导数中的数列专题

#.已知函数/G)=lnx+九__X(九eR).U)(1)当%>1时，不等式7(%)<0恒成立，求九的最小值；(2)设数列。=-GgN*),其前〃项和为S,证明：S-S+多>ln2.nfl n 2〃孔4.已知函数/(x)=〃lnx+x2,其中qeR.(1)讨论/G)的单调性;(2)当〃=1时，证明：/(%)«%2+%—1；(3)试比较ln22ln32ln42 + + 2? 32 42(3)试比较ln22ln32ln42 + + 2? 32 42ln〃2+ 〃2(n-l)(2n+l)与—2(n+l)一并证明你的结论。.设函数/(%)=ln(x+l)(%»0),g⑴=M++1)-0).x+1(1)证明：f(X)>X-X2,(2)若+g(x)恒成立，求〃的取值范围；12n—1(3)证明：当〃wN*时，ln(〃2+3〃+2)>—+—++ .49 〃2

.已知函数f(%)=%(ln%—a)+1的最小值为0.(awR)(1)求a的值;⑵设%⑵设%n，求证：％1+%2+(2)当(2)当a=2时，a=f(n),nwN+,数列

n{b}满足(f(n)—1)b=」fl+Z2n+1)Ckank,.已知函数f(%)=a%(a>0,a丰1).(1)当a=e(e为自然对数的底数)时，⑴若G(%)=f(%)—2%—m在［0,2］上恰有两个不同的零点，求实数m的取值范围;(ii)若T(%)=f(%).(ii)若T(%)=f(%).求证：工丫3k=1.已知函数f(%)=1n(2%—1)—m(2%—1)+1,mwR.(1)若曲线y=f(%)在(2,f(2))处的切线与直线3%—y+2=。垂直，求函数f(%)的极值;(2)若函数y=f(%)的图象恒在直线y=1的下方.①求m的取值范围;②求证：对任意正整数n>1,都有ln「(2n)「<4n(n+1)5.已知函数f(x)=a1nx-ax+1(a£R且a#0).(1)求函数f(x)的单调区间;In2In3In4(2)求证：义—义—义

乙Jlnnj1义 <一(n>2,n£N*).nneex1 一，)--+-——+1的极大值点为xen 2n-1.已知自变量为x的函数f(x)=n(lnx-InnnneN*,e=2.718…为自然对数的底数(1)若n=1，证明：f(x)有且仅有2个零点;⑵若x1，x2，x3x为任意正实数，证明：⑵若x1，x2，x3n iii-1i=1ax(1+x)/26.已知f(x)=ln(1+ax)—— (a>0).1+ax(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)证明：1)( 1)( 1)1+—1+—1+—32八42)eN*,n..2), •.设函数f(x)=2ln(x+1)+一.x+1(I)讨论函数f(x)的单调性；(II)如果对所有的x20,都有f(x)<ax,求a的最小值；(III)已知数歹U&｝中，a=1,且(1-a)(1+a)=1,若数歹q｛a｝的前n项和为S,n 1 n+1 n n n求证：S>北—1na.n2a n+1n.已知函数f(x)=1n(1+a),f⑴=1n2.x(1)证明：f(J)<x；x1(2)若 [f(2)+f(22)+…+f(2n)]<m对任意的neN*均成立，求实数m的最小值n+1.已知函数f(x)=xlnx-x+1,g(x)=ex-ax,a£R.(I)求f(x)的最小值；(II)若g(x)>1在R上恒成立，求a的值；(I)求证:(1)」11ln1+-+ln1+—(I)求证:.已知函数f(x)=ex-x-1.(1)证明：f(x)>0；(2)设m为整数，且对于任意正整数n-1(2)设m为整数，且对于任意正整数n(1+-)(1+—) (1+—)<m，求m的最小值.2 22 2n

