微积分期末测试题(附答案)

一单项选择题(每小题3分,共15分)TOC\o"1-5"\h\z.设limf(x)=k，那么点x=a是取的( ).xfa①连续点 ②可去间断点③跳跃间断点④以上结论都不对.设f(x)在点x=a处可导，那么limf。+h)-f。-2h=().h—0 h①3f(a) ②2f(a) ③f(a) ④3f(a).设函数f(x)的定义域为[-1,1],则复合函数f(sinx)的定义域为().…， 、 …兀兀 、 …， 、①(-1,1) ②——，— ③(。,+8) ④(-8,+8).设limf(x)一 )=1,那么f(x)在@处().x—a(x-a)2①导数存在，但f(a)中0②取得极大值③取得极小值 ④导数不存在5.已知lim5.已知limf(x)=0及(x—x0①g(x)为任意函数时③仅当limg(x)=0时x—x)，则limf(x)g(x)=0.x—x0②当g(x)为有界函数时④仅当limg(x)存在时x—x二填空题(每小题5分,共15分)1.lim1.limx-8x-sinxx+sinxlim(1+—)x+3=x-8xf(x)=Jsinx2，那么左导数f'(0)=，右导数f'(0)=- +三计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分)1.lim(—!—-—!—)x-1lnxx-1.1x二上求”Iy=tet dx2.y=ln(x+71+x2)，求dy和d2ydx2.由方程ex+y-xy=0确定隐函数y=f(x),求孚.dxx.设x=1,x=1+——n-^-,求limx.x-8n1+x x-8n-1

6.lim(3x-、，ax2+bx+c)=2，求常数a,b.xf8四证明题(每小题10分,共30分).设f(x)在(-8,+8)上连续，且limfx=limf-(-)-=0，证明:存在匕e(-8,+8),使xf+8Xxf-8Xf8)+a0.2.若函数f(x)在［a,+8］上可导，对任意xW(a,+8)，有|f,(x)尸M,M是常数，则f(x)lim^――=0.xf+8x23.证明函数y=sin1在(c,1)内一致连续，但在(0,1)内非一致连续.x答案一单项选择题(每小题3分,共15分)④2.①3.④4.③5.②二填空题(每小题5分,共15分)1.lim1.limxf8x-sinxx+sinxe_.lim(1+—)x+3=xf8xe_.f(x)=%；sinxx，那么左导数f'(0)=_-1,右导数f'(0)=_1.- +三计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分)

1,lim(—!———!—)x-iInxx-11--1 1 (x-1)-Inx x x-1解：lim( )=lim =lim -f=lim x-1Inxx-1 x-1(x-1)lnx x-[nx-(5.设x-1,x-1+——n-^~,求5.设x-1,x-1+——n-^~,求limx.1n1+x x-8nn-1x=lim=limx-1 =8lnx+1-1d2ydx2Ix=d2ydx2.《，求Iy=tetdydydt 1解——=——• =(et+tet)•一=(t+1)dxdtdx etd(dy)d2y=石(石，=1dx2 dx etdt.y—ln(x+<1+x2)，求dy和42ydx2解:dy=dln(x+%，1+x2)= ] d(x+\：1+x2)x+<1+x2，一一， - 1 ,一x一、 (dx^^d(dx+d(J1+x2))- (dx+_dx)x+<1+x2 x+<1+x2 <1+x2-1 dx,<1+x2d2y d1 1 1 -x ———[ ]--—•,一•2x— —dx2 dx、；1+x2 2J(1+x2)3 J(1+x2)34.由方程ex+y-xy=0确定隐函数y=f(x),求半dx解:方程两边求微分得d(ex+y-xy)-0,即dex+y-dxyex+y(dx+dy)-ydx+xdy所以，包-二+idxex+y-x

证明：先证｛单调增加显然x>x，设n=k时成立，即x>x,n 21 k k-1xx当n=k+1时，x-x=(1+——k—)-(1+——k-^-)k+1k 1+x 1+xx(1+x)一x(1+x)一x(1+x)(1+x)(1+x)k-1x n———1+xn-1k k-1一x^x一->0,所以｛单调增加;(1+x)(1+x) nk-1<2,所以由单调增加有界数列必有极限得％收敛nx-83x+x-83x+、,；ax2+bx+c=limx-82.若函数f(x)在［a,+8］上可导，对任意xW(a,+8)，有f(x)<M,M是常数，则x limx令limx=a,贝Ulimx=lim(1+——n—)=1+n>0nn-0n n-0n+1n-0 1+x 1+limx_n_ n-0n即 a=1+---,得a=I+"(a=-_舍去).1+a 2 26.lim(3x-Gax2+bx+c)=2，求常数a,b.x—8解：显然a>0,lim(3x-、；ax2+bx+c)

f(x)

lim =0.xf+8x2证明:因为f(x)在区间m,+8)满足।f(x)<m,所以满足李普希兹条件,即对任意的x,xe(a,+8),有|f(x)-f(x)1<Mlx-xI.1 2 1 1 2 1 21令b>a,则xe(a,+8),有|f(x)-f(b)|<M|x-b|成立.我们知limXf+8fb=0,故要证limfx=0,只需证limf(x我们知limXf+8fb=0,故要证limfx=0,只需证limf(x)-f(b)=0.x2xf+8x2xf+8x2x>b时,对任意给定的8>0,要使f(x)-f(b)=|f(x)-f(b)|<M|xx2只需x>2M即可,令X=max{b,8X2也}」,8Mx+Mb2M

< < <8x2x则当x>X时,<s成立即limXf+8x2f(x)-f(b)=0,所以得证.x23.证明函数y=sin1在(c,1)内一致连续，但在(0,1)内非一致连续.x证明:设0<c<x,x<1对,任意的8>0,要使0sin1-sinX=2cos(x0Xsin1-sinX=2cos(x0X+X 0-)sin(2xx0c.1.1=2cos(一+一2x2xx-x、 - 0)<22xx0)sin(X-_L)2x2x0x-x 02xx00x-x 0-<8,c2只需|x-x0只需|x-x0所以对任意的8>0,存在3=C28>0,当|有sin--sinxx0〃 ;r,x人 兀nn兀+—21<8成立,故y=sin1在(c,1)(c>0)上是一致连续的,〃为正整数,兀n兀一一2.1.1

sin-.1.1

sin--sin—x， x"n n=1-(-1)|=2x-x= f0,(nf8)TOC\o"1-5"\h\znn 兀24n2兀2-一4所以对小于2的任意8>0,不能找到一致连续定义中的3，使得当kn-x1<3时,.1 .1_sin--sin—<8x， x"n n(3x-a：ax2+bx+c)(3x+\：ax2+bx+c) 3+；a+b+£3x+yax2+bx+c 、：xx2 0=lim =lim ! =2x-89x2-ax2-bx-c x-89x一ax一b一cx所以,9—a=0,3+、1"=2,得a=9,b=-3.-b四证明题(每小题10分洪30分)1.设f(x)在(-8,+8)上连续，且limfx=limf(x)=0，证明:存在匕e(-8,+8),使x-+8*********x x-—8x证明:因为limfx=0,所以对s<1,存在X>0,使得当x>X时，有x-+8xf(x)<e成立，即一xe<f(x)<xe,x故—x(e+1)<f(x)-x<x(e-1