理论力学课件 第三章 分析力学2

理论力学ClassicalMechanics2024第三章分析力学最速降线：路径选择登上历史舞台3.1运动解释：选择作用量最小的路径3.2动力学方程：从拉格朗日函数出发3.3对称操作：如何寻找系统的守恒量3.433.3动力学方程：从拉格朗日函数出发3.3动力学方程：从拉格朗日函数出发不考虑时间的直接影响，所以我们把拉格朗日函数里面的时间依赖给去掉注意，相邻时刻之间的时间间隔dt，要非常短。作用量的形式把作用量给算出来，涉及时间的复杂的积分，怎么办呢？首先把连续的时间，处理成离散的时刻，用整数n来标记。13.3动力学方程：从拉格朗日函数出发L对时间的积分就可以用求和替代:将时间离散化处理后，作用量里面的关键元素和计算就可以被离散的处理了。2

3.3动力学方程：从拉格朗日函数出发总的作用量的离散化公式:对于质点的位置x，我们需要找到一个可以代表整个小区间的位置点3

3.3动力学方程：从拉格朗日函数出发哈密顿原理告诉我们，要通过调整物体的运动轨迹使得作用量S最小;现在轨迹被离散化成了一个一个的点,所以调轨迹就简化成了调这些点.第8个点对总作用量的贡献只有两项:

3.3动力学方程：从拉格朗日函数出发

3.3动力学方程：从拉格朗日函数出发第一项:第二项:把两项合起来，所以的结果是:

-----欧拉-拉格朗日方程3.3动力学方程：从拉格朗日函数出发让拉格朗日函数等于粒子的动能减去粒子的势能:代入前面得到的微分方程：继续往下算：

3.3动力学方程：从拉格朗日函数出发当取广义坐标时，对于每一个自由度，推导完全一致，有广义坐标下的方程

在广义坐标下，对于保守力系下的多质点系统，其拉格朗日量可写为简写为3.3动力学方程：从拉格朗日函数出发

解:如图所示，小环的坐标为取广义坐标为可得坐标变换于是，小环的动能为3.3动力学方程：从拉格朗日函数出发由于在水平面上，小环的势能为零，有拉格朗日函数为将其带入欧拉-格朗日方程可得关于广义坐标的方程3.3动力学方程：从拉格朗日函数出发其通解为代入初始边界条件可得小环的运动方程为33.4对称操作：如何寻找系统的守恒量3.4对称操作：如何寻找系统的守恒量继续来挖掘欧拉-拉格朗日方程方程的潜力从哈密顿原理出发欧拉-拉格朗日方程基于欧拉-拉格朗日方程得到了牛顿第二定律3.4对称操作：如何寻找系统的守恒量操作与对称把这个结果带入，欧拉-拉格朗日方程：孤立质点所处的时空是对称的，那这意味着什么呢？拉格朗日函数中不包括坐标和时间项。拉格朗日量是速度大小的函数拉氏量对位置的求导3.4对称操作：如何寻找系统的守恒量若某量的时间导数为0，则该量随时间不变，即该量守恒。对上述方程进行积分不显式出现的坐标称为循环坐标，对应一个守恒的循环3.4对称操作：如何寻找系统的守恒量对于自由质点，代入具体的拉格朗日函数形式，我们得到通过欧拉-拉格朗日方程及系统的对称性，我们导出了动量守恒原理。3.4对称操作：如何寻找系统的守恒量考虑由地球和太阳组成的二质点系统当我们对系统进行整体平移，即得到3.4对称操作：如何寻找系统的守恒量拉格朗日函数具有平移对