《多传感器数据融合及其应用》课件第2章

第2章状态估计2.1卡尔曼滤波器2.2常系数α-β和α-β-γ滤波器2.3自适应α-β滤波器2.1卡尔曼滤波器2.1.1用数字滤波器作为估值器

1.非递归估值器

根据数字信号处理我们知道，所谓非递归数字滤波器是一种只有前馈而没有反馈的滤波器，它的冲击脉冲响应是有限的，在许多领域有着广泛的应用。现在假定用zk表示观测值，zk=x+nk

(2-1-1)式中：x——恒定信号或称被估参量；

nk——观测噪声采样。同时假定，E(x)=x0，D(x)=σ2x，E(nk)=0，E(n2k)=σ2n。设有m个由式(2-1-1)确定的观测数据，用图2-1给出的非递归滤波器进行处理，这与数字信号处理中采用的频域分析方法不同：其一，这里采用的是时域分析方法；其二，这里不是滤波，而是估值，或者说是在掺杂有噪声的测量信号中估计信号x。图2-1采样平均估值器

图中，h1,h2,…,hm是滤波器的脉冲响应hj的采样，或称滤波器的加权系数。由图2-1可以看出，滤波器的输出(2-1-2)当h1=h2=…=hm=1/m时，该式表明，估计是用m个采样值的平均值作为被估参量x的近似值的，故称其为采样平均估值器。估计的均方误差以Pε表示，有当i=j时δij=1，当i≠j时δij=0，有最后，（2-1-3）

由此可以得出两点结论：

(1)该估值器的均方误差随着m的增加而减少，从这个意义上说它是个好的估值器；

(2)说明该估值器是一个无偏估值器。2.递归估值器根据数字滤波器的基本原理可知，递归数字滤波器是一种带有反馈的滤波器，它有无限的脉冲响应，有阶数少的优点，但其暂态过程较长。关于信号和噪声的基本假设与非递归情况相同。图2-2给出了一个一阶递归滤波器，其输入输出信号关系如下：（2-1-4）式中，zk与非递归情况相同；a是一个小于1的滤波器加权系数，如果它大于或等于1，该滤波器就不稳定了。图2-2一阶递归滤波器作估值器第k时刻的输出yk=ak-1z1+ak-2z2+…+azk-1+zk

(2-1-5)将zk中的信号和噪声分开，并代入式(2-1-5)，有输出(2-1-7)由于│a│＜1，故随着k值的增加，yk趋近于x/(1-a)。这样，如果以(1-a)yk作为x的估计值，则(2-1-6)

此时的信号x和估值之间只差一个噪声项。当k值较大时，估值的均方误差(2-1-8)而一次取样的均方误差(2-1-9)故上一结果的均方误差约为一次采样的（1-a）/（1+a）倍。2.1.2线性均方估计

1.最优非递归估计由前面知，非递归滤波器的估计值及其估计误差可分别表示为只要对m个参数逐一求导，并令其等于零，在均值为零的白噪声的情况下，可得到最小均方误差和估计：(2-1-10)其中，b=σ2n/σ2x，在b<<m时，这种估计近似于采样平均。在噪声方差σ2n较大时，其性能明显优于非最佳情况。这种最小均方误差准则下的线性滤波，通常称作标量维纳滤波。必须注意的是，这里的hj与非最优情况的不同，这里的滤波器的加权系数为2.由最优非递推估计导出递归估计由前可知，非递归估值器可以表示为(2-1-12)条件与前面相同。对k+1次取样，相应的估计量(2-1-13)相应的估计误差(2-1-14)(2-1-15)由b=σ2n/σ2x及hi(k)=1/（k+b），有所以有(2-1-16)(2-1-17)(2-1-18)于是,分成二项：将第一项同时乘、除一个bk，则(2-1-19)最后,有(2-1-20)或(2-1-21)图2-3两种递归估值器

应用时要注意初始条件，即递推开始时的初始值的问题。我们希望初始的满足以使为最佳值。解之，得 ，这时的 。如果E(x)=0，可从零开始递推运算，即2.1.3最优递归估值器——标量卡尔曼滤波器

