2024-2025学年高二数学上学期期中+期末高效复习课第五章一元函数的导数及其应用高频考题实战含解析

Page1第五章一元函数的导数及其应用高频考题实战实战一：物体运动的平均速度及瞬时速度1．（2024·浙江·高二期中）函数在区间上的平均改变率等于（

）A． B．1 C．2 D．【答案】C【详解】解：因为，，所以，即函数在区间上的平均改变率为；故选：C2．（2024·吉林·高二期末）一物体做直线运动，其位移s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系是，则该物体在时的瞬时速度是（

）A．30m/s B．16m/s C．12m/s D．10m/s【答案】B【详解】解：因为，所以，所以，所以该物体在时的瞬时速度是16m/s.故选：B3．（2024·河北石家庄·高二期末）向某容器内注入水，已知容器中水的高度h（单位：）与时间t（单位：s）的函数关系式为，则当时，容器中水的高度的瞬时改变率为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】，当时，，故当时，容器中水的高度的瞬时改变率为.故选：B实战二：导数几何意义的应用1．（2024·广东·高三阶段练习）函数的图象在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【详解】函数，求导得：，则，即函数的图象在点处的切线斜率为，因为切线与直线垂直，有．所以.故选：C2．（2024·重庆市永川北山中学校模拟预料）已知函数的图像与直线相切，则____________【答案】1【详解】解：由得，设切点坐标为，则，解得．故答案为：1．3．（2024·全国·安阳市其次中学模拟预料（文））已知函数的定义域为R，且图象关于中心对称；当时，，则曲线在处的切线方程为______.【答案】.【详解】因为的图象关于中心对称，所以，设，则，因为当时，，所以当时，，所以，，所以，所以曲线在处的切线方程为，即，故答案为：.4．（2024·江苏盐城·高三期中）已知曲线在点处的切线与曲线也相切.则______．【答案】1【详解】令，，则，，，则点处的切线方程为令，，由题意得，解得，故答案为：15．（2024·江苏淮安·高三期中）若曲线只有一条过坐标原点的切线，则=______.【答案】或##或【详解】解：∵，∴，设切点为,则,切线斜率,∴切线方程为：,∵切线过原点，∴,整理得：,∵曲线只有一条过坐标原点的切线切，∴,解得或,∴或,故答案为：或6．（2024·陕西·户县苍游中学高二期中（文））若直线和曲线相切，则实数的值为_________.【答案】1【详解】已知，得，设切点为，已知直线斜率，得，再将分别代入直线与曲线中可得解得.故答案为：7．（2024·河南·驻马店市其次高级中学高三阶段练习（文））曲线在点处的切线方程为______．【答案】【详解】，令，此时，，故切线方程为，化简得，故答案为：.实战三：解析式中含的导数问题1．（2024·江西·萍乡市其次中学高二开学考试（理））若函数的导函数为，且满意，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由，得，令，则，解得，所以，.故选：D.2．（2024·重庆八中高三阶段练习）已知函数的导数为，且满意，则__________.【答案】【详解】因为所以，解得所以.故答案为：3．（2024·山东菏泽·高三期中）已知函数，则______．【答案】【详解】由已知，，则所以，，所以，.故答案为：.4．（2024·宁夏六盘山高级中学高三阶段练习（文））已知，则__________．【答案】【详解】由题得，所以，所以，得故答案为：实战四：利用相切关系求最小距离1．（2024·全国·高三专题练习）已知，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】依据题意，点是函数图像上一点，点是直线上一点函数的导函数为，所以其图像上一点处切线的斜率为当过点的切线与直线平行时，点与点之间的距离最小且两点间的距离可转化两平行线之间的距离此时有，，从而可得此时函数图像上过点的切线方程为化简为，其与直线间的距离为所以的最小值为.故选：C.2．（2024·全国·高三专题练习）若不等式对随意，恒成立，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】设，则T的几何意义是直线上的点与曲线上的点的距离，将直线平移到与面线相切时，切点Q到直线的距离最小．而，令，则，可得，此时，Q到直线的距离，故，所以．故选：B实战五：求函数的单调区间1．（2024·辽宁丹东·高二期末）函数的单调递增区间为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，该函数的定义域为，，由，可得，解得，因此，函数的单调递增区间为.故选：B.2．（2024·湖北·高二期末）函数的单调递减区间是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】函数的定义域为，，由得，又，所以，所以的单调递减区间为．故选:A．3．（2024·福建宁德·高二期末）函数的单调递减区间是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】由且，当有，故递减区间为.故选：D实战六：函数与导函数图象间的关系1．（2024·新疆·伊宁县其次中学高三期中（文））设函数的导函数为，且函数的部分图像如图所示，则（