.己知函数f(%)=ax-lnx(a是常数，且a>0).(1)讨论函数f(x)的单调区间;(2)当y=f(x)在x=1处取得极值时，若关于x的方程f(x)+2x=x2+b在；,2上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围;(3)求证(3)求证:当n>2，1X1\1+—1+—32J.已知函数f(x)=x-ln(x+a),aeR.(1)对定义域内的任意x,都有f(x)>0，求a的取值范围；(2)若f(x)在x=1处取得极值，求证：对于任意大于1的正整数n,1、-1、 1、 (1+—)(1+—).(1+一)<e，其中e为自然对数的底数..已知函数f(x)=(x+2)ln(x+1)-ax(aeR)(I)若a=1,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(II)若f(x)>0在［。,+8)上恒成立，求实数a的取值范围;(III)若数列&｝的前n项和S=n2+3n-1,b=一，求证：数列｛b｝的前n项和n n na nnT<ln(n+1)(n+2).n

.已知函数f(x)=a5+17lnVx+D~x2—ax(a>0)是减函数.(1)试确定a的值;(2)已知数列{(2)已知数列{a}annIn(n+1) T=aaan+1n123GN*),求证:InrInr(n+2)T一L n」1n<1-2.已知函数f(x)=lnx,g(x)=a(x-1)(I)当a=2时，求函数h(x)=f(x)-g(x)的单调递减区间；(II)若x>1时，关于x的不等式f(x)<g(x)恒成立，求实数a的取值范围;(III)若数列｛a｝满足a=1+a,a=3，记｛a｝的前n项和为S，求证:n n+1 n3 n nln(1义2义3义4义...义n)<S.n.已知函数f(x)=Inx+ax2一(2a+1)x+(a+1).1(1)若a=-，分析f(x)的单调性.(2)若对Vx>1,都有f(x)>0恒成立，求a的取值范围；、、-n2+1n2+2 n2+k n2+n(3)证明： • •…• •…• >ee对任意正整数n均成立，其中e为n2 n2 n2 n2自然对数的底数..已知函数f(元)=ax+—(a>0)的图象在点0f(D)处的切线方程为y=x-1.函x数g(%)=f(x)-Inx.(1)求ab的值，并求函数g(x)在区间11,+s)的最小值TOC\o"1-5"\h\zEn2+n( )一/一「 lnk<—4 n>1,neN*/k=11 1.若函数f(x)=aln(x+1)+x2-a(x+1)-.^2 ^2(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)>0在(-1,+s)上恒成立，求实数a的取值范围;1 1 1 1(3)求证：对任意的正整数n(3)求证：对任意的正整数n都有，ln2ln3ln4 lnn.数列&｝的前n项和为R，记S=£1，数列｛b｝满足b=a，b=—n-1+Sa(n>2)，n n n I n 1 1nnnni=1TOC\o"1-5"\h\z且数列｛b｝的前n项和为T.n n(1)①计算T-SR，T-SR的值；1 11 2 22②猜想R,S,7满足的关系式，并用数学归纳法加以证明；nnn(2)若数列｛a｝通项公式为a=1―，证明：T<2+2lnn.n n2n-1 n

.已知函数/G)=ln%+3x—改2的图像在点处的切线方程为y=l.(i)确定实数。的值，并求函数y=/Q)的单调区间(2)若〃gN*,求证:ln(l+l)+21nfl)-+1+31n(ln(l+l)+21nfl)-+1+31n(2J13J+nln—+1<)C/n+2)-6..已知函数/G)=ln%,g(x)=3%―2”.2x⑴求函数/G)=/G)—x+2在xe[4,+8)上的最大值；⑵若函数hG)=2/G)—ln[g(x)]在区间上有零点，求。的取值范围;(3)求证：40341n2<2[2/(2k+1)-f(k+1)-f(k)]<4035Gg ).k=l.已知函数丁，石一一一-工1(1)若函数在区间3,。+])上存在极值，其中”>0,求实数a的取值范围;k(2)如果当时，不等式/(x)N一7恒成立，求实数左的取值范围；x+1(3)求证：[("+1)!]2>(«+1)•e»-2(wgN*).、1+lnx.已知函数/(%)= .(1)如果当时，不等式/(%)»—，恒成立，求实数〃的取值范围;x+1(2)求证：62x12+1+02x22+1+...+02〃2+1<〃+2C?£N*)•.已知/(x)=asinx,g(x)=lnx,其中owR,函数y=力6)与y=g(x)关于直线y=x对称.(1)若函数G(X)=/(1—x)+g(x)在区间(0,1)上递增，求〃的取值范围；V. 1 1c(2)证明：乙sm^——<In2.(1+左)2k=l(3)设/(%)=力(%)—如2_2(%+l)+b(根<0),其中方(%)>0恒成立，求满足条件的最小正整数b的值..设函数/(x)=X2—aln(x+l),其中。£尺(1)当。<0时，讨论函数/(%)在其定义域上的单调性；(2)证明：对任意的正整数〃，不等式ln(〃+l)>Z1」—都成立.Ik2ZC3Jk=l