1.模型

1）信号模型设要估计的随机信号为由均值为0，方差为σ2w的白噪声激励的一个一阶递归过程，即信号对时间的变化满足动态方程：x(k)=ax(k-1)+w(k-1) (2-1-22)式中，a——系统参数；

w(k-1)——白噪声采样。如果令x(0)=0，E［w(k)］=0，则由式(2-1-22)定义的过程，称作一阶自回归过程。x(k)的均值和方差分别为：(2-1-23)(2-1-24)自相关函数(2-1-25)2）观测模型观测模型由下式给出：z(k)=cx(k)+v(k)(2-1-26)式中：c——测量因子；

v(k)——E(·)=0，D(·)=σ2n的白噪声。最优递推估值器的信号和观测模型如图2-4所示。图2-4最优递推估值器的信号和观测模型2.标量卡尔曼滤波器由前一节，我们可将递归估计的形式写成：(2-1-27)均方误差分别对a(k)和b(k)求导，并令其等于0，求其最佳估计，得出a(k)与b(k)的关系：a(k)=a［1-cb(k)］(2-1-28)最后有递归估值器：(2-1-29)b(k)称滤波器增益，(2-1-30)其中,(2-1-31)均方误差(2-1-32)

对于给定的信号模型和观测模型，上述一组方程便称为一维标量卡尔曼滤波器，其结构如图2-5所示。图2-5标量卡尔曼滤波器结构

3.标量卡尔曼预测器

标量卡尔曼滤波是对掺杂有噪声的随机信号进行线性估计。但经常要对信号的未来值进行预测，特别是在控制系统中。在雷达数据处理或数据融合问题中也经常遇到这一问题。我们根据预测提前时间的多少，把预测分成1步、2步、…、m步预测，通常把1步预测记作。可以想像，预测的步数越多，误差越大。这里我们只讨论1步预测问题。信号模型和观测模型同前：(2-1-33)根据前一节，我们有一步线性预测递推公式：其中，a(k)和β(k)可以通过使均方预测误差最小来确定。预测的均方误差可表示为(2-1-34)将预测方程代入该式，并求导，就会得到一组正交方程：(2-1-35)解之，得a(k)=a-cβ(k)将其代入预测方程，有(2-1-36)进一步可求出：(2-1-37)其中，

由以上表达式可以看出，可根据均方预测误差Pε(k/k-1)计算β(k)，然后再给出Pε(k+1/k)的均方预测误差。图2-6最优一步预测及滤波器(a)最优一步预测器；(b)最优一步预测及滤波器2.1.4向量卡尔曼滤波器

1.信号向量和数据向量

如果要求对q个信号进行同时估计，这q个信号在k时刻的采样值记作x1(k)、x2(k)、…、xq(k)。假设每个信号都是由一阶自回归过程产生的，即第α个信号在时刻k的采样值为:xα(k)=aαxα(k-1)+wα(k-1)α=1，2，…，q

（2-1-38）每个wα过程都是白的，零均值的，与其它过程的采样是独立的。于是把q个信号与q个白噪声组成的q维向量分别表示成（2-1-39）显然，X(k)=AX(k-1)+W(k-1)(2-1-40)式中，X(k)，X(k-1)，W(k-1)都是q维向量，A是个q×q阶矩阵，即(2-1-41)

如果信号不满足一阶递归差分方程，而满足二阶递归差分方程，即x(k)=ax(k-1)+bx(k-2)+w(k-1)(2-1-42)定义两个分量x1(k)=x(k)x2(k)=x1(k-1)=x(k-1)于是，有(2-1-43)最后，有X(k)=AX(k-1)+W(k-1)(2-1-44)结果把一个二阶差分方程变成了一个一阶二维向量方程，该方程用起来更简单方便。

在雷达跟踪时，如果用R(k)表示k时刻的距离，R(k)表示k时刻的速度，U(k)表示k时刻的加速度，T表示采样周期，则.(2-1-45)写成一般形式：(2-1-46)其中，写成向量形式：(2-1-47)最后,有(2-1-48)即可写成一阶向量的形式。在对信号向量进行估计的过程中，同时产生r个含有噪声的测量值，记作z1(k)，z2(k)，…,zr(k)。则得到一组观测方程:其中，vi(k)表示附加噪声，ci表示第i个测量参数，于是有Z(k)=CX(k)+V(k)(2-1-49)式中，Z(k)，V(k)是r维向量，X(k)是q维向量，C是r×q阶矩阵。对于r=q，有(2-1-50)C即是观测矩阵。

