是“a＞b”的必要条件B.“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件C.“ac＜bc”是“a＜b”的充分条件D.“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件B解析：若a＝b，则ac＝bc；若ac＝bc，则a不一定等于b，故“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件.解析3.“x＝－1”是“x2－x－2＝0”的________条件，

“x2－x－2＝0”是“x＝－1”的________条件.

(用“充分”“必要”填空)

充分必要解析：由x＝－1⇒x2－x－2＝0，所以“x＝－1”是“x2－x－2＝0”的充分条件，“x2－x－2＝0”是“x＝－1”的必要条件.解析4.p：1－x＜0，q：x＞a，若p是q的充分条件，则a的取值范围为__________.

a≤1解析：x＞1⇒x＞a，令A＝{x∣x＞1}，B＝{x∣x＞a}，则A⊆B，所以a≤1.解析5.求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.

6.求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为－1的

充要条件是a－b＋c＝0.证明：充分性：∵a－b＋c＝0，即a·(－1)2＋b·(－1)＋c＝0，∴－1是ax2＋bx＋c＝0的一个根.必要性：

∵ax2＋bx＋c＝0有一个根为－1，∴a·(－1)2＋b·(－1)＋c＝0，即a－b＋c＝0.综上可得ax2＋bx＋c＝0有一个根为－1的充要条件是a－b＋c＝0.练习1.下列所给的各组p，q中，p是q的充分条件的有哪些?(1)p：三角形有一个内角是60°，q：三角形是正三角形；因为三角形有一个内角是60°⇏三角形是正三角形即p⇏q.所以p不是q的充分条件.(2)p：两个角相等，q：两个角是对顶角；因为两个角相等，这两个角有可能是内错角或同位角，故两个角相等⇏两个角是对顶角，即p⇏q

，所以p不是q的充分条件；(3)p：四边形是平行四边形，q：四边形的对角线互相平分；因为平行四边形的对角线互相平分故四边形是平行四边形⇒四边形的对角线互相平分，即p⇒q，

所以p是q的充分条件；(4)p：x

＞2，q：x

＞1.因为x＞2⇒x＞1，所以p是q的充分条件；所以p是q的充分条件的有(3)(4)2.下列所给的各组p，q中，p是q的必要条件的有哪些?(1)p：两条直线平行，q：同位角相等；(2)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形；解：q⇒p，p是q的必要条件；解：q⇒p，p是q的必要条件；(3)p：a

＝b，q：∣a∣＝∣b∣；(4)p：x2

＝l，q：x

＝1.解：q⇏p，p不是q的必要条件；解：q⇒p，p是q的必要条件；3.从符号“⇒”“⇏”“⇔”中选择适当的一个填空：(1)x2＞1_______x＞1；(2)

a，b

都是偶数_______a＋b是偶数；(3)

x2＝1______∣x∣＝1；(4)n

是偶数_______n

是4的倍数.⇏⇒⇔⇏习题2.2感受·理解1.下列所给的各组p，q中，p是q的充分条件的有哪些?

p是q的必要条件的有哪些?p是q的充要条件的有哪些?(1)p：两个三角形全等，q：两个三角形的面积相等；解：由p：两个三角形全等能推出q：

两个三角形的面积相等，故p是q的充分条件；由q：两个三角形的面积相等不能推出p：两个三角形全等，故p不是q的必要条件.

