数值分析方法 课件 5-1-1 非线性方程的近似求根

数值分析方法主编

李冬果李林高磊首都医科大学生物医学工程学院智能医学工程学学系面向“四新”人才培养普通高等教育系列教材第五章非线性方程的数值解法目录/Contents5.1-1非线性方程的近似求根

5.2非线性方程组的数值解

5.3非线性方程近似求根计算机实验

5.1-2非线性方程的迭代法的加速引言

在科学研究和工程设计中，经常会遇到一类求解非线性方程：方程的根，亦称为函数的零点.一般地，若为多项式，称方程

为n次代数方程，当n＞1时，方程显然是非线性的；而称三角方程、指数方程、对数方程等为超越方程.通常

3次以上的代数方程或超越方程，很难甚至无法求得精确解，数值解法可以借助于计算机完成求解.

求非线性方程的根的方法分为两步：计算根的近似值

确定方程的有根区间:由零点定理设，且，则方程在区间上至少有一个根。如果在上恒正或恒负，则此根唯一。5.1非线性方程的近似求根5.1.1二分法二分法的基本思想是将有根区间二等分，通过判断的符号，逐步对半缩小有根区间，直至有根区间缩小到容许误差范围之内，然后取区间的中点为根的近似值.第一步令计算有根区间的中点

若

，则为有根区间，否则为有根区间，记新的有根区间为，则第二步对重复上述做法得，设所求的根为，则取为的近似解.且有误差估计式：对于预先给定的精度，只要，即便有，这时就是满足精度要求的近似值.求方程f(x)=0的根的二分法算法python实现可以编写函数bisection来实现二分算法，代码如下：defbisection(f,a,b,ep=1e-8):#首先判断搜索区间是否包括所求根

iff(a)*f(b)>0:raiseException("区间端点处函数值符号不应相同！")#进入迭代

whileTrue:x0=(a+b)/2iff(x0)==0:returnx0iff(x0)*f(a)<0:b=x0else:a=x0ifabs(b-a)<ep:returnx0.例5.1.1证明方程在区间[1.0,1.5]内有且只有一个实根，且使用二分法求误差不超过0.005根至少迭代6次.解：因为，所以方程的有根区间为[1.0,1.5],对给定的误差不超过0.005，有故只要迭代n=6次便能达到所要求的精度.任取初值，代入中的右端得到

，再以为初值代入方程（1），得到，反复迭代得如下数列：5.1.2不动点迭代法非线性方程的等价方程（1）其中为x的连续函数.方程（1）的解称为函数的不动点.

（2）称式(2)为求解非线性方程的不动点迭代法，称为迭代函数.

若收敛，即则得是的一个根迭代法的几何意义

交点的横坐标解：由

建立迭代

计算结果如下:

例5.1.1试用迭代法求方程在区间(1，2)内的实根。格式k=0,1,2,3…….精确到小数点后五位但如果由建立迭代公式仍取，则有，,显然结果越来越大，是发散序列.迭代函数满足什么条件，才能保证迭代过程

是收敛的？迭代法的收敛性定理5.1（压缩映像原理）设迭代函数在闭区间上满足以下两个条件：（1）对任意的（2）在上满足Lipschitz条件：即存在常数L，是对有且Lipschitz常数;压缩映像原理则（1）在上存在唯一解；（2）对，由产生的序列收敛于，即；（4）（误差事后估计式）（误差事前估计式）（3）证明：（1）首先证明不动点的存在性.构造函数则由连续函数介值条件，存在，使得

（3）由Lipschitz条件及递推关系得

所以压缩映像原理在应用中定理5.1的条件保证了迭代格式收敛，但Lipschitz条件验证起来有时稍显困难，事实上，比Lipschitz条件更强的条件是