2.向量问题的表示

根据前面的讨论，我们完全可以把前面的信号模型动态方程和观测方程写成如下形式:(2-1-51)这里，我们采用标量运算和矩阵运算的等价关系，把它推广到多维情况，如下所示：据此，可以将观测噪声的方差变成协方差矩阵，(2-1-52)对两个信号的情况，则有(2-1-53)同理，也可以把系统噪声的方差变成协方差矩阵，即(2-1-54)由于系统噪声采样互不相关，该协方差矩阵的非对角线元素的值均为零。单一信号均方误差也可变成协方差矩阵，(2-1-55)

3.向量卡尔曼滤波器现在就可利用前面的概念，直接把标量卡尔曼滤波器公式变成向量卡尔曼滤波器公式：(2-1-56)滤波器增益：(2-1-57)式中，实际上，它是预测协方差。误差协方差矩阵：(2-1-58)这里用K(k)代替了B(k)，因K(k)是通用符号。具体如图2-7所示。图2-7向量卡尔曼滤波器结构增益矩阵K(k)的计算流程如图2-8所示。图2-8增益矩阵计算流程4.向量卡尔曼预测器根据与上节相同的推导方法，我们可以获得卡尔曼预测器方程组。预测方程：（2-1-59）预测增益:（2-1-60）预测均方误差:（2-1-61）

它们与标量的情况是一一对应的，只是用G(k)代替了β(k)。这样，就可以将滤波和预测用同一个方框图表示出来。

5.总结卡尔曼滤波器应用广泛，这里只对其进行简单归纳。

1）卡尔曼滤波器的主要特性卡尔曼滤波器是一个递归、线性、无偏和方差最小的滤波器，如果过程噪声和观测噪声是正态高斯白噪声，则它保持最佳特性。2）卡尔曼滤波器模型目标运动模型：（2-1-62）位置测量模型：（2-1-63）状态方程:X(t+T)=Φ(t)X(t)+W(t)Q(t)=E［W(t)W(t)T］（2-1-64）观测方程:Z(t)=HX(t)+V(t)R(t)=E［V(t)V(t)T］（2-1-65）3)卡尔曼滤波器方程组残差:（2-1-66）

预测方程:（2-1-67）状态估计:（2-1-68）卡尔曼滤波器增益:（2-1-69）

预测协方差:（2-1-70）估计协方差:（2-1-71）2.1.5扩展卡尔曼滤波器在通信、雷达、自动控制和其它一些领域中，从被噪声污染的信号中恢复有用信号的波形，或者估计状态，均可采用卡尔曼滤波器。例如航天飞机轨道的估计、雷达目标的跟踪、生产过程的自动化、天气预报等。卡尔曼滤波主要用来解决目标航迹的最佳估计问题，但它所使用的动态方程和观测方程均是线性的。在雷达目标跟踪等很多实际应用中，传感器所给出的是目标的斜距、方位角和高低角，数据与目标之间又是非线性的，目标的状态方程只有在直角坐标系中才是线性的。这就导致若在直角坐标系和极坐标系中只选择在一个坐标系中建立系统动态方程，要么是状态方程是线性的，测量方程是非线性的；要么是状态方程是非线性的，测量方程是线性的。这便是在现代雷达跟踪中往往采用混合坐标系的原因。

扩展卡尔曼滤波器，是一种采用混合坐标系进行滤波和残差计算的卡尔曼滤波器，在实际运算时，它所采用的动态方程和测量方程均是线性的。扩展卡尔曼滤波器与标准卡尔曼滤波器的主要区别在于：（1）在计算残差时，采用极坐标系；（2）在跟踪计算时，采用直角坐标系；（3）输出数据为直角坐标系数据；（4）在两者的交接处进行相应的坐标变换。图2-9混合坐标系跟踪滤波流程1.系统的状态方程和测量方程

状态方程：（2-1-72）其中,Φ(k)为状态转移矩阵。测量方程:Z(k+1)=H(k+1)X(k+1)+V(k+1)（2-1-73）其中,E［V(k)］=0E［V(k)VT(j)］=R(k)δkjH(k+1)为观测矩阵。

2.观测方程的线性化众所周知，雷达的观测是在极坐标下进行的。对于一个直角坐标为（x，y，z）的空中目标，雷达所测的三个极坐标分别为：（2-1-74）观测向量Z(k)=［r(k),θ(k),φ(k)］T为目标向量的非线性函数：Z(k)=F［X(k)］+V(k)（2-1-75）其中，V(k)为观测噪声，其协方差矩阵为

