数学核心素养引领下的单元教学设计-以“空间角”为例

数学核心素养引领下的单元教学设计——以“空间角”为例一、单元内容尽管“线与线所成的角”“线与面所成的角”“面与面所成的角”在定义的表述上不尽相同，但它们最终都是转化为“线线角”来刻画、度量。不仅如此，在向量视角下，空间角都可以转化为向量的夹角，具有统一的向量求解公式，这一方面体现了空间问题平面化的基本思想，另一方面也充分说明了空间“三类角”实质就是“线线角”。因此，在进行单元教学设计时，将“线线角”进行延伸与拓展就可以使学生获得对空间角更深入的认识。二、分析教学要素（一）数学分析空间角呈现出空间中几何元素（线线、线面、面面相对倾斜程度）位置关系。空间角的相关概念形成过程有着一致的思路：先定义角的存在性:即可以找到一个角来刻画直线与直线、直线与平面或平面与平面之间的位置关系；再是定义角的唯一性:即所定义的角是确定的,对于相同的倾斜程度,度量的角度是固定的。（二）课标分析立体几何研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系。本单元的学习，可以帮助学生以长方体为载体，认识和理解空间点、直线、平面的位置关系；用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定，并对某些结论进行论证；了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法；运用直观感知、操作确认、推理论证、度量计算等认识和探索空间图形的性质，建立空间观念。（三）学情分析人教A版《普通高中课程标准实验教科书·数学》（以下统称“教材”）首先在“点、直线、平面之间的位置关系”（教材必修2）中介绍三种空间角的定义以及用传统作角、证角的逻辑推理方法求解空间角，而后在“空间向量与立体几何”（教材选择性必修一）中进一步学习向量解法，实际教学表明，由于空间向量这个有力工具的引入，很多学生基本上只会单纯用向量法处理立体几何问题，对于需要结合传统的几何推理才能解决的综合性问题，则往往无法解决，实在令人惋惜。虽然空间向量能降低思维的难度，能将抽象的逻辑思维转化为具体的计算，且对解决一些用传统作角、证角的方法较难处理的复杂空间角问题优势明显，但同时也淡化和削弱了空间角的逻辑推理，不利于学生数学逻辑推理素养的落实。传统立体几何的发生、发展先于空间向量，因此，“空间角”的教学显得犹为重要，它充分挖掘了学生的抽象思维能力、逻辑推理能力和空间想象能力等方面的教育价值，进而提升学生数学抽象、逻辑推理、直观想象等数学学科核心素养。本次复习课教学对象是高中一年级学生，学生刚刚学习了立体几何的基本知识，具备了初步的空间想象能力和逻辑推理能力，但是这些能力还处于较低的水平，特别是对动态问题的研究能力还非常薄弱，所以复习课是以能力提升为基本目标的探究课，具有较大的难度。（四）教材分析1.分析大单元——几何与代数空间角有关内容是平行、垂直内容之后的一个重要的部分，因此，要全面分析“空间角”所统领的单元内容、单元地位及价值，还需要立足于几何与代数大单元向下层层分析空间角相关内容。几何与代数是高中数学课程的四大主线之一，该主题体现了几何直观与数学运算的相融，道出了数学知识之间的关联性及整体性。几何与代数是学生在义务教育阶段学习“图形与几何”领域的基础上继续发展的一个领域。从小学到高中，在学习图形与几何过程中，学生经历了从动手操作获得初步认识，到运用定理进行推理论证形成严谨的认识，之后又经历运用向量，从另一角度研究几何内容。在此阶段，学生逐步发展空间想象、推理能力以及数形结合意识，且数学抽象等核心素养都在持续培育中。根据上述分析，我们需要站在整个大单元分析几何内容，整体看到知识的联系、方法的持续、核心素养培养的进阶，使我们对空间角单元教学的定位更加准确。

2.分析小单元——空间角

空间角是立体几何中一个重要概念，它是空间图形的一个突出的量化指标，是空间图形位置关系的具体体现。本节是在学生已经完成了对点、直线、平面之间的位置关系的学习的基础上，重点对空间角做进一步的巩固和加强。由于空间角在我们的周围无处不在，与我们的生产和生活联系十分密切。同时，本节又是高考中立体几何部分的热点、难点所在，所以有着十分重要的现实意义。