从而p不是q的充要条件；(2)p：三角形是直角三角形，q：三角形的两个锐角互余；解：由p：三角形是直角三角形能推出q：三角形的两个锐角互余，故p是q的充分条件；由q：三角形的两个锐角互余能推出p：三角形是直角三角形，故p是q的必要条件.从而p是q的充要条件；(3)p：m≤1，q：关于的方程x2＋2x＋m＝0有实数解；解：∵关于x的方程x2＋2x＋m＝0有实数解，∴Δ＝22－4m＞0，解得：m≤1，故由p：m＜1能推出q：关于的方程x2＋2x＋m＝0有实数解，故p是q的充分条件；由q：关于x的方程x2＋2x＋m＝0有实数解能推出p：m≤1，故p是q的必要条件.从而p是q的充要条件；(4)p：ab＝0，q：a＝0.解：由p：ab＝0不能推出q：a＝0，故p不是q的充分条件；由q：a＝0能推出p：ab＝0，故p是q的必要条件.从而p不是q的充要条件.综上知：p是q的充分条件的有(1)(2)(3)，p是q的必要条件的有(2)(3)(4)，p是q的充要条件有(2)(3).2.从符号“⇒”“⇏”“⇔”中选择适当的一个填空：(1)x∈A______x∈A∩B(2)x∉A∪B_____x∈A∩B；(3)x∈∁U(A∪B)_____x∈(∁UA)∩(∁UB)；(4)x∈∁U(A∩B)______x∈(∁UA)∪(∁UB).⇏⇒⇔⇔思考·运用3.下列所给的各组p，q

中，p是q

的什么条件?(1)p：△ABC中，∠BAC＞∠ABC，q：

△ABC

中，BC

＞AC；充要条件(2)p：a2

＜1，q：a＜2；

充分不必要条件既不充分也不必要条件(4)p：m

≤

1，q：关于的方程mx2＋2x＋1＝0有两个实数解.必要不充分条件4.设a，b，c∈R，求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0

有一个根是1的充要条件为a＋b＋c＝0.证明：(1)必要性，即“若1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，则a＋b＋c＝0”.∵x＝1是方程的根，将x＝1代入方程，得a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.(2)充分性，即“若a＋b＋c

＝0，则x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根”.把x＝1代入方程的左边，得a·12＋b.1＋c＝a＋b＋c.∵a＋b＋c＝0，∴x＝1是方程的根.综合(1)(2)知命题成立.探究·拓展5.设集合A＝{x∣x满足条件p}，B＝{x∣x满足条件q}.(1)如果A⊆B，那么p是q的什么条件?(2)如果B⊆A，那么p是q的什么条件?(3)如果A＝B，那么p是q的什么条件?试举例说明.(1)如果A⊆B，那么p是q的什么条件?解：若A⊆B，则有x∈A⇒x∈B，即每个使p

成立的元素也使q成立，即p⇒q，

所以p是q的充分条件.举例略.(2)如果B⊆A，那么p是q的什么条件?解：若B⊆A，则有x∈B⇒x∈A，即每个使q

成立的元素也使p成立，即q⇒p，所以p是q的必要条件.如A＝{x∣x

＞0}，B＝{x∣x

＞1}，B⊆A，则x＞1是x＞0的充分条件，x＞0是x＞1的必要条件.(3)如果A＝B，那么p是q的什么条件?解：若A＝B，则A⊆B且B⊆A，所以p是q的充要条件.举例略.同学们，通过这节课的学习，你有什么收获呢？谢谢大家爱心.诚心.细心.耐心，让家长放心.孩子安心。2.3

全称量词命题与存在量词命题在日常生活和学习中，我们经常遇到这样的语句：(1)对任意实数x，都有x2≥0；(2)存在有理数x，使x2－2＝0；(3)有的矩形是萎形；(4)所有的质数都是奇数；(5)有一个素数是偶数.●这些语句中用到了“任意”“存在”“有的”等词，它们表示什么含义?2.3.1全称量词命题与存在量词命题一、全称量词与存在量词全称量词存在量词量词“所有”“________”“每一个”等表示________的词“存在”“_______”“有一个”等表示_______或_______的词符号用“_______”表示“对任意x”用“_______”表示“存在x”任意全体有的部分个体∀x∃x【思考】常见的全称量词、存在量词还有哪些?提示：常见的全称量词还有“一切”“任给”“凡是”等.常见的存在量词还有“有些”“对某些”“有的”等.二、全称量词命题与存在量词命题(1)定义和表示方法：全称量词命题存在量词命题定义含有_________的命题称为全称量词命题含有_________的命题称为存在量词命题表示一般形式可表示为：____________一般形式可表示为：____________全称量词存在量词∀x∈M，p(x)∃x∈M，p(x)(2)本质：全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”.(3)应用:全称量词、存在量词是数学和日常生活中使用频率很高的一种逻辑用语，数学中存在大量的全称量词命题和存在量词命题.【思考】全称量词命题中的“x，M与p(x)”表达的含义分别是什么?提示：元素x可以表示实数、方程、函数、不等式，也可以表示几何图形，相应的集合M是这些元素的某一特定的范围，p(x)表示集合M的所有元素满足的性质，也可以用q(x)，r(x)等符号表示.例1判断下列命题的真假：