为了使用卡尔曼滤波器在极坐标系中解算残差，需要将直角坐标系中的预测值近似线性地变换到极坐标系。假定k+1时刻的预测误差为（2-1-76）球面坐标系中的预测值为（2-1-77）将其以 为中心用泰勒级数展开，并略去二次以上的高阶分量，可得（2-1-78）于是有极坐标系中的目标测量值与预测值之差为（2-1-79）若令则可得（2-1-80）并且有对前面的雷达方程，有（2-1-81）3.扩展卡尔曼滤波方程

预测方程:（2-1-82）

观测矩阵:（2-1-83）

预测协方差阵:P(k+1/k)=Φ(k)P(k)ΦT(k)+Q(k)（2-1-84）残差协方差阵:S(k+1)=H(k+1)P(k+1/k)HT(k+1)+R(k+1)（2-1-85）

滤波增益矩阵:K(k+1)=P(k+1/k)HT(k+1)S-1(k+1)（2-1-86）

滤波输出:（2-1-87）（2-1-88）滤波误差协方差阵:（2-1-89）或P(k+1)=P(k+1/k)-K(k+1)S(k+1)KT(k+1)

4.滤波器的启动

1)三点启动在滤波器工作时，如果目标以匀加速运动，通常要采用三点启动，即利用航迹的前三个数据:Z(1)=［r1,θ1,φ1］Z(2)=［r2,θ2,φ2］Z(3)=［r3,θ3,φ3］估计令i=1,2,3则航迹起始的状态估计（2-1-90）其中T是扫描周期。初始状态协方差矩阵P(3)=BR′BT

（2-1-91）其中B为相对于3个初始观测数据的Jacobian矩阵，即（2-1-92）R′为扩展的观测噪声协方差矩阵：（2-1-93）（2-1-94）

i=x,y,z

（2-1-95）为x,y,z轴方向的加速度扰动，分别是距离、方位角和高低角方向的噪声方差。2)二点启动如果在滤波器工作时，目标以匀速直线运动，则航迹只需两点启动。假定前两点的测量值分别为Z(1)=［r1,θ1,φ1］Z(2)=［r2,θ2,φ

2］利用它们来估计和。航迹起始的状态估计（2-1-96）其中T是扫描周期。初始状态协方差矩阵其中B为相对于两个初始观测数据的Jacobian矩阵，即（2-1-97）R′为扩展的观测噪声协方差矩阵:i=x,y,z（2-1-98）σ2ai为x,y,z轴方向的加速度扰动，分别是距离、方位角和高低角方向的噪声方差。显然，H（k+1）是三点启动时的化简：（2-1-99）2.1.6卡尔曼滤波器在雷达跟踪中的应用

1.系统矩阵假定系统矩阵是四维矩阵，即距离、速度、方位角及其变化率,它们分别由R，，θ和表示，距离方向上的加速度和角度方向的加速度分别由ur(k)和uθ(k)表示。状态方程为(2-1-100)则系统方程为(2-1-101)用标准符号x1，x2

，x3,x4分别表示R，R,θ,θ。式(2-1-101)中，A为系统矩阵，W(k)为噪声项。..

2.观测矩阵

假定观测值只有距离和方位两个，即R和θ，分别用z1和z2来表示。它们是由状态值和测量噪声组成的，且测量噪声是相互独立的零均值的白噪声。测量方程：(2-1-102)则有其中，x1(k)=r(k)，x3(k)=θ(k)。

以上两个问题实际上是建立模型问题。

3.观测噪声协方差矩阵

在计算滤波器增益时，需知观测噪声的协方差矩阵。由于只有两个参数，因此(2-1-104)这里利用了方位和距离观测噪声相互独立的条件，故左下角和右上角项为零。

4.系统噪声协方差矩阵

假定目标作匀速运动，但由于大气湍流等因素的影响，目标产生随机加速度，在距离和方位上都存在随机扰动,于是有且因为得输入扰动的协方差矩阵(2-1-105)

