3.1.3空间向量的数量积运算

3.1.3空间向量的数量积运算2021/6/271一、引入1.共线向量定理：2.共线向量定理的推论：(1)若直线l过点A且与向量平行，则(2)三点P、A、B共线的充要条件有：2021/6/2723.共面向量定理：4.P、A、B、C四点共面充要条件：2021/6/273一、两个向量的夹角两条相交直线的夹角是指这两条直线所成的锐角或直角，即取值范围是(0°,90°],而向量的夹角可以是钝角,其取值范围是[0°,180°]2021/6/2742021/6/275BB1AA1一、空间向量数量积的定义

已知空间两个非零向量,则叫做的数量积，记作,即注意:①两个向量的数量积是数量，而不是向量.②规定:零向量与任意向量的数量积等于零.2021/6/276不一定为锐角不一定为钝角2021/6/277三、空间两个向量的数量积的性质(1)空间向量的数量积具有和平面向量的数量积完全相同的性质.(2)性质(2)是用来判断两个向量是否垂直，性质(5)是用来求两个向量的夹角．(3)性质(3)是实数与向量之间转化的依据．2021/6/278空间向量数量积可以解决的立体几何问题：3）向量的夹角（两异面直线所成的角）；2）证明垂直问题；1）线段的长（两点间的距离）；，也就是说2021/6/279四、空间向量数量积的运算律与平面向量一样，空间向量的数量积满足如下运算律：

向量数量积的运算适合乘法结合律吗?即(a•b)c一定等于a(b·c)吗?注意：数量积不满足结合律即2021/6/2710已知空间向量a，b满足|a|=4，|b|=8，a与b的夹角是150°，计算：(1)(a+2b)·(2n-b)；(2)|4a一2b|．2021/6/2711如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于a，点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点。求下列向量的数量积：练习1ABCDEFG2021/6/2712在平行四边形ABCD中，AB=AC=1，∠ACD=90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求B，D间的距离．练习22021/6/2713练习3解：2021/6/2714已知空间四边形OABC中，M，N，P，Q分别为BC，AC，OA，OB的中点，若AB=OC，求证：PM⊥QN．证明：练习42021/6/2715练习5如图，在正三棱柱中，若，则与所成的角的大小为（）

A.B.C.D.2021/6/27162021/6/27172021/6/2718证明：如图,已知:求证：在直线l上取向量,只要证为逆命题成立吗?2021/6/2719分析:同样可用向量,证明思路几乎一样,只不过其中的加法运算用减法运算来分析.2021/6/2720分析：要证明一条直线与一个平面垂直,由直线与平面垂直的定义可知,就是要证明这条直线与平面内的任意一条直线都垂直.例2:(试用向量方法证明直线与平面垂直的判定定理)

已知直线m,n是平面内的两条相交直线,如果⊥m,⊥n,求证:⊥.mng

取已知平面内的任一条直线g,拿相关直线的方向向量来分析,看条件可以转化为向量的什么条件?要证的目标可以转化为向量的什么目标?怎样建立向量的条件与向量的目标的联系?

共面向量定理.2021/6/2721mng解:在内作不与m,n重合的任一直线g,在上取非零向量因m与n相交,故向量m,n不平行,由共面向量定理,存在唯一实数,使例2:已知直线m,n是平面内的两条相交直线,如果⊥m,⊥n,求证:⊥.2021/6/2722

小结：通过学习,体会到我们可以利用向