）A．函数在上单调递增 B．函数在处取得极大值C．函数在处取得微小值 D．函数在上单调递增【答案】D【详解】由的图象可得当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；对于A，函数在先递减，再递增，故不正确；对于B，函数在处取得微小值，故不正确；对于C，函数在处取不到极值，故不正确；对于D，函数在上单调递增，故正确；故选：D2．（2024·黑龙江·海林市朝鲜族中学高三阶段练习（理））已知函数在定义域内可导，其图象如图所示.记的导函数为，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】对于不等式对，当时，，则结合图象，知原不等式的解集为；当时，，则结合图象，知原不等式的解集为．综上，原不等式的解集为．故选：A3．（2024·全国·高二单元测试）已知函数的导函数图像如图所示，则的图像是图四个图像中的（

）．A． B．C． D．【答案】A【详解】由题意可知，当时，，则在上单调递增，当时，，则在上单调递减，当时，单调递增，则在上增的越来越快，当时，单调递减，则在上增的越来越慢，当时，单调递减，则在上减的越来越快，当时，单调递增，则在上减的越来越慢，只有A选项符合.故选：A.4．（2024·北京朝阳·高二期末）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（

）A．曲线在点处的切线斜率小于零B．函数在区间上单调递增C．函数在处取得极大值D．函数在区间内至多有两个零点【答案】D【详解】依据图像可知，故在点处的切线斜率等于零，A错误；在，故在区间上单调递减，故B错误，在的左右两侧，故不是极值点，故C错误，在单调递增，在单调递减，故在区间内至多有两个零点，D正确；故选：D实战七：已知函数的单调性求参数取值范围：1．（2024·湖南·长沙市南雅中学高二阶段练习）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】因为在上单调递减，所以在上恒成立，即在上恒成立，又函数在上为增函数，所以，故.故选：C2．（2024·广东·广州市第五中学高二阶段练习）若在上单调递减，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：由，得，因为在上单调递减，所以在上恒成立，即在上恒成立，即在在上恒成立，所以，所以实数的取值范围是，故选：B3．（2024·湖北·高三期中（理））若函数在区间[2，3]上不是单调函数，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为函数，所以，若在区间上不是单调函数，则在区间上有解，即在区间上有解，即设，则，，所以，实数的取值范围是，故选：B.4．（2024·辽宁·营口市其次高级中学高二阶段练习（文））已知函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：函数的定义域为（0，＋∞），，故当时，；当时，；∵定义在区间上的函数在该区间上不是单调函数，∴，解得，；故实数的取值范围是.故选：C.5．（2024·福建南平·高二阶段练习（理））若函数在区间内单调递增，则的取值范围__________.【答案】【详解】在上恒成立，所以在上恒成立，当，，所以，故答案为：.6．（2024·河南商丘·高二期末（理））若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是_______【答案】【详解】，因为函数在区间上单调递减，所以，恒成立，即，.又在上单调递减，所以，故故答案为：7．（2024·江苏·扬州中学高二期中（文））若函数在其定义域上不单调，则实数的取值范围是______.【答案】【详解】解：因为所以又因为函数在定义域上不单调，则，解得或，即故答案为：8．（2024·浙江·绍兴市教化教学探讨院高二期末）若函数存在单调递增区间，则实数的值可以为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题,若函数存在单调递增区间,则有解.当时明显有解.当时,,解得.因为四个选项中仅.故选：D9．（2024·北京丰台·高二期中）已知函数在上是减函数，在上是增函数，那么的值为___________．