电磁场与电磁波第六章

第六章平面电磁波的反射与折射

电磁波在传播过程中遇到两种不同介质交界面时，在交界面上，将有一部分电磁波被反射回来，形成反射波；另一部分折入第二种介质中继续传播，形成折射波。在介质1和介质2中，入射波、反射波和折射波分别满足麦克斯韦方程组，在交界面两侧，场量则满足边界条件。电磁场的边界条件是讨论电磁波在界面上反射、折射规律的出发点。电磁场的边界条件为6.1电磁波的反射、折射规律时谐情形下，上式中各场量采用复数形式，并且，关于D

和

B

法向分量的边界条件可以由

E

和

H

的切向分量边界条件以及界面处的电流连续性方程导出。所以，在分析时谐场时，只考虑

E

和

H的切向分量边界条件即可。设介质

1和介质

2的交界面为无穷大平面，界面法向沿

z方向，平面电磁波以入射角

I

由介质

1射向介质

2，如图所示。

入射波、反射波、折射波的波矢量分别为（6-1-1）其中（6-1-2）介质

1中的总电场是入射波与反射波的叠加，即

E1=EI+ER；介质

2中的仅为折射波，E2=ET

。下面，根据电磁场的边界条件，由入射波的kI和EI0、HI0来确定反射波和折射波的

kR、kT

以及

ER0、HR0、ET0、HT0。入射波、反射波、折射波的电场矢量分别为由交界面

z=0处两侧的切向分量连续的边界条件和式(6-1-2)，可得

上标

t表示切向分量。上式对交界面上的任意

x、y都成立，故要求三个指数因子在交界面上相等，即可见，边界条件要求所有波矢量的切向分量都连续。这一结果称为相位匹配条件。（6-1-4）6.1.1

反射、折射定律

(6-1-3)首先来确定反射波和折射波的波矢量方向。若取入射波的波矢量位于xz

平面内，即令kIy=0，由式(6-1-4)第二式，可得

可见，反射线、折射线与入射线在同一平面内。

将上式代入式(6-1-4)第一式，可得

由图6-1-1可知，上两式就是我们熟知的反射定律和折射定律表达式。

(6-1-6)(6-1-5)6.1.2反射系数、折射系数电磁波是横波，电场矢量一定在垂直于波矢的平面内。如果电场矢量与入射面垂直，就称为垂直极化波；若电场矢量与入射面平行，则称为平行极化波。任意极化的入射波可以分解为垂直极化和平行极化两个分量。只要了解了垂直极化波和平行极化波的反射、折射行为，任意极化的入射波的反射、折射行为即可得以确定。

设界面为

z=0平面，入射面为

y=0平面。对于垂直极化波，其电场仅有

y分量；而平行极化波，其磁场仅有

y分量。在介质

1和介质

2中，入射波、反射波和折射波分别满足麦克斯韦方程组。由式(5-2-20)和(5-2-21)，可以写出

垂直极化波完全由式(6-1-7)确定，而平行极化波则由式(6-1-8)确定。这两组方程之间没有耦合，因此，垂直极化波不会引起电场平行分量；平行极化波也不会产生电场的垂直分量。故在垂直(平行)极化波入射情形下，反射波和折射波也为垂直(平行)极化波。另外，方程组(6-1-7)和(6-1-8)相互对偶通过对偶变换

E

H，H-E，

，就可由一组方程得到另一组方程。(6-1-7)(6-1-8)垂直极化波入射情形下，入射波、反射波和折射波的电场矢量都垂直于入射面，它们磁场矢量则在入射面内，如图所示。1．垂直极化波的反射与折射

为方便起见，令

I=

R=

1，

T=

2。设入射波的电场矢量表示为

（6-1-9）

则（6-1-10）

反射波、折射波的电场量分别为相应的磁场矢量分别为

在交界面

z=0处，E

的切向分量连续。由上述入射波、反射波、折射波的电场矢量表达式，并利用相位匹配条件式(6-1-4)

