2-2 平稳随机过程和各态历经过程

2.2平稳随机过程和各态历经过程2.2.1严平稳过程2.2.2宽平稳过程2.2.3各态历经过程2.2.4平稳随机过程的相关性分析2021/6/2712.2.1严平稳过程

一个随机过程的任何n维分布函数或概率密度函数与时间起点无关，即对任意的正整数n和所有实数τ，随机过程X(t)的n维概率密度函数满足：

fX(x1,x2,···,xn;t1,t2,···,tn)=

fX(x1,x2,···,xn;t1+τ,t2+τ,···,tn+τ)则称X(t)是严格意义下的平稳随机过程（严平稳随机过程或狭义的平稳随机过程）。

严平稳过程的n维概率密度不随时间起点不同而改变。1、定义2021/6/2722、性质（1）严平稳随机过程的一维分布与时间t无关。f1(x1,t1)=f1(x1)

2021/6/2732、性质二维分布只与时间间隔τ=t2-t1有关，即有f2(x1,x2;t1,t2)=f2(x1,x2;τ)2021/6/2743、严平稳的判断

(1)若X(t)为严平稳，k为任意正整数，则与时间t无关。

(2)若X(t)为严平稳，则对于任一时刻t0，X(t0)具有相同的统计特性。按照严平稳的定义，判断一个随机过程是否为严平稳，需要知道其n维概率密度，可是求n维概率密度是比较困难的。不过，如果有一个反例，就可以判断某随机过程不是严平稳的，具体方法有两个：2021/6/275若随机过程X(t)满足则称X(t)为宽平稳或广义平稳随机过程。严平稳与宽平稳的关系：严平稳过程的均方值有界，则此过程为宽平稳的，反之不成立。对于正态过程，严平稳与宽平稳等价。2.2.2宽平稳过程1、定义2021/6/276

例1某随机相位余弦波X(t)=Acos(ωct+θ)，其中A和ωc均为常数，θ是在(0,2π)内均匀分布的随机变量。讨论X(t)是否是广义的平稳随机过程。例题2021/6/277

解：

X(t)的数学期望为

例题2021/6/278X(t)的自相关函数为例题2021/6/279X(t)的数学期望为常数，而自相关函数只与时间间隔τ有关，所以X(t)为广义平稳随机过程。例题2021/6/27102.2.3各态历经过程

对平稳随机过程，如果它的统计平均值等于它的任意一次实现（样本）的时间平均值，即：称平稳随机过程具有各态历经性(遍历性)，X(t)称为广义各态历经过程，简称各态历经过程。1、定义2021/6/27112.2.3各态历经过程

具有各态历经性的随机过程一定是平稳随机过程，但平稳随机过程却不一定都具有各态历经性。

各态历经的含义：

随机过程中的任一次实现都经历了随机过程的所有可能状态。2021/6/2712

例2某随机相位余弦波X(t)=Acos(ωct+θ)，其中A和ωc均为常数，θ是在(0,2π)内均匀分布的随机变量。讨论X(t)是否具有各态历经性。例题2021/6/2713例题解：X(t)的时间平均为：X(t)的时间相关函数：2021/6/2714

比较统计平均（例1）与时间平均，得

mX=

R(τ)=

因此，随机相位余弦波是各态历经过程。例题2021/6/2715

一般随机过程的时间平均是随机变量，但各态历经过程的时间平均为确定量，因此可用任一样本函数的时间平均代替整个过程的统计平均，在实际工作中，时间T不可能无限长，只要足够长即可。

3、各态历经过程和平稳过程的关系

各态历经过程必须是平稳的，而平稳过程不一定是各态历经的。（各态历经过程必定平稳由遍历定义即可知）2、应用2021/6/27164、各态历经过程的两个判别定理

(1)均值各态历经判别定理

平稳过程X(t)的均值具有各态历经性的充要条件平稳过程X(t)的自相关函数具有各态历经性充要条件(2)自相关函数各态历经判别定理

式中：2021/6/2717对于正态平稳随机过程，若均值为零，自相关函数连续，则可以证明此过程具有遍历性的一个充分条件为注意：判断一个平稳过程是各态历经的的，总是先假设其是各态历经的的，然后看是否满足定义要求（即时间平均以概率1等于统计平均），一般不用两个判别定理。

(3)2021/6/2718证：=2021/6/2719设则2021/6/2720于是从而命题得证。2021/6/27212.2.4平稳过程的相关性分析1.自相关函数的性质设X(t)为实平稳的随机过程：⑴R(0)=E[X2(t)]=S[X(t)的平均功率]

证明：

2021/6/2722⑵R(τ)=R(-τ)[R(τ)是偶函数]

证明：

2021/6/2723⑶|R(τ)|≤R(0)[R(τ)的上界（上限）]证明：E[X(t)-X(t+τ)]2≥0

E[X(t)]2+E[X(t+τ)]2≥2E[X(t)]E[X(t+τ)]

2R(0)≥2R(τ)

同理，E[X(t)+X(t+τ)]2≥0可推出

2R(0)≥-2R(τ)

2021/6/2724⑷R(∞)=E2[X(t)]=mX2[X(t)的直流功率]证明：τ→∞时，X(t)与X(t+τ)统计独立，无依赖关系。2021/6/2725⑸R(0)-R(∞)=σ2[方差，X(t)的交流功率]平均功率-直流功率=交流功率

E[X2(t)]-[EX(t)]2=D[X(t)]

2021/6/27262、相关系数此值在[－1，1]之间。表示不相关，表示完全相关。表示正相关，表明两个不同时刻起伏值（随机变量与均值之差）之间符号相同可能性大。自相关系数2021/6/2727当相关系数中的时间间隔大于某个值，可以认为两个不同时刻起伏值不相关了，这个时间就称为相关时间。

通常把相关系数的绝对值小于0.05的时间间隔，记做相关时间,即:时的时间间隔为相关时间。

有时我们用矩形（高为,底为的矩形）面积等于阴影面积(积分的一半）来定义相关时间，即物理意义相关时间越小，就意味着相关系数随增加而降落的越快，这表明随机过程随时间变化越剧烈。反之，越大，则表时随机过程随时间变化越慢。

相关时间2021/6/2728

(1)证明：按定义即可证明，说明互相关函数既不是偶函数，也不是奇函数。互相关函数的影像关系3