5.滤波器的初值在运算之前，必须对滤波器进行初始化。首先利用一种比较简单的方法确定，可利用时刻1和时刻2两点的距离和方位测量值，即z1(1)，z1(2)，z2(1)，z2(2)，建立，而忽略随机加速度。(2-1-106)6.均方误差矩阵由滤波器初值，有误差矢量从而，（2-1-107）初始误差的协方差矩阵(2-1-108)由于u，v相互独立，且各噪声采样之间也独立，则(2-1-109)式中,这样，所需要的参数均已具备，可以进行迭代运算了。2.1.7扩展卡尔曼滤波器在目标跟踪和卫星轨道确定方面的应用

1.目标跟踪假设被跟踪的目标是在二维空间内运动，要根据所测量的距离和方位数据实现对目标的跟踪。所采用的坐标系为直角坐标系［x(t)，y(t)］，其速度以 表示，目标状态表示为四维矢量：（2-1-110）我们把目标的加速度看作高斯白噪声，目标的动态方程便可以表示为（2-1-111）其中，W(t)是连续时间二维高斯白噪声矢量过程，并有其中Q是2×2阶协方差矩阵。

观测是由观测者(也可能是雷达系统)进行的，它位于坐标原点。观测数据包括距离r(ti)和方位θ(ti)。(2-1-112)距离以米表示，方位以弧度表示（1rad=57.29578°）,如图2-10所示。图2-10一个简单的目标跟踪

我们假设，观测夹杂着高斯白噪声，于是就可以将观测矢量Z(tk)写成(2-1-113)其中Vk是二维离散时间高斯白噪声矢量过程，有每5s采样一次，如表2-1所示。下面的参数用来产生这些数据序列：表2-1目标跟踪问题的数据

为了验证程序的正确性，利用以下给出的初始估计和初始协方差矩阵:并利用R，Q的值，得出滤波器的列表输出。利用该程序确定不同的R值对估值的影响。并讨论什么样的R值是最好的。2.卫星轨道确定这里的任务是确定围绕地球运行的卫星的轨道。我们假设卫星被限定在一个圆形轨道上运行，并且把地球看作为一个质点。卫星的二维位置和速度由下面的参量描述：v(t)——卫星速度，以km/s表示；γ(t)——由本地水平线测量的飞行路径角，以rad表示；

r(t)——卫星对地球中心的距离，以km表示；φ(t)——卫星与赤道的夹角，以rad表示。图2-11卫星状态参量在没有扰动的情况下，卫星的轨迹可由以下差分方程确定：（2-1-114）其中，μ=398602.8225km3/s2是地球的引力常数。卫星的状态由下式表示：其动态特性(2-1-115)式中，W(t)表示未知扰动，如空气阻力、地球引力场变化等。我们把W(t)看作一个四维的连续时间高斯白噪声过程，有其中Q是4×4阶协方差矩阵。

为了简单起见，我们假设φ(k)和γ(k)是可直接观测的，这样一来，观测矢量（2-1-116）其中而Vk是离散时间高斯白噪声过程,EKF的预测值（2-1-117）其中， 是非线性微分方程 在时刻tk+1的解，以tk

时刻的 值作为初始条件。这个解通常是利用数字的方法得到的。对于这个问题,利用欧拉（Euler）法，我们把区间［tk

，tk+1］分成L个子区间［tk，tk，1］，［tk，1

，tk，2］，…，［tk，L-1，tk+1］。我们根据 计算 ，有（2-1-118）

实现EKF也要求由矩阵 计算状态转移矩阵Φ(t,tk)。对于这个问题，可以利用下面的近似式:这里的l选3或4。

用于模拟的数据见表2-2。这个数据的Q=0，即无过程噪声；R的值为数据采样间隔为200s；初始条件为用Euler法根据 计算预测值 的步长为200。换句话说，即2.1.8目标机动检测1.归一化残差功率法

归一化残差功率法的基本思想是从当前时刻开始，连续检测前m个采样时刻的跟踪滤波器的短时间平均残差功率，根据它的先验分布，然后按照尼曼—皮尔逊准则，给定一个虚警率，信号第一次超过预先设定的门限，就认为机动开始。我们将短时间平均残差功率定义为式中：ε(k)——滤波器的残差，等于 ；

P(k)——滤波器的误差方差；

m——窗口宽度，通常取m=5～8。(2-1-119)

