2025版新教材高中数学课时作业十三平面向量的应用举例湘教版必修第二册

课时作业(十三)平面对量的应用举例[练基础]1．在△ABC中，已知A(4，1)，B(7，5)，C(－4，7)，则BC边的中线AD的长是()A．2eq\r(5)B．eq\f(5\r(5),2)C．3eq\r(5)D．eq\f(7\r(5),2)2．若O是△ABC内一点，eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，则O为△ABC的()A．内心B．外心C．垂心D．重心3．已知锐角三角形ABC的外接圆的圆心为O，半径为eq\r(2)，且eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝－1，则A＝()A．eq\f(π,3)B．eq\f(π,6)C．eq\f(π,4)D．eq\f(π,12)4．在四边形ABCD中，若eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，且|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|，则这个四边形是()A．平行四边形B．矩形C．等腰梯形D．菱形5．已知单位向量e1，e2分别与平面直角坐标系x，y轴的正方向同向，且向量eq\o(AC,\s\up6(→))＝3e1－e2，eq\o(BD,\s\up6(→))＝2e1＋6e2，则平面四边形ABCD的面积为()A．eq\r(10)B．2eq\r(10)C．10D．206．(多选)在水流速度为4eq\r(3)km/h的河水中，一艘船以12km/h的实际航行速度垂直于对岸行驶，则下列关于这艘船的航行速度的大小和方向的说法中，正确的是()A．这艘船航行速度的大小为12eq\r(3)km/hB．这艘船航行速度的大小为8eq\r(3)km/hC．这艘船航行速度的方向与水流方向的夹角为150°D．这艘船航行速度的方向与水流方向的夹角为120°7．在△ABC中，若∠C＝90°，AC＝BC＝4，则eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝________．8．正方形OABC的边长为1，点D、E分别为AB、BC的中点，则cos∠DOE＝________．9．在平行四边形ABCD中，AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．10．已知两恒力F1＝(3，4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A(20，15)移动到点B(7，0).(1)求F1，F2分别对质点所做的功；(2)求F1，F2的合力F对质点所做的功．[提实力]11．如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400米，一艘船从河岸的A地动身，向河对岸航行．已知船的速度v1的大小为|v1|＝8km/h，水流速度v2的大小为|v2|＝2km/h，船的速度与水流速度的合速度为v，那么当航程最短时，下列说法正确的是()A．船头方向与水流方向垂直B．cos〈v1，v2〉＝－eq\f(1,4)C．|v|＝2eq\r(17)km/hD．该船到达对岸所需时间为3分钟12．当两人提起重量为|G|的旅行包时，夹角为θ，两人用力大小都为|F|，若|F|＝|G|，则θ的值为()A．30°B．60°C．90°D．120°13．若点M是△ABC所在平面内的一点，且满意3eq\o(AM,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，则△ABM与△ABC的面积之比为________．14．已知点M是边长为4的正方形ABCD内部(包括边界)的一动点，点P是边CD的中点，则|eq\o(MP,\s\up6(→))|－|eq\o(MB,\s\up6(→))|的最大值是________；eq\o(MP,\s\up6(→))·(eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→)))的最小值是________．15．如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2－AC2＝DB2－DC2，求证：AD⊥BC.[培优生]16．在△ABC中，已知AB＝AC＝5，BC＝6，M是AC边上靠近A点的一个三等分点，试问：在线段BM(端点除外)上是否存在点P使得PC⊥BM?课时作业(十三)平面对量的应用举例1．解析：由中点坐标公式可求D点坐标为Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，6))，＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，5))，∴||＝eq\r(\f(25,4)＋25)＝eq\f(5\r(5),2).答案：B2．解析：如图，取AB的中点E，连接OE，则＋＝2.又因为＋＋＝0，所以＝－2.因为O为公共点，所以O，C，E三点共线，且||＝2||.所以O为△ABC的重心．答案：D3．解析：因为·＝||·||·cos∠BOC＝2cos∠BOC＝－1，所以cos∠BOC＝－eq\f(1,2)，所以∠BOC＝eq\f(2π,3)，所以A＝eq\f(π,3).答案：A4．解析：由＝eq\f(1,2)知DC∥AB，且|DC|＝eq\f(1,2)|AB|，因此四边形ABCD是梯形．又因为||＝||，所以四边形ABCD是等腰梯形．答案：C5．解析：取(e1，e2)作为基，则＝(3，－1)，＝(2，6)，则||＝eq\r(32＋（－1）2)＝eq\r(10)，||＝eq\r(22＋62)＝2eq\r(10).因为·＝3×2＋(－1)×6＝0，所以⊥，所以平面四边形的对角线相互垂直，所以该四边形的面积S＝＝eq\f(\r(10)×2\r(10),2)＝10.答案：C6．