Matlab应用于高层建筑结构弹性时程分析初探

Matlab应用于高层建筑结构弹性时程分析初探华晶同济大学结构工程与防灾研究所，上海(200092)摘要：在工程中，特别是具有矩阵运算的结构抗震和动力学计算方面，Matlab语言更具θ法对某一算例利用语言编制了相应的计算程序进行了相关的时程分析，并得到相应的诸如结构最大位移等参数。关键词：Matlab语言，高层建筑，时程分析．引言Matlab语言的最突出特点就是简洁。Matlab语言用直观的、符合人们思维习惯的代码，代替了C[3][4]语言和的冗长代码，因而给用户带来了最直观的最简洁的程序开发环境。因此，通过对语言的了解，本论文将用此工具并结合结构抗震与动力学计算常用数值算法θ法来解决高层建筑结构线弹性计算等相关问题，并根据相关研究结论，加深对Matlab语言及线弹性时程分析之间的结合与应用。2.威尔逊（Wilson-）法2.1威尔逊（Wilson-）法简介ө法是线性加速度方法的扩展[2]1ө法的线性加速度假设。qttqqtt+∆ttτt+∆tt+θ∆t图1威尔逊线性加速度假设-1-令τ表示在时间t至t+∆t时的时间变量，则按照图1中可得τθ∆=+−ttq}q}q}q})（1）tttt其中，θ为参数，可根据积分的稳定性和精度进行选取。对式（1）两端的τ进行积分，可得τ2q}q}+qτ+′=q}q})−tt（）tttθ∆ttτ再对式（）两端的进行积分，可得11tq}q}qτ+=+qτ2+τ2q}q})−t（）tttttt2τ在式（2）和（）中令=θ∆t，则可得在t+θ∆t时刻的速度和位移为θ∆t′=′++tq}q}q}q})）ttttt2θ2∆t2tt}q}θq}=+∆′+q}q})+t）tttt6用上面式子将q′}和q′tt}写成由tt}表达的形式tt6∆6θ∆==−−′−tq}}tt}q})q}q}6）ttθtt2t2t3θ∆t′−−′−q}qtt}q}q}（）ttθ∆tttt2线性动力有限元控制方程为：ٛ′+′+=[Mq}[Dq}[K}{}ٛٛ′′式中[D]{R}q}q}和{q}分别为加速度、速度和位移列矢量。θ法认为在t+θ∆t的，所以我们把式（6）和（7）代入式（）中就可得+′+=[Mq}[Dq}[Kq}{R}（9）tttttttt式中{Rtt}={t}+θ({tt}−{t})（）现在我们的目的是去求∆t时刻的位移速度与加速度的解。第一步：将式（）和（7）代入式（）中，并加以整理可得63θ∆t([K]+[M]+[Dq}θ∆t)2tt663θ∆t={R}θ({R}{R}[M](+−+t}+q}q})[D](′+′+q}q}+′+q})tt+∆ttθ∆t)2ttttt(tt2）由式（）可解得q}。tt第二步：将式（6）分别代入式（12）中，并令τ=∆t，可得-2-6∆63θ=−−′+−q}q}q}t+∆t}q）t+∆tθtθ∆tt3t22t∆t′=′++tq}q}q}q})（13）t+∆ttt+∆t2∆t2=+∆′+q}q})+t（）t+∆t}q}q}ttt+∆t62.2Wilson-θ法的特点(1)此法是一个稳式积分法，因为刚度矩阵是未知位移矢量的系数矩阵。(2)∆t刻t的相同的量来表示。(3)θ≥1.37=1.4。在许多大型通用程序中，θ的缺省值为1.4[2]。(4)由于不必为选取∆t∆t可能选取的较大，但是结果仍是稳定的，影响的只是精度。3.算例分析3.1计算例题参数说明抗震设防为8度近震的某层框架结构，剖面如图2，平面柱网布置如图3所示（单框架侧移刚度见表EL_CENTRO应。其中：（0.02调幅处理。（2）框架计算模型采用剪切模型。图2剖面图图3平面柱网布置图-3-表1一至十一层重力荷载代表值层号12345678910重力荷载代96338631863186318631841384138413841384136218表值(kN)表2框架一至十一层侧移刚度层号12345678910侧移刚度(1056.436.516.516.516.516.513.2力学模型型，本文采用的力学模型如下图4所示。层间剪切型串联多质点系的力学模型的动力运动方程为（矩阵方式表达）[2]：′+′′+=−[m]{x}C]{x}[K]{}[mxg）⎡m0⎤1⎢⎥2式中质量矩阵，[m]=⎢⎥（）⎢⎥…⎢⎥0n⎣⎦⎡CC…C⎤121n11⎢⎥CC22…C2n⎢⎥[C]—阻尼矩阵，（）⎢⎥…………⎢⎥⎣C1Cn2…Cnn⎦⎡KK…K⎤12n11⎢⎥KK22…K2n⎢⎥21刚度矩阵，（）⎢⎥…………⎢⎥⎣K1Kn2…Knn⎦′{x}，{x}，{}—分别为加速度向量、速度向量、位移向量{x}={x,x…xT⎫12,n⎪⎪{x}={x′,x′…xT′19）⎬12,n⎪{}={x,x…xT⎪⎭12,n因为此算例考虑十一层结构，故取。[c]为瑞利阻尼，且[c]=α[m]+β[k]。α和β可按下式计算：-4-ζω−ζω)ζω−ζω)α=1221ω1β=2211(ω+ωω−ω1)ω+ωω−ω)2122121ζ、ζ和ω、ω分别为第一和第二振型的阻尼比和频率。12123.3恢复力模型梭形”和弓形受压或受拉的弹性极限将显著降低的软化现象称为包兴格效应）。k10第r层质量第r层层间阻尼第r层刚度图4力学模型3.4计算结果一至十一层加速度（/s2/s）反应峰值见下表3。表3一至十一层加速度（/s/s）反应峰值2层数一二三四五六七八九十十一参数5.196.766.906.756.615.055.186.367.538.699.37速度位移19.452.9930.575.2039.007.2247.719.0055.2910.5559.5361.0013.3266.0714.5773.5715.6179.0416.2981.6216.584.结论ө计算程序采用编程更为简单、方便，因此处理土木工程中的问题极具潜能，值得在科研、教学等方面进一步开发利用。-5-参考文献学会中国地震学会，1998R．Ｗ．克拉夫，J．彭津：结构动力学，北京：科学出版社，1981周金萍：图形图像处理与应用实例，北京：科学出版社，2003葛映，叶献国：Matlab在地震工程研究中的应用实例，第八届全国结构工程学术会议论文集，清华大学出版社，1999ofApplyingMatlabelastictime-historyanalysisofHigh-riseBuildingHuaJingResearchInstituteofEngineeringDisasterReductionUniversityShanghai(200092）AbstractInengineering,especiallyintheearthquakestructuralengineeringthedynamicscomputation,whichareofmatrixoperation,Matlablanguageofapracticabilityandsimplicity.AccordingtotheWilson-thetaalgorithm,whichismainlyappliedtoearthquakestructuralengineeringanddynamicscomputation,compilerelevantcomputationprocedurebymeansofMatlablanguagetodorelevanttime-historysolveahigh-risestruct