.已知函数f(x)=ex-ax(1)讨论函数f(x)的单调性；X+X(2)若存在x1Vx2,且满足f(x1)=(x2).证明f(122)<0；47.已知数列&｝满足a+3a+n 12(3)证明：e20-i+e21-i+e2-1+e2n-i>47.已知数列&｝满足a+3a+n 12+(2n-1)a=3—,neN*，记

n 2nS=S=a+a+

n12+an((1)求a和S；

nnr(2r(2)证明：1+1+1+

23<Inn+1．n48.已知函数48.已知函数f(x)=xInx+kx,keR.(1)求y=f(X)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)若不等式f(x)<x2+X恒成立，求k的取值范围；C. 2n2-n(3)求证：当neN*时，不等式乙ln"i2-1^>———/成立.2n+1i=11+lnx49.已知函数f(X)= .x(1)求函数的单调区间；k(2)如果当X>1时，不等式f(X)> 恒成立，求实数k的取值范围;x+1(3)求证：-+ln(左+1)]> 1(〃eN*)(说明：£x=x+x++x)TOC\o"1-5"\h\zn+1 i1 2 nk=l k=\.已知函数/(x)=sinx—〃x.(1)对于xw(0,l),/(x)>。恒成立，求实数〃的取值范围；(2)当4=1时，令/z(x)=/(x)—sinx+lni+1,求/?(%)的最大值;111 1(3)求证:ln(n+1)<1+—+—4 卜 +—(〃eN*).23 n-1n.已知函数/'(x)=sinx+E-In(1+x).(1)证明:/G)>o；(2)数列｛〃卜背足：=f(a)(neN*).n 1 2 n+1 nc 1(i)证明：0<a<-(neN*)；n2(ii)证明：VngN*,a<a.n+ln.已知数列"｝满足q二|,土二混(心2).n n-1(1)求数列｛。｝的通项公式;n(2)设数列&｝的前〃项和为S，用数学归纳法证明：S<n+i-lnn n 〃 2.已知函数f(%)=xlnx+ax+1,aeR(1)当x>0时，若关于x的不等式f(x)2。恒成立，求a的取值范围;, -n 3 ,n+1n(2)当neN*时，证明：— <ln22+ln2—+ +ln2 < ,2n+4 2 nn+1.已知函数f(x)=alnx—ax—3(a£R).(I)求f(x)的单调区间(II)设a=-1,求证：当x£(1,+s)时，f(x)+2>0ZTTTX hirr1 M、(III)求证： <—(n^N且吟2)ax55.已知函数f(x)=ln(x+1)H (a£R).x+1(1)当a=1时，求函数f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；(2)讨论函数f(x)的极值；、 1-12-13-1 n-1(3)求证：ln(n+1)> +——+——+ (n£N*).12 22 32 n2.设函数f(x)=lnx+a，其中aeRx(1)讨论f(x)的单调性；(2)①若a=1,求f(x)的最小值②求证：[(n+1)!]2>(n+1)-en-1(neN*).提示：(n+1)!=1x2x3x…x(n+1).已知函数f(x)=xlnx和g(x)=m(x2—1)(m£R).(1)m=1时，求方程f(x)=g(x)的实根；⑵若对任意的x£(1,+s),函数y=g(x)的图象总在函数y=f(x)图象的上方，求m的取值范围；4 4义2 4义n⑶求证： +7r+…+ >ln(2n+1)(n£N*).4义1-1 4义22-1 4义n2-1.已知函数f(x)=x-lnx.(1)求f(x)的最小值;乙1、⑵设m为整数，且对于任意正整数n,*1+——<⑵设m为整数，且对于任意正整数n,I n2)小值..已知/G)=x—9(a>0),g(x)=21nx+bx,且直线y=2x—2与曲线ygxx相切.(1)求b的值；(2)若对h+8)内的一切实数％,不等式/G)2gG)恒成立，求实数q的取值范围；(3)求证： (几wN*).4[2-1i=l.已知函数/(X)=1n"+1.(1)求函数/Q)的单调区间和极值；In2In3Inn2n2-n-l( .7 4(2)证明：—+— +——<—rt-K~5eN*,nN2人Z232 〃2 45+U.已知函数/1(x)=ln(2x+a)(%>0,。>0),曲线y=/(%)在点(L/(D)处的切线在yc2轴上的截距为ln3--.(1)求a;2x(2)讨论函数g(%)=((%)-2%(%>0)和//(%)=。(乃一——-(%>0)的单调性;2x+l/\ 5-2〃+i 1(3)设〃 ),求证：——<--2<0(n>2).1 5 n+[n 2nan62.已知函数/(x)=ln(x+l)+a%2—x(aeA).(I)若对任意x2。，都有/(%)2°成立，求〃的取值范围；1111(II)证明：ln(l+0)+ln(l+/)+ln(l+/)+……+ln(l+-^==)>81.63.已知函数/(x)=x2—2xlnx,函数g(x)=x+3—Qnx”，其中。金氏，%是因(工)的, x 0一个极值点，且g(%)=2.(1)讨论〃%)的单调性