解：因为对任意实数x，都有x2≥0，

所以对任意实数x，都有x2＋2≥2＞0，

即对任意实数x，都有x2＋2＞0成立，

因此，“∀x∈R，x2＋2＞0”是真命题.由例1我们发现：要判定一个存在量词命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素，使命题为真即可；否则命题为假.要判定一个全称量词命题为真，必须对给定的集合中的每一个元素，命题都为真；但要判定一个全称量词命题为假，只要在给定的集合中找到一个元素，使命题为假.思考给定的集合对存在量词命题、全称量词命题的真假有没有影响?试举例说明.

练习1.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题：(1)任何实数的平方都是非负数；(2)任何数与0相乘，都等于0；任何实数指都是，故是全称命题；任何实数指都是，故是全称命题；(3)任何一个实数都有相反数；(4)有些三角形的三个内角都是锐角.任何实数指都是，故是全称命题；有些是指存在的，故是存在性命题.2.判断下列命题的真假：(1)任意一个平行四边形对边都相等；(2)有的四边形既是矩形又是菱形；因为平行四边形的对边相等，所以任意一个平行四边形对边都相等是正确的，所以是真命题.正方形既是矩形又是菱形，所以是真命题.(3)实系数方程都有实数解；(4)有的正数比它的倒数小.实系数方程x2＋1＝0没有实数解，所以是假命题；

【基础小测】1.辨析记忆(对的打“✔”，错的打“✘”)(1)全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题.(

)(2)存在量词命题是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题.(

)✔✔(3)全称量词命题一定含有全称量词.(

)✘解析：有些命题虽然没有写出全称量词，但其意义具备“任意性”，这类命题也是全称量词命题，如“正数大于0”即“所有正数都大于0”，故(3)说法是错误的.解析2.给出下列命题：(1)所有一次函数的图象都是直线；(2)对顶角相等；(3)∃x∈R，x2－4x＋4≤0；(4)对任意的整数x，5x－1是整数.其中全称量词命题是______________，存在量词命题是________.(填序号)

(1)(2)(4)(3)解析解析：(1)含有全称量词“所有”，是全称量词命题；(2)省略了全称量词“所有”，是全称量词命题；(3)含有存在量词符号“∃”，是存在量词命题；(4)含有全称量词“任意”，是全称量词命题.(2)至少有一个x∈R，使x能被5和8整除.(3)对于任意一个x∈Z，2x都是偶数.解：因为40能被5和8整除，

所以此命题是真命题.解：对于任意一个x∈Z，2x一定能被2整除，

一定是偶数，所以此命题是真命题.【跟踪训练】1.下列命题不是“∃x∈R，x2＞3”的表述方法的是(

)A.有一个x∈R，使得x2＞3成立B.对有些x∈R，使得x2＞3成立C.任选一个x∈R，使得x2＞3成立D.至少有一个x∈R，使得x2＞3成立C解析：原命题是存在量词命题，而选项C中的命题是全称量词命题.解析2.下列命题中全称量词命题的个数是 (

)①∀x∈R，x2＞0；②∃x∈R，x2≤0；③平行四边形的对边平行；④矩形的任一组对边相等.

A.1 B.2 C.3 D.4C解析解析：①含有全称量词符号“∀”，为全称量词命题，②含有存在量词符号“∃”，为存在量词命题，③隐含着全称量词“所有”，为全称量词命题，④隐含着全称量词“所有”，为全称量词命题.