【答案】【详解】解:,由题意得:,即，解得:,时，，,令，解得:，令，解得:，故在上是减函数，在上是增函数，符合题意，.故答案为:.10．（2024·广东·石门中学高二阶段练习（理））已知函数在和上为增函数，在上为减函数.（1）求的解析式；（2）求在R上的极值.【答案】（1）；（2）极大值，微小值.【详解】（1），，由题意得与是方程的两个根，则，解得，.（2）由已知得是的极大值点，是的微小值点，由可知，函数有且仅有两个极值点.极大值，微小值.实战八：含参问题探讨单调性1．（2024·四川·成都金苹果锦城第一中学高三期中（理））已知函数，．(1)探讨函数的单调性；【答案】(1)见解析【详解】（1）解：，当时，或时，，时，，所以的增区间是，，减区间是，当时，，所以在上单调递增；当时，或时，，时，，所以的增区间是，，减区间是；2．（2024·山西临汾·高三阶段练习）已知函数．(1)探讨函数的单调性；【答案】(1)见解析【详解】（1）解：的定义域为，，当时，在上恒成立，所以在上单调递增；当时，令，得，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；3．（2024·江苏·盐城经济技术开发区中学高三阶段练习）已知函数．(1)探讨函数的单调性；【答案】(1)当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增【详解】（1）由，得，，当时，，在上单调递减；当时，，由时，，在上单调递增，由时，，在上单调递减，综上所述，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增4．（2024·广东·佛山一中高三阶段练习）已知函数．(1)探讨的单调性；【答案】(1)答案见解析；【详解】（1），设的判别式，当时，即当时，，函数在上单调递增；当时，即当时，设方程的两根为：，当时，，当时，单调递减，当时，单调递增；当时，当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增，综上所述：当时，函数在上单调递增；当时，函数在单调递减，在单调递增；当时，函数在，单调递增，在单调递减；5．（2024·广东·高三阶段练习）已知函数，．(1)探讨函数的单调性；(2)证明：当时，恒成立．【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【详解】（1）的定义域是，，①时，，在单调递增，②时，，令，解得；令，解得，故在递减，在递增，综上：时，在单调递增，时，在递减，在递增.（2）要证，即证，，①当时，，，该不等式恒成立；②当时，，结合，得，只需证明：，即证，令，，令，则，令，则在上恒成立，所以在上单调递增，又，，所以存在，使得，所以在上单调递减，在上单调递增，又，，，，所以当时，；当时，，即函数在上单调递减，在上单调递增，所以，问题得证，即当时，恒成立．综上所述，当时，恒成立．6．（2024·四川省绵阳八一中学模拟预料（文））已知函数.(1)探讨函数在区间上的单调性;【答案】(1)答案见解析【详解】（1），则①当时，，故在上单调递增，②当时，由得，解得，当或时，，当时，，故在和上单调递增，在上单调递减，7．（2024·山东·日照市教化科学探讨中心高三期中）已知函数，．(1)求函数的单调区间；【答案】(1)答案见解析【详解】（1）因为，所以，当时，，故在上单调递增；当时，令得；令得；所以在上单调递减，在上单调递增，综上：当时，的单调递增区间；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为．实战九：函数图象与极值（点）的关系1．（2024·全国·高三专题练习（理））已知函数的定义域为R，其导函数为，的部分图象如图所示，则（

）A．在区间上单调递减 B．的一个增区间为C．的一个极大值为 D．的最大值为【答案】B【详解】由的部分图像可得：在上，，所以单调递增，所以A不正确，B正确；由，导函数在左右两侧的函数值异号，所以是的一个微小值，所以C不正确，同理可知是的一个极大值，并不肯定是最大值，D不正确.故选：B.2．（多选）（2024·重庆市第十一中学校高二阶段练习）如图是函数的导函数的图象，下列结论中正确的是（