(2)求实数x和a的值0(3)证明Z,1 >11n(2n+1)(ngN*)k_户,；4k2—1 264y64y知数列"b^:%+1a n,a=1.a3+1 1nTOC\o"1-5"\h\z1 ,1/9(1)证明：a<-(n>2);n21 ，…a> (ngN).(2)证明：n: 14 +o,3n+Inn+—3 9.已知函数f(x)=ex,g(x)―In(x+a)+b.(I)若函数f(x)与g(X)的图像在点(0,1)处有相同的切线，求a,b的值;(II)当b=0时，f(x)-g(x)>°恒成立，求整数a的最大值;______ e(111)证明：ln2+(ln3—In2)2+(ln4—ln3)3++[ln(n+1)—Inn]n< e—1.已知函数f(x)=ax——(a>0)x(1)若f(x)2山x在［1,+g上恒成立，求a的取值范围.(2)证明：£">In(〃+1)+2(工°(n>1/gn*)k—1.已知函数f(^)=2x+1—ln2x(1(1)求函数f(x)1在区间4，4上的最值;也 ln12ln22ln32 Inn2 1 3.(2)求证： + + + + <n+ ——(ngN*且n三2).12 22 32 n2 n+121.设函数f(x)=x——aInxx(1)求f(x)的单调区间;(2)设g(x)=f(x)—alnx，且g(x)有两个极值点\,x2,其中、式0,e],求g(xj—g(x2)