，有（6-1-11）

（6-1-12）

（6-1-13）

（6-1-14）

（6-1-15）

联立式(6-1-15)、(6-1-16)，可得反射系数

R和折射系数

T：（6-1-16）

若不考虑理想导体的情况，则无论介质

1和

2为理想介质还是导电介质(有耗介质)，其交界面上都没有面传导电流，因此交界面处

H

的切向分量也连续，故有

（6-1-17）

（6-1-18）

且

R

，T

满足关系：

（6-1-19）

2．平行极化波的反射与折射

平行极化波入射时，入射波、反射波和折射波的电场矢量在入射面内，而磁场矢量垂直于入射面。设入射波的磁场矢量为

利用平行极化波与垂直极化波的对偶性，由后者的反射系数和折射系数公式可直接写出前者的相应公式。对偶对式(6-1-17)和(6-1-18)作对偶替换

E

H、

(亦即

1/

)，可得(6-1-21)(6-1-22)再由平面电磁波的电场强度振幅与磁场强度振幅之间的关系E=

H，可得，平行极化波的反射系数和折射系数为

且(6-1-23)(6-1-24)(6-1-25)公式(6-1-17)、(6-1-18)、(6-1-23)和(6-1-24)统称为菲涅尔公式，它们既适用于理想介质也适用于导电介质（有耗介质）。对于理想介质，式中的波阻抗为实数；对于导电介质，其等效介电常数

c=

-j

/

，因而波阻抗为复数。

若介质

2为理想导体，由于理想导体表面上存在面传导电流，因而H的切向分量不连续。故对于电磁波入射至理想导体表面的情形，上述推导过程不成立。但由于理想导体的电导率

∞，电磁波不能进入理想导体，理想导体内的电磁场为零即

ET=0，HT=0。应用理想导体表面处电场切向分量连续的边界条件，可求得理想导体表面反射系数和折射系数为

若将理想导体的波阻抗代入菲涅尔公式，也可以得到上述的反射系数和折射系数表达式。故可将理想导体表面的反射系数和折射系数表达式看作是菲涅尔公式在

0

时的特例。

【例6.1.1】

一垂直极化平面电磁波自空气斜入射至理想介质(

r

=4,

r

=1

)表面(

z=0)，入射角。(1)写出反射电磁波表达式；(2)求通过单位面积进入理想介质的平均功率；(3)若入射波电场为，则反射波和折射波表达式如何？解：空气和理想介质的波阻抗分别为

则根据折射定律，有

(1)由菲涅尔公式可求得垂直极化波的反射系数和折射系数：

所以，反射波表达式为

(2)折射波

折射波平均坡印廷矢量为

所以，通过单位面积进入理想介质的平均功率为(3)由入射波的电场表达式可知，该入射波为平行极化波，其磁场表达式为

反射波、折射波分别为

平行极化波的反射系数和折射系数：

6.2

平面电磁波对平界面的垂直入射

当电磁波垂直入射至两种介质交界面时，入射线与界面法线重合，故入射面不确定，应用垂直极化或平行极化的菲涅尔公式所得的结果都相同。若应用垂直极化的菲涅尔公式，将

1=

2=0代入式(6-1-17)、(6-1-18)，可得垂直入射时，反射系数和折射系数(6-2-1)6.2.1

向理想导体的垂直入射

设介质

1是理想介质，介质

2是理想导体，入射波的电磁场量为

(6-2-2)(6-2-3)将理想导体的波阻抗

0代入式(6-2-1)，可得反射系数和折射系数为于是，介质1中的合成电磁波为

即当电磁波自理想介质垂直射向理想导体时，在理想导体表面发生全反射。反射波为(6-2-4)(6-2-6)(6-2-5)(6-2-7)(6-2-8)相应的瞬时表达式为(6-2-9)(6-2-10)电场波节（磁场波腹）的位置为可见，介质

1中合成波的电场和磁场皆是驻波，它们随时间作简谐变化，而振幅则在空间中周期性分布。电场和磁场驻波在空间、时间上都有

/2

的相差，即电场的波腹(波节)对应于磁场的波节(波腹)；当电场振幅达到最大(为零)时，磁场振幅为零(达到最大)。由式(6-2-9)和(6-2-10)，可得电场波腹(磁场波节)的位置：