C

解析4.命题“自然数的平方大于零”是_________量词命题

(填“全称”或“存在”)，其省略的量词是_______.

全称所有解析：自然数的平方大于零意思是说所有自然数的平方都大于零，故该命题是全称量词命题，其省略的量词是“所有”.解析5.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假.(1)对某些实数x，有2x＋1＞0.解：命题中含有存在量词“某些”，

因此是存在量词命题，是真命题.(2)∀x∈{3，5，7}，3x＋1是偶数.解：命题中含有全称量词的符号“∀”，

因此是全称量词命题.

把3，5，7分别代入3x＋1，得10，16，22，都是偶数，

因此，该命题是真命题.2.3.2全称量词命题与存在量词命题的否定给出下列命题：(1)所有的正方形都是矩形；(2)存在有理数x，使x－2＝0；(3)对任意的实数a，都有

a＞0；(4)有的矩形是菱形.(1)所有的正方形都是矩形；命题(1)的否定是“不是所有的正方形都是矩形”，换言之，“有的正方形不是矩形”命题否定后，全称量词变为存在量词，“肯定”变成“否定”.(2)存在有理数x，使x－2＝0；命题(2)的否定是“不存在有理数x，使x2－2＝0”，换言之，“对所有的有理数x，x2－2≠0”.命题否定后存在量词变为全称量词“肯定”成“否定”.(3)对任意的实数a，都有

a＞0；命题(3)的否定是“不是对任意的实数a，都有∣a∣≥0”，换言之“存在实数a，使∣a∣＜0”命题否定后，全称量词变为存在量词，“肯定”变成“否定”.(4)有的矩形是菱形.命题(4)的否定是“不是有的矩形是菱形”，换言之，“所有的矩形都不是菱形”命题否定后，存在量词变为全称量词，“肯定”变成“否定”.一、全称量词命题与存在量词命题的否定原命题否定∀x∈M，p(x)___________________∃x∈M，p(x)___________________注：“﹁p(x)”是对语句“p(x)”的否定∃x∈M，﹁p(x)∀x∈M，﹁p(x)【思考】对省略量词的全称量词命题或存在量词命题怎样否定?提示：对于省略了量词的全称量词命题或存在量词命题进行否定时，可先根据题意补上适当的量词，再对命题进行否定.二、命题与其否定的真假关系对一个命题进行否定，就得到了一个新的命题，这两个命题的关系是“一真一假”或“此假彼真”.例2写出下列命题的否定：

解：“所有的无理数都是实数”的否定是“有的无理数不是实数”.

解：“菱形不是矩形”是指“任意一个菱形都不是矩形”，它的否定是“存在一个菱形，它是矩形”，或“存在是矩形的菱形”.

一般地，对全称量词命题的否定，主要是对全称量词的否定，“任意”“所有”的否定分别是“存在”“不都”；对存在量词命题的否定，主要是对存在量词的否定，“存在”“有”的否定分别是“任意”“所有”.练习1.写出下列命题的否定：(1)所有的矩形都是平行四边形；(2)有的梯形是平行四边形；存在一个矩形不是平行四边形；所有的梯形都不是平行四边形；(3)锐角都相等；(4)有的梯形是等腰梯形有些锐角不相等；所有的梯形都不是等腰梯形.2.写出下列命题的否定：(1)三角形的内角和是180°；(2)所有的正三角形都相似；有的三角形的内角和不是180°；存在一些正三角形不相似；(3)二次函数有最小值；(4)有的实系数一元二次方程无实数解.存在二次函数的值域不是R；实系数一元二次函数都有实数解.