的最小值；$\k-1 2-n-n2(3)证明：乙1n>=/八二(n金N*，n>2).k=2k+1 J2n(n+1).已知函数f(x)=x-a1nx-1.(1)若f(x)>0，求实数a的值；(2)求证：1n(2+1)+In(22+1)++In(2n+1)<1--1+n(n+1)1n22n 2.已知f(x)=x--(a>0),g(x)=2lnx+bx且直线y=2x—2与曲线y=g(x)相切.x(1)若对［1,+8)内的一切实数*,小等式f(x)>g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(2)当a=l时，求最大的正整数k,使得对［e,3］(e=2.71828是自然对数的底数)内的任意k个实数x,x.,,x.都有f(x)+f(x)+ +f(x)<16g(x)成立；1 2k 1 2 k-1 kn4n4i(3)求证：乙不一74i2-1i=1>1n(2n+1)(neN*)..设1为曲线c：y=1nx在点(1,0)处的切线(1)求1的方程；(2)证明：除切点(1,0)之外，曲线C在直线1的下方；1n21n31nn2n2-3n+1(3)求证： +++ < (其中neN*,n>2).TOC\o"1-5"\h\z24 34 n4 4n11 1 1 1 1.已知S=+-++-,S=1+-++--，直线x=1,x=n,y=0与曲线y=—123n2 2n-1 x所围成的曲边梯形的面积为S.其中neN，且n>2.(1)当x>0时，ax—<1n(x+1)<ax恒成立，求实数a的值;x+1(2)请指出S,S,S的大小，并且证明；12(3)求证：(3)求证：1n1 2)+ ——3i-13i)<1n3.1nx.已知函数f(x)=———1.x(1)若不等式f(x)>1na在xe[a,2a](0<a<e)上有解，求a的取值范围;2a

,，、 1r，, 1、.1、 .1 ，，一， ,⑵若g(n)=n+1"2)+为(1+22)++1n(1+孤月<m对任意的n€N*均成立,求m的最小值..已知函数f(x)=(x+1)lnx+(1—k)x+1.(1)当x>1时，不等式f(x)>0恒成立，求实数k的取值范围;(2)证明：Vn>2,n€N,ln5+ln11++In(n2+n-1)>n—2+—?—• n+1.已知函数r@)=ax2-Inx,aER.(1)讨论函数r3)的单调性;(2)当HEN*时，证明：22+32+42+，..+1n±i12>2eln(n+1).122232 h21.已知函数f(x)=3x3+ax2-bx+1(x€R,a,b为实数)有极值，且在x=1处的切线与直线x—y+1=0平行.(1)求实数a的取值范围;(2)是否存在实数a,使得函数f(x)的极小值为1,若存在，求出实数a的值；若不存在,请说明理由;(3)设函数g(x)=f(x)~2ax+"~--21nx试证明：g(x)>0在(1,+8)上恒成立并x111 1证明111 1证明1+2+3+4++〜€N*).已知函数f(x)=x—ln(x+a)的最小值为0,其中a>0.(I)求(I)求a的值;(II)(III)若对任意的X€[0,+8)，有f(X)<kx2成立，求实数k的最小值;(II)(III)证明“2/--1-1n(2n+D<2(neN*).i=178.已知函数g(x)=(1+—)1nx,h(x)=——x.x x(1)求证：函数g(x)与h(x)在x=1处的切线关于x轴对称;(2)若f(x)=g(x)+h(x)

(i)试讨论函数f(x)的单调性;、、een1 2n一1, - …、求证：ln—<1+—+—++ (n>2,ngN*).n23n.已知函数y(x)=21nx-x2,(1)求函数y=r(x)图象上一点a(ij(i))处的切线方程.(2)若方程/(汽)-2。=0在巴e］内有两个不等实根，求实数a的取值范围小为自然对数的底e数).(3)求证工+工++工23-&±工(n6%，且八22)1n2 1n3Inn2 n(n+1).函数f(x)=nx(n-Inx)，其中ngN*,xg(0,+8).(1)若n为定值，求f(x)的最大值；(2)求证：对任意mgN*，有ln1+1n2+ln3+ln(m+1)>2(%；m+1-1)2；(3)若n=2，Ina>1，求证：对任意k>0，直线y=-kx+a与曲线y=f(x)有唯一m mm m—1.已知mgR，函数f(x)=mx . /、1「-Inx，g(x)=—+Inx