介质1中的合成电场和磁场驻波合成驻波的坡印廷矢量为

其时间平均值为

(6-2-11)(6-2-12)式(6-2-11)~(6-2-14)表明，合成电磁驻波的能量密度以及功率流密度都随空间位置和时间周期变化，且平均功率流密度为零。亦即，电磁能量时而集中于电场波节，时而集中于磁场波节，并不发生电磁场能量的单向传输。

合成驻波的能量密度为(6-2-13)(6-2-14)合成驻波的电场、磁场能量密度分布

设介质

1和

2都是理想非磁性介质，入射波的电磁场量仍如式(6-2-2)所示。对于非磁性介质有

1

2

0，由式(6-2-1)可得，当电磁波垂直地由介质

1射向介质

2时，反射系数和折射系数分别为

6.2.2

向理想非磁性介质的垂直入射

(6-2-16)(6-2-17)所以，反射波为

(6-2-18)介质1中的总电磁场：

(6-2-19)(6-2-20)式(6-2-19)、(6-2-20)表明，合成波既有行波成份又有驻波成分，称为行驻波。合成行驻波电磁场振幅的幅值为

(6-2-21)(6-2-22)可见，合成电场、磁场的振幅空间周期分布，在某些固定位置，振幅始终最大，而另一些固定位置，振幅始终最小。振幅最大处称为行驻波的波腹，振幅最小处称为行驻波的波节。电场的波腹对应于磁场的波节；而电场的波节则对应于磁场的波腹。当

2>

1(

1>

2)时，由式(6-2-21)、(6-2-22)可得，电场的波腹（磁场的波节）位置为

且电场的波节(磁场的波腹)位置为且当

2<

1(

1<

2)时，电场、磁场的波腹、波节的位置与上述情况相反。为反映行驻波状态的驻波成分大小，定义电场(磁场)振幅最大值与最小值之比为驻波比，用

表示：

-1

R

1，所以1

<∞。当

R

=0时，

=1，为行波状态；当

R

=1时，

∞，为驻波状态。（6-2-23）介质

2中的电磁波仅有折射波，其电磁场量分别为为沿

z方向传播的行波。（6-2-24）反射波的平均坡印廷矢量为

再来讨论电磁能量关系。入射波的平均坡印廷矢量为

折射波的平均坡印廷矢量为

（6-2-27）（6-2-26）（6-2-25）显然有

（6-2-28）【例6.2.1】

频率为

f=300MHz的线极化平面电磁波，其电场强度振幅值为

2V/m，从空气垂直入射到

r=4、

r=1的理想介质平面上。求(1)

反射系数、折射系数、驻波比；(2)

反射波和折射波；(3)入射功率、反射功率和折射功率。

解：设入射波为

由题意，介质的波阻抗为

波数为

(1)反射系数、折射系数和驻波比分别为

(2)反射波和折射波分别为

(3)入射功率、反射功率和折射功率【例6.2.2】

一均匀平面电磁波自空气垂直入射到无限大的理想介质平面上。已知在空气中，合成波的驻波比为

3，介质中传输波的波长是空气中波长的

1/6，且分界面为驻波电场的波节。求介质的相对磁导率

r和相对介电常数

r。

解：由式(6-2-23)可得

由反射系数表达式

，以及因为界面上是电场的波节点，即在界面处反射波与入射波反相，所以联立上两式，解得可得介质中的波长

6.3平面电磁波对平界面的斜入射

6.3.1向理想导体的斜入射

以垂直极化波入射为例，讨论介质1中合成波的特性。设介质

1是理想介质，介质

2是理想导体，平面电磁波从自介质

1斜射向理想导体表面。将理想导体的波阻抗

代入菲涅尔公式，可得，无论入射角取值如何，都有

(1)

合成波沿

x方向传播，E1垂直于传播方向，但

H1有

x分量，不再与传播方向垂直，这种波型称为

TE波，其相速为

大于介质1中均匀平面波的相速，故称为快波。

(2)

