《材料力学》课件1西电社 材力 第12章-能量法

第12章能量法第12章能量法§12.1能量法概述§12.2杆件应变能的计算§12.4莫尔定理与单位载荷法§12.3卡氏定理§12.1能量法概述返回总目录一、能量法

利用功能原理W=Vε

来求解可变形固体的位移、变形和内力等的方法。二、外力功（W）固体在外力作用下变形，引起力的作用点沿力作用方向位移，外力因此作功

。三、变形能或应变能（Vε）弹性固体因变形而储备了能量，称为变形能或应变能。返回四、外力功与应变能的关系根据能量守恒原理，有：对于在静载作用下的完全弹性体，外力从零缓慢增加到最终值，可不考虑其他能量的损失，外力在相应位移上作的功，在数值上等于积蓄在物体内的应变能。返回§12.2杆件应变能的计算

返回总目录一、外力功在线弹性范围内，F与Δ成正比1.

F为集中力

—

Δ是线位移

说明：F与Δ均为广义量2.

F为集中力偶

—Δ是角位移

返回1.轴向拉压杆

二、杆件应变能的计算

微段轴向变形

轴力在d△l上作的功

整根杆的应变能

当FN/EA为常量时

返回2.扭转圆轴扭转圆轴的应变能

当T/GIp为常量时

3.弯曲梁梁的应变能

4.组合变形杆返回例12-1悬臂梁如图所示已知：梁的抗弯刚度为常量试：计算梁的应变能以及B截面的转角返回例12-1悬臂梁如图所示已知:梁的抗弯刚度为常量试:计算其应变能以及B截面的转角解：1.梁的应变能

弯矩方程

梁的应变能

返回例12-1悬臂梁如图所示已知:梁的抗弯刚度为常量试:计算其应变能以及B截面的转角解：1.梁的应变能

3.截面的转角2.外力作功为由

返回例12-2已知:梁的刚度为EI，杆的刚度为EA。试求:图示结构的应变能。返回例12-2已知:梁的刚度为EI，杆的刚度为EA。

试求:图示结构的应变能。解:1.CB杆的应变能

2.梁的应变能CB杆的轴力3.整个结构的应变能

弯矩方程返回例12-3图示结构已知：斜杆AB长2m,横截面面积为200mm2，水平杆AC的横截面面积为250mm2，材料的弹性摸量E=200GPa，载荷F=10kN。试求：节点A竖直方向的位移返回解：1.计算各杆件的轴力取节点A研究AF300返回2.利用能量法计算节点A的垂直位移AF300由

返回例12-4

图示三角支架已知：两杆的拉压刚度均为EA试求：结点B的竖直位移ΔBV。

返回例12-4两杆的拉压刚度均为EA试求：结点B的竖直位移ΔBV。

解：1.杆件轴力分析用截面法,取结点B研究,画受力图列平衡方程返回例12-4

两杆的拉压刚度均为EA试求：结点B的竖直位移ΔBV。

解：1.杆件轴力分析4.计算ΔBV

由

2.支架应变能

3.外力作功返回§12.3卡氏定理

返回总目录可以证明，应变能对任一载荷Fi的一阶偏导数，等于Fi的作用点沿Fi作用方向的位移Δi。◆适用于梁和刚架的卡氏定理的表达式说明：1.卡氏定理中的载荷Fi与位移Δi都是广义的；2.卡氏定理仅适用于线弹性结构。

◆适用于桁架结构的卡氏定理的表达式一、卡氏定理返回例12-5图示三角支架已知：两杆的拉压刚度均为EA试：试用卡氏定理求结点B的竖直位移ΔBV。

返回例12-5用卡式定理求位移ΔBV

。2.两杆轴力对F的一阶偏导数解:1.杆件轴力分析(见例12-3)3.根据卡氏定理计算ΔBV

返回例12-6试:

用卡氏定理求B截面的转角θB

返回例12-6试用卡式定理求θB。解:1.添加力偶矩Me

Me=03.根据卡氏定理计算θB2.弯矩方程及对其Me的一阶偏导数返回例12-7一平面刚架如图所示已知:各段杆的抗弯刚度均为EI，求:C截面的竖直位移ΔCV与水平位移ΔCH

返回例12-7求:ΔCV与ΔCH

解:

1.为区分两力，2.计算ΔCV分别将两力记为F1、F2

F1=F，

F2=F弯矩方程及其对F1的偏导数返回解:2.计算ΔCV弯矩方程及其对F1的偏导数令F1=F2=F返回解:2.计算ΔCH弯矩方程及其对F2的偏导数令F1=F2=F返回§12.4莫尔定理与单位载荷法返回总目录一、单位载荷法（又称莫尔积分）如图，欲求C截面的竖直位移Δ

,若设想在梁的C截面沿竖直方向施加一单位载荷可证明

式中，M(x)——实际载荷引起的弯矩；

——虚加的单位载荷引起的弯矩。

返回对于桁架结构对于扭转轴

式中，FN——实际载荷引起的轴力——单位载荷引起的轴力

式中，T(x)——实际载荷引起的扭矩

——单位载荷引起的扭矩返回组合变形杆件说明：

◆单位载荷是广义的，应与待求位移相对应。

◆以上公式，仅适用于线弹性结构

。

二、单位载荷法的步骤

1.添加与待求位移相对应的单位载荷；

2.分别计算单位载荷与实际载荷引起的内力；

3.将内力结果代入公式，计算位移。返回例12-8已知：梁的抗弯刚度为EI，试：用单位载荷法计算θB。返回例12-8试：用单位载荷法计算θB。1.在B面施加一单位力偶解:2.列弯矩方程实际载荷作用下单位载荷作用下3.B截面的转角

返回例12-9一正方形桁架结构如图所示已知:5根杆的拉压刚度EA相同，正方形边长为l，试求:A、C两结点之间的相对水平位移ΔA-CH

返回例12-9已知：各杆刚度为EA，正方形边长为l，

求:A、C两点间的相对水平位移ΔA-CH解:1.在A、C处加一对单位力实际载荷作用下单位载荷作用下2.计算各杆轴力返回例12-9已知：各杆刚度为EA，正方形边长为l，求:A、C两点间的相对水平位移ΔA-CH3.A、C两点间的相对水平位移

返回例12-10

图a所示结构，已知AC杆的抗弯刚度为EI，BD杆的拉压刚度为EA，试求C截面的竖直位移