）A．在上是增函数B．当时，取得最小值C．当时，取得微小值D．在上是增函数，在上是减函数【答案】CD【详解】依据图象知当，时，，函数单调递减；当，时，，函数单调递增.故A错误，D正确；当时，取得微小值，C正确；当时，不是取得最小值，B错误.故选：CD3．（多选）（2024·全国·高二单元测试）如图是函数的导函数的图象，则（

）A．在时，函数取得极值B．在时，函数取得极值C．的图象在处切线的斜率小于零D．函数在区间上单调递增【答案】AD【详解】由图可知，是导函数的一个变号零点，故当时，函数取得极值，选项A正确；不是导函数的一个变号零点，故当时，函数不能取得极值，选项B错误；的图象在处的切线斜率为，选项C错误；当时，，此时函数单调递增，选项D正确．故选：AD．4．（多选）（2024·山东省泰安英雄山中学高三阶段练习）定义在上的可导函数的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是（

）A．-3是的一个微小值点；B．-2和-1都是的极大值点；C．的单调递增区间是；D．的单调递减区间是．【答案】ACD【详解】当时，，时，∴是微小值点，无极大值点，增区间是，减区间是．故选：ACD.实战十：求已知函数的极值（点）1．（2024·全国·高三阶段练习（文））函数的微小值为（

）A． B．1 C．2 D．e【答案】B【详解】解：由，得，当或时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以函数的微小值为.故选：B.2．（2024·贵州·黔西南州金成试验学校高三阶段练习）函数的微小值为（

）A．1 B． C． D．【答案】A【详解】解：由可得，令，解得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，故的微小值为，故选：A3．（2024·四川资阳·高二期末（文））函数的极大值为（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【详解】的定义域为，，令，解得：或，令，解得：，所以在，上单调递增，在上单调减，所以在上取得极大值，所以.故选：D.4．（2024·山东淄博·高二期末）已知是函数的微小值点，则的极大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为，则，由题意可得，解得，，，列表如下：增极大值减微小值增所以，函数的极大值为.故选：C.5．（2024·上海市大同中学高二期末）函数的极大值为___________.【答案】【详解】的定义域是，，令解得，所以，在区间递增；在区间递减；所以的极大值为.故答案为：6．（2024·全国·高二课时练习）函数的微小值是__________．【答案】【详解】因为，且，，令，可得或，列表如下：增极大值减微小值增所以，函数的微小值为.故答案为：.实战十一：依据函数的极值（点）求参数1．（2024·四川省合江县中学校高三阶段练习（理））若函数在有极值，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】，，因为函数在有极值，所以，解得或.故选：C2．（2024·全国·高三专题练习）已知没有极值，则实数的取值范围是（

）A． B． C．D．【答案】C【详解】由得，依据题意得，解得．故A，B，D错误.故选：C.3．（多选）（2024·湖南·长沙外国语学校高三阶段练习）若函数有大于零的极值，则实数的可能取值为（