D【基础小测】1.辨析记忆(对的打“✔”，错的打“✘”)(1)用自然语言描述的全称量词命题的否定形式是唯一的. (

)✘提示：不唯一，如“所有的菱形都是平行四边形”，它的否定是“存在一个菱形不是平行四边形”，也可以是“有些菱形不是平行四边形”.(2)∃x∈M，p(x)与∀x∈M，﹁p(x)的真假性相反.(

)(3)对全称量词命题或存在量词命题进行否定时，量词不需要变，只否定结论即可. (

)✔✘提示：对全称量词命题或存在量词命题进行否定时，先对量词进行变化，全称量词变为存在量词，存在量词变为全称量词，再否定结论.2.命题“∀x∈N，x2＞1”的否定为 (

)

A.∀x∈N，x2≤1 B.∃x∈N，x2≤1C.∀x∈N，x2＜1 D.∃x∈N，x2＜1B解析：因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以，命题“∀x∈N，x2

＞1”的否定为“∃x∈N，x2≤1”.解析3.命题“∃x∈R，x2＋2x＋3＝0”的否定是________________________.

∀x∈R，x2＋2x＋3≠0解析：因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以命题“∃x∈R，x2＋2x＋3＝0”的否定是“∀x∈R，x2＋2x＋3≠0”.解析【跟踪训练】1.命题“对任意的x∈R，都有x3－x2＋1＜0”的否定 (

)A.不存在x∈R，使得x3－x2＋1＜0B.存在x∈R，使得x3－x2＋1＜0C.对任意的x∈R，都有x3－x2＋1

≥

0D.存在x∈R，使得x3－x2＋1

≥

0D2.∃m，n∈Z，使得m2＝n2＋2020的否定是(

)A.∀m，n∈Z，使得m2＝n2＋2020B.∃m，n∈Z，使得m2≠n2＋2020C.∀m，n∈Z，都有m2≠n2＋2020D.以上都不对解析：这是一个存在量词命题，其否定为全称量词命题，形式是：∀m，n∈Z，都有m2≠n2＋2020.解析C3.命题“∀x∈R，∣x－2∣＋∣x－4∣＞3”的否定是

____________________________________.

∃x∈R，使得∣x－2∣＋∣x－4∣≤3解析：全称量词命题的否定是存在量词命题，全称量词“任意”改为存在量词“存在”，并把结论否定.解析4.命题“∃x∈Q，x2＝5”的否定是_______________，该命题的否定是________命题.(填“真”或“假”)

∀x∈Q，x2

≠5

真

解析5.设集合A＝{1，2，4，6，8，10，12}，试写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)p：∀n∈A，n

＜12.

(2)q：∃x∈{x∣x是奇数}，x∈A.

习题2.3感受·理解1.指出下列语句中的全称量词或存在量词：(1)任一个质数都是奇数；(2)所有实数的绝对值都是正数；(3)有些相似三角形全等；(4)有的四边形有外接圆；(5)任意一个矩形都是轴对称图形；(6)有一个数不能做除数2.试判断下列命题的真假：

真命题假命题假命题真命题思考·运用3.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并

判断它们的真假：(1)有的偶数是3的倍数；存在量词命题，真命题(2)矩形的对角线相等；(3)有的平行四边形的四个角都相等；全称量词命题，真命题存在量词命题，真命题(4)平面内，与一个圆只有一个公共点的直线是该圆的

切线.全称量词命题，真命题4.写出下列命题的否定：(1)菱形的对角线互相垂直平分；(2)有的三角形一条边上的高与中线相等；有些菱形的对角线不互相垂直平分.所有的三角形一条边上的高与中线都不相等.(3)每一个正整数都比它的倒数大；(4)有的二次函数的图象关于坐标原点中心对称.有的正整数不比它的倒数大.所有二次函数的图象都不关于坐标原点中心对称.5.写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)大于3的自然数是不等式x2＞10的解；该命题的否定为：存在大于3的自然数不是不等式x2＞10的解.因为大于3的自然数有4，5，6，···，

它们的平方一定大于10，即大于3的自然数都是不等式x2＞10的解，故该否定为假命题；(2)存在有序整数组(x，y)满足xy＝x＋y；该命题的否定为：

所有有序整数组(x，y)不满足xy＝x＋y.取整数组(0，0)，满足xy＝x＋y，故该命题的否定为假命题；(3)任何一个四边形的四个顶点都共圆；该命题的否定为：存在一个四边形的四个顶点不共圆.

