高三数学一轮复习第九章计数原理、概率、随机变量及其分布第6课时二项分布、超几何分布与正态分布课件

第九章计数原理、概率、随机变量及其分布第6课时二项分布、超几何分布与正态分布

X01P1－pp提醒：随机变量X只取两个值的分布未必是两点分布．0－1分布p2．n重伯努利试验与二项分布(1)n重伯努利试验把只包含____可能结果的试验叫做伯努利试验．将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．(2)二项分布一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0＜p＜1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝_____________，k＝0，1，2，…，n，如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～________．两个

B(n，p)(3)两点分布与二项分布的均值、方差①若随机变量X服从两点分布，那么E(X

)＝p，D(X

)＝_________．②若X～B(n，p)，则E(X

)＝____，D(X

)＝_________．p(1－p)npnp(1－p)提醒：在实际应用中，往往出现数量“较大”“很大”“非常大”等字眼，这表明试验可视为n重伯努利试验，进而判定是否服从二项分布．

√√√

24

ξ0123P点拨

判断某随机变量是否服从二项分布的关键点(1)在每一次试验中，事件发生的概率相同．(2)各次试验中的事件是相互独立的．(3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生．提醒：求随机变量ξ的期望与方差时，可首先分析ξ是否服从二项分布，如果ξ～B(n，p)，则用公式E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量．

√√(2)某中学面向全校所有学生开展一项有关每天睡眠时间的问卷调查，调查结果显示，每天睡眠时间少于7小时的学生占40%，而每天睡眠时间不少于8小时的学生只有30%.现从所有问卷中随机抽取4份问卷进行回访(视频率为概率)．①求抽取到的问卷中至少有2份调查结果为睡眠时间不少于7小时的概率；②记抽取到的问卷中调查结果为睡眠时间少于7小时的问卷份数为X，求X的分布列及均值E(X)．

X01234P

[典例4]

已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层随机抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望．

X0123P【教师备用】某公司采购部需要采购一箱电子元件，供货商对该电子元件整箱出售，每箱10个．在采购时，随机选择一箱并从中随机抽取3个逐个进行检验．若其中没有次品，则直接购买该箱电子元件；否则，不购买该箱电子元件．(1)若某箱电子元件中恰有一个次品，求该箱电子元件能被直接购买的概率；(2)若某箱电子元件中恰有两个次品，记对随机抽取的3个电子元件进行检测时次品的个数为X，求X的分布列及期望．

X012P点拨

(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考查对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布．(2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．

X012P

X～N(μ，σ2)01

x＝μx＝μ3．正态变量在三个特殊区间内取值的概率(1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈____________；(2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈____________；(3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈____________．在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则．4．正态分布的均值与方差若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝__，D(X)＝__．0.68270.95450.9973μσ2[典例5]

(1)(2023·上海嘉定三模)已知随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，下列四个命题：甲：P(X>m＋1)>P(X<m－2)；乙：P(X≤m)＝0.5；丙：P(X≥m)＝0.5；丁：P(m－1<X<m)<P(m＋1<X<m＋2)．如果有且只有一个是假命题，那么该命题是(

)A．甲

B．乙

C．丙

D．丁√

√√√√(1)D

(2)C

(3)ACD

[(1)因为P(X≤m)＝0.5，P(X≥m)＝0.5均等价于μ＝m，由题意可得：乙、丙均为真命题，且μ＝m，对于甲：因为P(X>m＋1)＝P(X<m－1)>P(X<m－2)，故甲为真命题；对于丁：因为P(m－1<X<m)＝P(m<X<m＋1)>P(m＋1<X<m＋2)，故丁为假命题．故选D.

X1234P

√√

点拨

解决正态分布问题的三个关键点(1)对称轴x＝μ；

(2)标准差σ；

(3)分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．注意只有在标准正态分布下对称轴才为x＝0.跟进训练3

(1)(2021·新高考Ⅱ卷)某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，则下列结论中不正确的是(

)A．σ越小，该物理量一次测量结果落在(9.9，10.1)内的概率越大B．该物理量一次测量结果大于10的概率为0.5C．该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等D．该物理量一次测量结果落在(9.9，10.2)内的概率与落在(10，10.3)内的概率相等√(2)(2022·新高考Ⅱ卷)已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(2<X≤2.5)＝0.36，则P(X>2.5)＝________．(3)设随机变量X～N(2，9)，若P(X＞c＋1)＝P(X＜c－1)，则c的值为________，P(－4≤X≤8)≈___________．参考数值：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.0.1420.9545(1)D

(2)0.14

(3)2

0.9545

[(1)对于A，σ越小，正态分布的图象越瘦长，总体分布越集中在对称轴附近，故A正确．对于B，C，由于正态分布图象的对称轴为μ＝10，显然B，C正确．D显然错误．故选D.(2)由题意可知，P(X>2)＝0.5，故P(X>2.5)＝P(X>2)－P(2<X≤2.5)＝0.1