原教材的空间三角内容被安排在必修二第二章“点、直线、平面之间的位置关系”一章2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系——“异面直线所角”2.3.1直线与平面垂直的判定——“直线与平面所成角”2.3.2平面与平面垂直的判定——“二面角”新教材空间三类角内容被安排在第二册第八章第六节8.6.1直线与直线垂直——“异面直线所角”8.6.2直线与平面垂直——“直线与平面所成角”8.6.3平面与平面垂直——“二面角”教材是实施教学计划和实现课程目标的重要资源，新教材的编排更能体现研究的整体性认知的连续性，但是教材对于空间角的相关概念均是直接给出，没有呈现知识发生发展的过程，以二面角的平面角这一概念为例（教材部分如图所示），这种直告式的定义让学生感到困惑，两个半平面上都有无数条直线，为什么要用分别与棱垂直的两个半平面上的两条线之间所成的角定义二面角呢？这样的定义与平面上两条相交直线的夹角、两条异面直线所成角的定义是否一致？数学概念教学的核心是引导学生开展概括活动，要让学生亲身经历操作、观察、思辨、探宄、推理等过程展现思维，才能自主构建知识。二面角的平面角教材部分图（五）重难点分析教学重点

1.理解异面直线所成角的概念、直线与平面所成角的定义、二面角的概念以及体会空间问题平面化的转化思想2.几何法求空间角，体会转化化归思想教学难点1.“空间角”大小度量过程，空间角之间的一类不等关系的推理过程2.经历寻找线面角、二面角的过程，提升直观想象、逻辑推理素养（六）教学策略1.立足基本的认知过程新课改削弱了立体几何对“严格论证”的要求，转而通过“直观感知一操作确认一思辨论证一度量计算”这一基本认识过程来培养和发展学生的几何直观能力、空间想象能力和推理论证能力。因此，只有遵循基本认知过程，“空间角”的单元教学才能发挥应有的功效。2.凸显教学的有序性单元教学设计虽然以单元为模块，但在知识的组织上应该凸显有序性。教材（人教Ａ版）是按照“空间位置关系判断一求空间角”的顺序，以循环交替的形式呈现的，这样做虽有助于认知的连续性，却也割裂了空间角的相关知识的联系。在单元教学设计中，我们不妨将空间角的学习置于“线线、线面、面面位置关系”之后，即在学生掌握了空间平行、垂直关系的判定与证明之后再集中精力学习空间角。如此一来，不仅可以避免空间角概念的反复构建，而且能够使学生获得对空间角的完整认知。3.借助重要的几何模型几何模型是对立体几何知识的集中概括，是凝结在学生头脑中的一系列的加工和认识对象，学习立体几何就是跟各式各样的几何模型“打交道”。因此，在“空间角”的单元教学中，若把空间角放在具体的几何模型中研究，就能够使一些复杂的空间关系直观化，从而有助于学生建立空间角之间的联系。4.单元教学阶段的划分根据单元教学目标跨课时、跨学期、跨学年的特点，单元教学要细化为不同的阶段，同时每一个阶段又在一定的课时中去实现。根据“空间角”的单元教学目标，“空间角”的课堂教学可以细化为以下几个阶段：（表1）：表1“空间角”课堂教学情况阶段划分课时名称主要教学内容阶段1认识角“三类角”的定义与内在联系阶段2几何法求角作角、证角、求角阶段3向量法求角用空间角向量公式求角这样的划分既体现阶段性又不失连续性，再现教学前后衔接的同时，又能照顾到每个课时之间的联系。（七）教学方式分析空间角单元的设计呈现逆向设计的思维方式，以任务序列推进的方式进行教学。为了更加突出学生主体地位，从整体考虑选择教学方式，在单元教学的过程中，主要引导学生自主探究，经历知识发生发展的过程，所以主要通过讨论法、多媒体辅助教学法进行教学。三、单元教学目标单元教学目标并非课时目标的简单累加，它既要立足整体性又要呈现层次性，既要瞻前又要顾后。教材对于立体几何内容的编排横跨《数学》（必修二）与《数学》（选修性必修一）两个模块、多个章节，结合教材的设计意图，“空间角”的单元教学目标可以这样定位：1.通过具体的几何模型，发现空间的“三类角”，经历直观感知、操作确认的思维过程，探索空间角的度量方式，体会其合理性与科学性.2.能够借助直观模型，感受空间角之间的内在联系，通过思辨论证、度量计算知道“线面角是最小的线线角”“二面角是最大的线面角”.3.能够用几何方法作出简单几何体的“三类角”，并计算其大小.4.能够用向量的视角理解空间角的内在联系，推导空间角的向量公式，会用坐标法求空间角.5.掌握“直观感知、操作确认、推理论证”方法，理解变与不变、运动与静止的辩证关系，建立空间观念，提升数学抽象、直观想象、逻辑推理和数学运算素养.【参考文献】[1]王冠庆