由于对角不互补的四边形不内接于圆，故该命题的否定为真命题.(4)有的反比例函数的图象与轴有公共点.该命题的否定为：所有反比例函数的图象与x轴没有公共点.由反比例函数的性质知该命题的否定为真命题.探究·拓展6.(阅读题)假设我们要否定命题“所有水生动物都用鳃呼吸”，可以这样做：画出表示用鳃呼吸的动物的集合，并包含表示所有水生动物的集合，如图(1)所示，那么此图就表示“所有水生动物都用鳃呼吸”.再将图(1)中水生动物的集合部分地移出用鳃呼吸的动物的集合，如图(2)，那么此图就表示“并非所有水生动物用鳃呼吸”，即“一些水生动物不用鳃呼吸”.这就得到了原命题的否定.可以看出，当我们否定一个含有全称量词的命题时，就会得到一个含有存在量词的命题.试举社会生活或其他学科中命题的例子，并图示命题及该命题的否定.命题“所有动物都是哺乳动物”为全称量词命题，该命题可以用下图表示：该命题的否定可以用下图表示：问题与探究“DY三角形”有一类三角形，我们暂且称为“DY三角形”.下面围绕“DY三角形”提出许多陈述，不妨暂且称为“命题”.第一组：①DY三角形有两条边相等；②DY三角形有两个内角相等；③DY三角形有一边上的高、中线及所对角的平分线重合；④DY三角形有两条边上的中线相等；⑤DY三角形有两条边上的高相等；⑥DY三角形的三个内角的和为180°；......第二组：①有两条边相等的三角形是DY三角形；②有两个内角相等的三角形是DY三角形；③有一边上的高、中线及所对角的平分线重合的三角形是DY三角形；④有两条边上的中线相等的三角形是DY三角形；⑤有两条边上的高相等的三角形是DY三角形；⑥三个内角的和为180°的三角形是DY三角形；......由于没有给出“DY三角形”的定义，所以上述两组“命题”无法判断真假.如果给出了“DY三角形”的定义，那么这些“命题”有的是真命题，有的是假命题.在真命题中，有的可以作为“DY三角形”的性质定理，有的可以作为“DY三角形”的判定定理，有的可以作为“DY三角形”的定义.如果把“有两条边相等的三角形是DY三角形”作为“DY三角形”的定义.试判断上述命题的真假(可以自己尝试证明，或者香阅资料).并指出哪些命题是“DY三角形”的性质定理，哪些命题是“DY三角形”的判定定理.“DY三角形”的定义、性质定理、判定定理构成了一个关于“DY三角形”的知识体系.在分析的基础上.试再给出两个关于“DY三角形”的“定义、性质定理、判定定理”的知识体系.阅读有趣的悖论悖论是指逻辑上可以推导出互相矛盾，但表面上又能自圆其说的命题或结论.悖论的出现往往是因为人们对某些概念的理解和认识不够深刻所致.有些悖论是很有趣的，对推动数学发展有一定的促进作用.1.芝诺悖论阿基里斯追一只海龟，若海龟在阿基里斯的前面，尽管阿基里斯奔跑的速度比海龟爬行的速度快，但阿基里斯还是永远追不上海龟.这是因为阿基里斯必须跑到海龟的出发点A；而当他到达点A时，海龟又向前爬了一段，到达了点B；当阿基里斯到达点B时，海龟又向前爬了一段，到达了点C······如此一直追下去，尽管阿基里斯和海龟的距离在无限地缩小，但永远追不上海龟.2.理发师悖论理发师悖论是数学家罗素给出的.在萨维尔村，理发师挂出一块招牌“我只给村里所有那些不给自已理发的人理发”有人问他“你给不给自己理发?”理发师无言以对.