解析：设船的实际航行速度为v1，水流速度为v2，船的航行速度为v3，依据向量的平行四边形法则可知：v3＝eq\r(veq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋veq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)))＝8eq\r(3)km/h，设船的航行方向和水流方向的夹角为θ，所以tan(180°－θ)＝eq\f(12,4\r(3))＝eq\r(3)，所以θ＝120°.答案：BD7．解析：由∠C＝90°，AC＝BC＝4，知△ABC是等腰直角三角形，∴BA＝4eq\r(2)，∠ABC＝45°，∴·＝4eq\r(2)×4×cos45°＝16.答案：168.解析：以OA，OC所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示，由题意知：＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))，＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，故cos∠DOE＝＝eq\f(1×\f(1,2)＋\f(1,2)×1,\f(\r(5),2)×\f(\r(5),2))＝eq\f(4,5).即cos∠DOE的值为eq\f(4,5).答案：eq\f(4,5)9．解析：设＝a，＝b，则＝a－b，＝a＋b，而||＝|a－b|＝eq\r(a2－2a·b＋b2)＝eq\r(1＋4－2a·b)∴5－2a·b＝4，∴a·b＝eq\f(1,2)，又||2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，∴||＝eq\r(6)，即AC＝eq\r(6).10．解析：(1)＝(7，0)－(20，15)＝(－13，－15)，W1＝F1·＝(3，4)·(－13，－15)＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(J)，W2＝F2·＝(6，－5)·(－13，－15)＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(J).∴力F1，F2对质点所做的功分别为－99J和－3J.(2)W＝F·＝(F1＋F2)·＝[(3，4)＋(6，－5)]·(－13，－15)＝(9，－1)·(－13，－15)＝9×(－13)＋(－1)×(－15)＝－117＋15＝－102(J).∴合力F对质点所做的功为－102J．11．解析：由题意可知，v＝v1＋v2，当船的航程最短时，v⊥v2，而船头的方向与v1同向，由v·v2＝(v1＋v2)·v2＝v1·v2＋veq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝0，可得v1·v2＝－veq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝－4，cos〈v1，v2〉＝eq\f(v1·v2,|v1|·|v2|)＝－eq\f(1,4)，A选项错误，B选项正确；|v|＝|v1＋v2|＝eq\r(（v1＋v2）2)＝eq\r(veq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋2v1·v2＋veq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)))＝eq\r(4－2×4＋64)＝2eq\r(15)(km/h)，C选项错误；该船到达对岸所需时间为60×eq\f(0.4,2\r(15))＝eq\f(4\r(15),5)(分钟)，D选项错误．答案：B12．解析：作＝F1，＝F2，＝－G(图略)，则＝＋，当|F1|＝|F2|＝|G|时，△OAC为正三角形，所以∠AOC＝60°，从而θ＝∠AOB＝120°.答案：D13.解析：如图，D为BC边的中点，因为3－－＝0，则＝eq\f(1,2)(＋).所以3＝2，所以＝eq\f(2,3)，所以S△ABM＝eq\f(2,3)S△ABD＝eq\f(1,3)S△ABC.答案：1∶314．解析：如图，由||－||≤|－|＝||＝2eq\r(5)，当点M与点B重合时等号成立；如图所示，取AB中点Q，连接PQ，取PQ的中点为N，连接MN，则·＝(＋)·(＋)＝||2－||2，又因为点M为正方形ABCD内部(包括边界)一动点，所以·(＋)＝2·＝2(||2－||2)＝2(||2－4)≥－8，当点M与点N重合时，取得最小值－8.答案：2eq\r(5)－815．证明：设＝a，＝b，＝e，＝c，＝d，则a＝e＋c，b＝e＋d，即a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2＝c2＋2e·c－2e·d－d2.由已知可得a2－b2＝c2－d2，所以c2＋2e·c－2e·d－d2＝c2－d2，即e·(c－d)＝0.因为＝＋＝d－c，所以·＝e·(d－c)＝0，所以⊥，即AD⊥BC.16.解析：以B为原点，BC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．由于AB＝AC＝5，BC＝6，所以B(0，0)，A(3，4)，C(6，0).则＝(3，－4)，由于M点是AC边上靠近A点的一个三等分点．所以＝eq\f(1,3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(4,3)))，于是Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(8,3)))，所以＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(8,3)))，假设在BM上存在点P使得PC⊥BM，则设＝λ，且0<λ<1，即＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(8,3)))＝eq\b\