由式(2-1-119)可以看出，S（k）是一个归一化的残差平均功率。在跟踪的过程中，就相当于存在一个窗口，其宽度为m，每次都将窗口内的m个残差平方求和。所以要对它进行平方求和，就是要构造一个统计特性已知的统计量，以便对它进行估计。我们知道，滤波器残差服从均值为0的高斯分布，m个高斯分布的随机变量之和服从自由度为m的χ2分布；当目标进行机动时，就相当于在高斯随机变量中增加了一个机动分量，使平均值迅速增加，m个残差平方之和就变成了非中心的Γ分布。这样，给定一个虚警率，如10-6，计算出一个门限T，只要信号超过该门限，按照尼曼—皮尔逊准则，检测到目标机动的概率就是最大的。

2.衰减记忆法衰减记忆法实际上也是一种χ2检验法。首先定义一个归一化的残差平方变量S(k)=ε(k)TP-1(k)ε(k)(2-1-120)式中，ε(k)是残差。与前一种方法相同，P是残差的误差协方差矩阵。然后定义一个检验统计量(2-1-121)其中，0＜λ＜1。由于该式可迭代运算，显然λ起到了一个衰减因子的作用，所以有时将这种方法称为衰减记忆法。S(k)服从自由度为m1的χ2分布，这里的m1与前一种方法的m意义不同，这里表示测量的维数，如进行的是一维测量，则m1=1。构造了检验统计量之后，我们首先想到的是，若要进行统计检验，必须知道μ(k)的概率分布，然后给定虚警率以确定门限。我们知道，式(2-1-121)在稳态时，有(2-1-122)对两侧取平均，就可以得到μ(k)服从自由度为mΔ的χ2分布的随机变量，其中Δ=(1-λ)-1

(2-1-123)其它与第一种方法完全相同。

这里需要强调的是，不管前面介绍的方法，还是后面将要用到的方法，要想检测到目标的机动,必须注意三点：

(1)在跟踪的过程中，目标进行机动时，在跟踪滤波器的哪一点上的信号能够反映目标的机动，显然，这就是残差；

(2)知道残差的统计特性，然后构造一个什么样的已知特性的统计量，最后对它进行检测；

(3)我们是把目标机动信号当作“信号”看的，然后在噪声中对它进行检测。把握了这些基本原则，就可能构造出各种各样的自适应滤波器。2.1.9自适应卡尔曼滤波器

1.非零均值相关加速度正态截断模型目标机动就意味着目标加速度的变化。假设目标加速度的均值不为0，即它不是一个平稳的随机过程，因此，可用非零均值相关模型来描述目标的机动：（2-1-124）通过典型离散化处理，可以得到离散化状态方程为（2-1-125）其中,（2-1-126）为常数矩阵,（2-1-127）

正态分布是自然界中最常见的分布，许多随机过程都服从正态分布或可用正态分布来近似，或以正态分布为极限，有些分布可通过正态分布来导出。所以，将目标的机动加速度模拟为正态分布是首先想到的。在每一种具体的战术场合，人们所关心的仅是机动加速度的“当前”概率密度,即目标机动的当前可能性，当目标正以某一加速度机动时，它在下一瞬时的加速度取值范围是有限的，而且只能在“当前”加速度领域内。因此，在描述机动加速度的概率密度时，完全没有必要考虑机动加速度取值的所有可能性。

目标的机动是由未知的飞行指令产生的，而飞行指令的产生受到大气湍流、地面火力变化、气候变化等多种因素制约。加上有人驾驶飞行器中操作人员和飞行器本身对加速度承受能力的限制，所以在考虑目标机动加速度的当前模型时假设：

(1)目标最大加速度是有界的，现阶段目标机动可达5g～6g(g=9.8m/s2)，假设目标最大加速度amax=8g；

(2)如果a很大，则下一时刻目标a的变化范围就很小，反之亦然。

对于正态分布的随机变量，随机变量与数学期望的偏差落在3σ的范围之外的概率上限为0.003。所以我们假设则方差与均值之间的关系为(2-1-128)

2.σ2a的实时获取

如果是Kalman滤波器的一个状态变量，则Kalman滤波器的输出本身包含目标机动的统计信息。由最优估计理论可知，状态的估计值即为给定输入的条件均值,（2-1-129）其中：Zk={Z(1),Z(2),Z(3),…,Z(k)}，所以可用代替，则有（2-1-130）这样扰动协方差矩阵Q即可以实时更新，从而达到自适应跟踪滤波的目的。如果用代替，可得到预测表达式和转移矩阵Φ1(k)。3.滤波算法状态预测方程为(2-1-131）预测协方差矩阵为(2-1-132）测量预测值为(2-1-133）新息协方差矩阵为S(k+1)=H(k+1)P(k+1/k)HT(k+1)+R(k+1)(2-1-134）其中，