合成波的振幅与有关，是非均匀平面波。电场的波节点为

这也是磁场分量的波节点、磁场分量的波腹点。

(3)

合成波的平均坡印廷矢量为

(4)

理想导体表面电流分布为

6.3.2向理想非磁性介质的斜入射若两种介质均为理想非磁性介质，由菲涅尔公式并利用折射定律，反射系数和折射系数可写为

(6-3-1)(6-3-2)(6-3-3)(6-3-4)根据折射定律，当电磁波由光疏介质入射至光密介质时，有

1>

2。由式(6-3-1)，此情形下，垂直极化反射系数为负值，反射波电场有半波损失。当入射角和介质特性满足某种关系时，可以产生全折射以及全反射。1.全折射

若反射系数R=0，入射电磁波将全部折入介质2，即发生全折射。发生全折射时的入射角称为布儒斯特角，用

B表示。1)平行极化波由式(6-3-3)，令R//=0，可得(6-3-5)因此，对于平行极化波，当入射角满足式(6-3-5)时将发生全折射。

2）垂直极化波由式(6-3-1)可知，仅当

1=

2时才有

R

=0，这表明，垂直极化波入射到两种不同的介质交界面上时不可能发生全折射。

所以，当任意极化形式的电磁波以布儒斯特角入射时，反射波为极化方向垂直于入射面的线极化波，且反射线与折射线相互垂直。

2.全反射当反射系数的模

R=1时，垂直于分界面的平均功率全部被反射回介质1，这种现象称为全反射。(6-3-6)由式(6-3-3)还可得，发生全折射时，有tan(

B+

2)

，即折射角与入射角满足若两种理想介质的介电常数满足

1>

2，由式(6-3-1)、(6-3-3)

可知，只要入射角满足则无论是垂直极化波还是平行极化波，均有

R

=R//=1。当入射角继续增大时，反射系数成为复数，但它的模保持为

1不变，这时仍将发生全反射。由上式确定的角度称为临界角，用

c表示，即

(6-3-7)因此，当电磁波从光密介质入射到光疏介质且入射角等于或大于临界角时，将发生全反射。由式(6-3-1)~(6-3-4)可知，发生全反射时，

R

=R//=1

；但是，T

0，T//0，故介质2中仍有折射波。这不同于电磁波在理想导体表面的全发射。当入射角

1=

c时，由折射定律，有可知，折射角

2=/2。当入射角

1>

c

时，有

此情形下，不存在实数的解，而且有

(6-3-8)介质

2中的折射波

其中(6-3-9)

(1)发生全反射时,折射波是沿

x方向的行波，其振幅沿

z方向指数衰减。当

1=

c

时，

=0；当

1>

c时，

>0。入射角越大，折射波沿

z方向衰减越快。因此，这种波只能存在于分界面附近的薄层内，称为表面波。对于垂直极化波入射，表面波的电磁场分量

Ex=0，Hx

0，为

TE波；对于平行极化波入射，表面波的电磁场分量

Hx=0，Ex

0，为

TM波。

考虑到折射波振幅不可能随着传播而增大，故取cos

2

=-j

。

(2)表面波的相速

因为

sin

1<1，sin

2>1，所以

v1<vp<v2

，即该表面波沿方向的相速小于介质

2中均匀平面波的相速，故称为慢波。

(3)表面波的坡印廷矢量

平均坡印廷矢量为(6-3-10)可见，在介质

2中，电磁波功率平行于表面沿

x方向即沿行波的传播方向传输，没有电磁波能量流入介质

2内部。入射功率中垂直于界面的分量全部被反射回介质

1中。

【例6.3.2】

在满足全反射条件下，介质棒可用来传输电磁能量。若波以任意角度入射到棒的一端面时，透入介质中的能量都能到达棒的另一端面，求介质棒介电常数的最小值。解：如图所示，设电磁波在棒的端面处的入射角为0≤

I≤

/2

，介质棒的电磁参数为

r=1

和

r。当电磁波从端面进入棒中后，只要它射向棒侧面的角度

>

c

，就能在介质棒中发生全发射而到达棒的另一端