）A． B． C． D．【答案】BC【详解】函数的定义域为，求导得：，当时，，函数在上单调递增，无极值，不符合题意，当时，当时，，当时，，则当时，函数取得极大值，因此，即，解得，明显选项A，D不满意，B，C满意.故选：BC4．（2024·全国·高二课时练习）设函数的极大值为，微小值为，则__________．【答案】【详解】，当时，；当时，；在，上单调递增，在上单调递减，的极大值；微小值，，，.故答案为：.5．（2024·全国·高三阶段练习（理））已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围为____________．【答案】【详解】解：因为函数有两个极值点，所以方程有两个不同的实数根，即有两个不同的解．令，则函数的图象与直线有两个不同的交点．因为，令，得．所以当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增．所以．所以当时，；当时，．所以函数的图象与的图象有两个不同的交点的充要条件是：，即．故实数a的取值范围为．故答案为：.6．（2024·江西·高三阶段练习（文））已知函数，若是函数在区间上的唯一极值点，则实数的取值范围是______．【答案】【详解】因为函数，所以，当时，令可得，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，所以函数在时取微小值，满意要求；当时，令可得或，且，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，所以函数在时取微小值，满意要求；当时，令可得或，且，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，所以函数在时取微小值，在时取极大值，不满意要求；当时，令可得，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递增，所以函数在单调递增，没有极值点，不满意要求；当时，令可得或，且，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，所以函数在时取极大值，在时取微小值，不满意要求；综上：，故答案为：.7．（2024·宁夏·贺兰县景博中学高三期中（文））已知函数(1)若在处有极值，求实数的值和极值；(2)探讨函数的单调性.【答案】(1)，极大值为0；(2)答案见解析.【详解】（1）函数定义域为，，在x=1处取到极值，∴，解得a=1，.当0<x<1时，，则在(0,1)上单调递增；当x>1时，，在上单调递减，因此在x=1处取得极大值，故a的值为1，且极大值为；（2）∵x>0，，当a≤0时，，在上单调递减；当a>0时，令，令，在(0,a)上是増函数，在上是减函数.综上，当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递增，在上单调递减.8．（2024·全国·高三专题练习）已知.若在处取得极值，求的最小值；【答案】【详解】∵，∴，∵在处取得极值，，∴，∴，，当时，；当时，；当时，.∴在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.又∵当时，，，∴的最小值为.9．（2024·黑龙江·铁力市马永顺中学校高三开学考试）已知在处取得极值，求的最小值．【答案】3【详解】,因为函数在处取得极值,所以,则,此时,满意在处取得极值,所以,,当且仅当,即时取得等号,所以的最小值为3.10．（2024·江苏盐城·高三期中）设函数．(1)若函数是增函数，求实数a的取值范围；(2)是否存在实数a，使得是的极值点？若存在，求出a；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)不存在，理由见解析【详解】（1），∵是增函数，∴对恒成立，∴令令且当时，，单调递减；当时，，单调递增.∴，∴即a的取值范围为．（2）若是的极值点，则必有（必要性）当时，∴在上单调递增，无极值点，故假设不成立即不存在这样的a．实战十二：函数的最值问题1．（2024·四川·绵阳市开元中学高二期中（理））函数在区间上取得最大值时的值为（）A． B． C． D．【答案】B【详解】由得，令，即在区间上解得，当时，，为增函数，当时，，为减函数，所以当时，取得最大值.故选：B.2．（2024·四川·宜宾市叙州区其次中学校模拟预料（理））关于的不等式的解集为，则的最大值是_________．【答案】##【详解】解：关于的不等式的解集为，所以，在恒成立，设是函数上的随意一点，则，所以，函数在点处的切线方程为，即，令，则，当时，时，，单调递减，时，，单调递增，所以，即；当时，时，，单调递减，时，，单调递增，所以，即；所以，，所以，在恒成立，即在恒成立，所以，且，所以，恒成立，且，所以，且，所以，，令，则，令，则，所以，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，，所以，的最大值是.