增益矩阵为（2-1-135）状态滤波估值为（2-1-136）估值误差协方差矩阵为（2-1-137）2.2常系数α-β和α-β-γ滤波器2.2.1目标运动模型对于匀速和匀加速运动的目标，有目标运动模型(2-2-1)(2-2-2)式中，w(k)为均值为0、方差为σ2的高斯白噪声，T

为对目标的采样周期。2.2.2常系数α-β和α-β-γ滤波器

对于匀速运动的目标，可以采用方差和最小的准则进行滤波和预测，这就是我们要介绍的α-β和α-β-γ滤波器。常系数α-β滤波器定义如下。滤波方程：(2-2-3)预测方程：(2-2-4)滤波方程和预测方程也可以分别写成如下形式：滤波器和预测器如图2-12和图2-13所示。图2-12α-β位置平滑滤波器流程图图2-13α-β预测器流程图常系数α-β-γ滤波器定义如下：滤波方程：(2-2-5)预测方程：(2-2-6)对α-β-γ滤波器，滤波和预测方程也可写成(2-2-7)(2-2-8)α，β，γ为系统增益，分别称为位置增益、速度增益和加速度增益。2.2.3常系数α-β和α-β-γ滤波器的系数

α-β和α-β-γ滤波器的系数可以通过频域分析得到。

1.α-β滤波器的系数(2-2-9)2.α-β-γ滤波器的系数(2-2-10)式中：ω0——滤波器的固有频率；ωd——滤波器的阻尼固有频率；ξ——阻尼系数；d——滤波器的实根。分析表明，为了保证滤波器的稳定工作，滤波系数α和β应满足如下的关系：

由于这些参数均为对应模拟滤波器的参数，使用起来比较复杂，这里直接给出一组用临界阻尼法、最佳选择法给出的系数。对α-β滤波器，通常在给定α值的情况下，计算β值:(1)(2)一般取α=0.3～0.5。对α-β-γ滤波器，其参数如下：(2-2-12)给定α，得R，最后得β和γ。式中R是系统特征方程三重正实根。(2-2-13)这组系数也是在给定α的情况下，计算β和γ。在进行频率分析时我们会看到，α-β和α-β-γ滤波器是低通滤波器。位置平滑是将位置测量值通过低通滤波器而得到的；而速度和加速度平滑是在足够低的频率上，通过对位置测量值的微分得到的。当滤波器的实根d=1时，α-β-γ滤波器降为α-β滤波器。2.2.4变系数α-β和α-β-γ滤波器的系数1.α-β滤波器假定滤波器采用两点启动在启动后的N步中，时刻k的滤波器参数(2-2-14)N+3步后，α保持不变，β和α的关系为这时有预测方程和滤波方程：预测方程:(2-2-15)滤波方程:(2-2-16)2.α-β-γ滤波器

滤波器采用三点启动，启动时α=1,在启动后的N步中，时刻k的滤波器参数(2-2-17)N+3步后，α保持不变，β、γ与α的关系为(2-2-18)2.2.5α-β和α-β-γ组合滤波器对于匀速和匀加速运动的目标，可以将α-β和α-β-γ滤波器联合使用。在滤波参数不变的情况下，可以得到更高的跟踪精度。组合滤波器结构如图2-14所示。图2-14组合滤波器结构图2-14中，其输出(2-2-19)是组合滤波器的滤波输出;分别为α-β、α-β-γ滤波器的滤波输出;d1(k)、d2(k)分别为α-β、α-β-γ滤波器的残差：、(2-2-20)

这里参数的选择可采用上边给出的变参选择方法。其基本思想是：目标在稳态时，滤波器采用稳态滤波参数；目标机动后，为防止目标丢失，增加滤波器增益，并使滤波器进入暂态过程，这就是变参的基本思想。目标机动与否，可根据一步预测方差的大小来判断。2.3自适应α-β滤波器2.3.1目标运动方程和观测方程

运动方程：X(k+1)=Φ(k)X(k)+W(k)（2-3-1）其中,E［W(k)］=0,E［W(k)WT(j)］=