x(. /、1「-Inx，g(x)=—+Inx

x(1)求g(x)的最小值;(2)若y=f(x)-g(x)在［1,+8)上为单调增函数,求实数m的取值范围;(3)1n21n31n4 lnnn2证明：——十——+——++——< 明2 3 4 n 2(n+1)82.已知f(x)=(x-2)ex-mQ2-2x).(1)讨论函数f(x)的单调性;⑵若函数f(x)有且仅有一个极值点，求函数g(x)=f(x)+xInx-x的最小值;(3)证明：工k=1~(e+1)(k+1)k+2上 ek+1k>n+In(n+1)(ngN*)..已知函数g(x)=x1nx,h(x)二竺~-(a>0).2(1)若g(x)<h(x)对xg(1,+8)恒成立，求a的取值范围;

/ 1¥-2/ 1¥-2(2)证明：不等式1+—1+—rn) , 1+—<e4对于正整数n恒成立，其中e=2.71828为自然对数的底数..已知函数f(x)=ex-kx,xgR.(1)若f(x)在(1,+8)为增函数，试求实数k的取值范围.(2)当k>0,若存在xg(0,+8)，使f(x)<0成立，试确定实数k的取值范围.(3)设函数F(x)f(x)f(x)，求证:F(x)F(x)>e&+x2+2.1 2F(1)F(2)…F(n)>(en+1+2)2，ngN*•.已知函数f(x)=ex-kx.(1)若k=e，确定函数f(x)的单调区间.(2)若k>0，且对于任意xgR，f(|x|)>0恒成立，求实数k的取值范围.(3)求证：不等式&:>|(n+1)对任意正整数n恒成立.i=1.已知函数f(x)=2Jx-1-kInx,且y=f(x)在x=2处的切线与直线2x+y-2017=0垂直.(1)求实数k值；⑵若不等式—2-2mt-4(,f(x)<|m-2eI-InQ+1)对任意的实数t及xgG,e2+1]恒成立,求实数m的取值范围；⑶设a；'2:+1，且数列"｝的前n项和为Sn，求证:1n&->1.87.已知函数f(x)二卫nx,g(x)=a(x-1).x+1(1)若函数y=f(x)与y=g(x)的图象恰好相切与点p(1,0)，求实数a的值；(2)当xg[1,+8)时，f(x)<g(x)恒成立，求实数a的取值范围；

一.、V4i,、一(3)求证：ln(2n+1)<乙——-(nwN+).4i2-1i=188.设&｝88.设&｝是正数数列，S=£an n ni=1且an+1=aa2(nwN*).求证：S<1+1nn+2

"T"89.已知数列89.已知数列｛a｝,｛b｝满足a=2n n 1b=4,且2b=a+a,a21 nn n+1 n+1=bbnn+1求a2,a3,a求a2,a3,a4及b24b4；猜想{a},{b}的通项公式，并证明你的结论;nnaa证明：对所有的nwN*,b，b1 3a :b-a-2n1<n ibb+a2n-1 n \n<<2sin90.设函数f(x)=(1-ax)ln(x+1)一bx其中a和b是实数，曲线y=f(x)恒与x轴相切于坐标原点.求常数b的值;11当0求常数b的值;11当0<x<1时，关于一,<a<--的不等式m=-

乙 J2a+1_ 恒成立a求实数a的取值范围;恒成立求证：对于任意的正整数〃恒成立.已知函数f(x)是在(0,+8)上每一点处均可导的函数，若xf'(x)>f(x)在(0,+8)上恒成立.,、f(x)9 、(I)①求证:函数g(x)=-一在(0,+8)上是增函数；x②当\>0x2>0时,证明：f(x)+f(x2)<f(x[+x2)；(11)已知不等式ln(x+1)<x在x>-1且x丰0时恒成立，求证:1,- 1.c1・,1,- 1.c1・,—ln22+—ln32+—ln42+…+22 32 421(n+1)2ln(n+1)2>n2(n+1)(n+2)wNx.(本小题满分12分)已知函魏S)=x-lna+a)