如果他不给自己理发，他就属于“不给自己理发的人”，他就要给自己理发：如果他给自己理发，那么他就成了“给自己理发的人”，他就不该给自己理发.悖论有三种主要形式：(1)一种论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的(佯谬).(2)一种论断看起来好像肯定是对的，但实际上却错了(似是而非的理论).(3)一系列推理看起来好像无法打破，可是却导致逻辑上自相矛盾.悖论是表面上同一命题或推理中隐含着两个对立的结论，而这两个结论似乎都能自圆其说.悖论的抽象公式是：

若事件A发生，则推导出A不发生；若事件A不发生，则推导出A发生.悖论促进了数学、逻辑学、语义学等学科的发展.同学们，通过这节课的学习，你有什么收获呢？谢谢大家爱心.诚心.细心.耐心，让家长放心.孩子安心。3.1不等式的基本性质我们知道，实数可分为正数、零和负数，任给一个实数，它只可能为正数、零和负数中的一种.那么，对于任意两个实数a，b，它们的差a－b也只可能为正数、零和负数中的一种.一、实数比较大小的基本事实文字语言符号表示当a－b为正数时，称a＞b；a＞b⇔a－b＞0当a－b为零时，称a＝b；a＝b⇔a－b＝0当a－b为负数时，称a＜b.a＜b⇔a－b＜0.在小学和初中，我们知道等式有如下基本性质：

●不等式有哪些基本性质呢?【思考】(1)在比较两实数a，b大小的依据中，a，b

两数是任意实数吗?提示：是.(2)如何由比较两个实数大小的依据得出两个实数比较大小的方法?提示：通过两个实数作差，判断差的正负比较大小.二、不等式的基本性质(1)性质:别名性质内容注意性质1对称性a＞b⇒b＜a可逆性质2传递性a＞b，b＞c⇒____同向性质3可加性a＞b⇒________可逆性质3的推论移项法则a＋b＞c⇒a＞c－b可逆a＞ca＋c＞b＋c别名性质内容注意性质4可乘性a＞b，c＞0⇒ac＞bca＞b，c＜0⇒______c的符号性质5同向可加性a＞b，c＞d⇒________同向性质6同向同正可乘性a＞b＞0，c＞d＞0⇒______同向同正ac＜bca＋c＞b＋dac＞bd(2)本质：不等式的基本性质可以由实数比较大小的基本事实证明，它阐述了不等式在不同条件下的同解变形结论，是求解和证明不等式的依据.(3)应用：①解不等式；②判断或证明不等式.【思考】(1)性质4就是在不等式的两边同乘以一个不为零的数，不改变不等号的方向，对吗?为什么?提示：不对.要看两边同乘以的数的符号，同乘以正数，不改变不等号的方向，但是同乘以负数时，要改变不等号的方向.(2)使用性质6时，要注意什么条件?提示：各个数均为正数.性质1若a

＞b，则b

＜a.分析要证b

＜a

，只要证b

－a

＜0.证明因为a＞b，所以a－b＞0.又因为正数的相反数是负数，所以－(a－b)＜0，即b－a＜0.所以b＜a.性质2若a＞b，b

＞c，则a

＞c.分析要证a＞c，只要证a－c＞0.证明因为a＞b，b＞c，所以a－b＞0，b－c＞0.由两个正数的和是正数，得(a－b)＋(b－c)＞0，即a－c＞0.因此a＞c.性质3若a＞b，则a＋c＞b＋c.分析要证a＋c＞b＋c，只要证(a＋c)－(b＋c)＞0，

即a－b

＞0.证明因为a

＞b，所以a－b＞0.

又因为(a＋c)－(b＋c)＝

a－b，所以(a＋c)－(b＋c)＞0.

故a＋c＞b＋c.本性质告诉我们，不等式两边都加上(或都减去)同一个实数，不等号的方向不变.利用它可以把不等式中某一项改变符号后，从不等式的一边移到另一边，即a

＋b

＞c

⇔a

＞c

－b.性质4若a

＞b，c

＞0，则ac＞bc；若a＞b，c＜0，则ac

＜bc.证明ac－bc＝(a

－b)c.

因为a＞b，所以a－b＞0.

因此，当c＞0时，(a－b)c＞0，从而ac＞bc；

当c＜0时，(a－b