故答案为：3．（2024·陕西·户县苍游中学高二期中（文））求在上的最值．【答案】最大值是，最小值是．【详解】解：，，令，得（舍去），由解得或，递增，由解得，递减，是微小值点，，，，．故最大值为，最小值为．4．（2024·宁夏六盘山高级中学高三阶段练习（文））已知曲线在点处的切线的斜率为3，且当时，函数取得极值．(1)求函数的解析式；(2)求函数在上的最小值．【答案】(1)(2)【详解】（1），结合题意可得解得，故，经检验符合题意.（2）由（1）知．令，解得或，令，解得，故在上单调递增，在上单调递减，故在上有极大值，无微小值，所以极大值为，又因为，，，故在上的最小值是．5．（2024·福建·宁德市高级中学高三期中）已知是函数的一个极值点.(1)求实数的值；(2)求函数在区间上的最大值和最小值.【答案】(1)；(2)，.【详解】（1）解：，因为是的一个极值点，所以，所以，∴，经检验，符合题意.（2）由（1）可知，∴，令，解得或，令，解得，因为，所以在上单调递增，上单调递减，上单调递增，所以在处取得极大值，在处取得微小值，又因为，，，，所以，.6．（2024·北京市第十一中学试验学校高三阶段练习）已知函数，(1)求f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；(2)求f（x）在区间[0，2π]上的最值．【答案】(1)；(2)．【详解】（1）解：由得：，，，∴切线方程为：．（2）由（1）知：当或时，，递增；当时，，递减，，，又，，，∴f（x）在区间[0，2π]上的最大值为，最小值为-1．实战十三：利用导数探讨不等式恒成立问题1．（2024·黑龙江·大庆市第三十九中学高三阶段练习）设函数的导函数为，若对随意的，不等式恒成立，则实数a的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】函数，则，不等式可化为，设，则，所以在上恒成立，故在上单调递减，故，故，故选：C．2．（2024·四川·成都金苹果锦城第一中学高三期中（理））关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围是______．【答案】【详解】因为，所以不等式等价于，即，设，恒成立，所以，，即，则，当时恒成立，设，恒成立，所以函数单调递减，，所以.故答案为：3．（2024·河南·新安县第一高级中学高三开学考试（理））已知在恒成立，则实数的取值范围是___________.【答案】【详解】令，则，故当时，，单调递减；当时，，单调递增；则，即恒成立；令，则，故在单调递增，又，故存在，使得；且当时，；当时，；在恒成立，即，也即在恒成立，令，由上述推证可知，，且存在，使得，又，故的最小值为，故，则.故答案为：.4．（2024·青海·海东市教化探讨室高二期末（文））已知函数(1)当时，求的最大值；(2)若对随意的恒成立，求的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）解：当时，，该函数的定义域为，则，由，得；由，得.则在上单调递增，在上单调递减，故的最大值为.（2）解：对随意的恒成立，等价于对随意的恒成立.设，其中，则，由，得；由，得.则在上单调递增，在上单调递减.从而，故，即的取值范围是.5．（2024·宁夏六盘山高级中学高三期中（文））若函数(1)当时，求在处的切线方程；(2)若对于，恒成立，求的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）定义域为R，当时，，依据导数的几何意义，在处的切线，又，所以，在处的切线方程为.（2）由已知得，原题为在上恒成立.当时，不等式明显满意；当时，不等式可化为在上恒成立，令，则只须要.，令，则在上恒成立，即在上单调递增，则恒成立.解，可得.当时，，即在上单调递减；当时，，即在上单调递增.所以，在处有唯一微小值，也是最小值.所以，6．（2024·河南·驻马店市其次高级中学高三阶段练习（理））设函数，．(1)若，求函数在处的切线方程；(2)对随意的，恒有成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）当时，，，令，，，所以切线方程为，化简得.（2）若随意的,恒有成立,即，在上恒成立，即，其中当时，成立，当时，，则恒成立，令，，令，即，解得，故在上单调递减，其图像如图所示故，所以此时，又因为，故，当时，，则恒成立，令，即，解得，而时，，故时，，此时单调递减，时，，此时单调递增，故在时取得最小值，，，又因为，故，综上，对随意的,恒有成立，此时.7．（2024·宁夏·银川市第六中学高三期中（理））已知函数，.(1)求函数的极值；(2)若不等式在上恒成立，求的取值范围.【答案】(1)微小值为，无极大值.(2)【详解】（1）函数定义域为，，，解得，，解得，在上单调递减，在上单调递增，所以当时，有微小值，微小值为，无极大值.（2），不等式在上恒成立，得，由，∴，得在上恒成立，设，则，，解得，，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，的取值范围为.实战十四：利用导数探讨不等式能成立（有解）1．（2024·河北秦皇岛·三模）函数，若存在，使得，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，所以．由题意，只需．当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，故实数的取值范围为．故选：D.2．（2024·河南·模拟预料（理））函数，若存在，使得，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】，，令，，则，令，，则，，由题意，只需．当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，故实数的取值范围为．故选：D3．（2024·山东德州·高三期中）已知命题.若为假命题，则的取值范围为_____.【答案】【详解】为假命题为真命题，故，令，则，令解得，令解得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以.故答案为：.4．（2024·福建·莆田一中高二期末）已知为自然对数的底数，对随意，总存在唯一的使得成立，则实数a的取值范围为______．【答案】【详解】由题意可得令当时，，函数单调递减当时，，函数单调递增因为对随意，总存在唯一的使得成立所以，即，解得故答案为：5．（2024·湖南·长沙外国语学校高三阶段练习）已知函数，若在点处的切线方程为．(1)求的解析式；(2)求在上的单调区间和最值；(3)若存在实数，使函数在上为单调减函数，求实数n的取值范围．【答案】(1)；(2)单调递减区间为，单调递增区间为；最小值为，最大值为；(3)（1）由可得，因为在点处的切线方程为，所以，解得，所以；（2）由（1）可知：，令，解得，所以，，的状况如下表，0单调递减微小值单调递增由表格可知：在上的单调递减区间为，单调递增区间为，微小值也为最小值为，又，，故最大值为；（3）由可得，由题意可知在上为单调减函数，所以恒成立，即，所以，所以，所以，因为存在实数，使得上式成立，，所以的取值范围是6．（2024·江西省丰城中学高三开学考试（理））已知函数.(1)探讨的单调性；(2)时，设，若对随意，均存在，使得，求实数的取值范围.【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.(2)【详解】（1）定义域为，，当时，恒成立，所以在上单调递增；当时，时恒成立，时恒成立，所以在上单调递增，在上单调递减；综上述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）由已知，问题转化为在的值域和在的值域满意：，二次函数，图像抛物线开口向上，对称轴方程为，在上单调递减，在上单调递增，故在的值域.由(1)可知，当时，在上单调递增，故值域.所以，解得，即实数的取值范围为.7．（2024·广东·广州天省试验学校高二期中）已知函数.(1)求函数的极值；(2)在内存在x，使不等式成立，求实数a的取值范围；【答案】(1)微小值为，无极大值(2)(1)∵，定义域为∴设，可得或（舍），由，得；由，得，所以的单调增区间为，单调减区间为；当x改变时，，的改变状况如下表：1-0+单调递减单调递增当时，有微小值，并且微小值为，无极大值.(2)在内存在x，使不等式成立等价于，由（1）知所以，即a的取值范围为实战十五：利用导数探讨函数的零点问题：1．（2024·四川省遂宁市教化局模拟预料（理））已知函数（其中，）有两个零点，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】函数有2个零点，则方程有2个不同的解，方程，设函数，则，所以函数在上单调递减，由，得，即，则函数与图象在上有2个交点.设函数，则，令，令，所以函数在上单调递减，在上单调递增，故，所以，解得.故选：D.2．（2024·浙江台州·模拟预料）函数的零点个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【详解】，所以在上恒成立，所以函数在上单调递增，所以函数至多一个零点又，，即函数在上有一个零点，所以函数的零点个数是1，故选：B.3．（2024·广东·广州市从化区第三中学高三阶段练习）已知函数.(1)当时，探讨的单调性；(2)若有两个零点，求的取值范围.【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增(2)【详解】（1）由题意，的定义域为，且．当时，，令，解得．∴当时，，单调递减，当时，，单调递增．∴在上单调递减，在上单调递增.（2）当时，恒成立，在上单调递增，不合题意；当时，令，解得，当时，，单调递减，当时，，单调递增．易知，；，.∴的微小值也是最小值为．∴要使有两个零点，只要即可，则，可得．综上，若有两个零点，则a的取值范围是．4．（2024·四川省绵阳八一中学模拟预料（文））已知函数.