《自动控制原理及其应用》 课件 第4章根轨迹分析法

第4章根轨迹分析法z2为什么要使用根轨迹分析法？根轨迹分析引入话题：通过实际工程中的控制系统案例，桥梁稳定性（塔科马海峡大桥的倒塌）.

对三阶以上的高阶控制系统,基于手工求解特征方程式的根通常不是一件容易的事情。伊文思于1948年首先提出了一种求解系统特征方程式根的简便图解法,称为根轨迹法。3根轨迹定义根轨迹定义所谓根轨迹是指系统某一参数由零变化到无穷大时,闭环系统特征根在复平面上的相应轨迹。4本章我们主要学什么？根轨迹1.在根轨迹中主要研究的是以系统开环增益为参变量的根轨迹。2.以此为基础该方法也可推广到随其他参数变化的广义根轨迹。5本章我们主要学什么？根轨迹法内容根轨迹法包括两个部分:首先是求取或绘制根轨迹,其次是利用根轨迹图进行分析和设计。

本章讨论的重点是从开环传递函数的极点和零点绘制根轨迹的方法,以及调整开环极点和零点使闭环传递函数的极点符合规定的性能指标的途径。6目录4.2根轨迹绘制的基本法则4.1根轨迹的基本概念4.3延迟系统的根轨迹4.4广义根轨迹4.5控制系统的根轨迹分析法714.1根轨迹的基本概念所谓根轨迹，就是系统开环传递函数中某一参数（如开环增益）从零变到无穷大时，系统闭环特征方程的根在s平面上移动的轨迹。84.1根轨迹的基本概念4.1.1根轨迹定义4.1.2闭环零、极点与开环零、极点之间的关系4.1.3根轨迹方程4.1.4绘制根轨迹的相角条件和幅值条件94.1.1根轨迹定义104.1.1根轨迹定义114.1.1根轨迹定义124.1.1根轨迹定义134.1.1根轨迹定义144.1.1根轨迹定义154.1.1根轨迹定义164.1.1根轨迹定义174.1.2闭环零、极点与开环零、极点之间的关系184.1.2闭环零、极点与开环零、极点之间的关系194.1.2闭环零、极点与开环零、极点之间的关系204.1.2闭环零、极点与开环零、极点之间的关系214.1.3根轨迹方程224.1.3根轨迹方程234.1.4绘制根轨迹的相角条件和幅值条件2424.2根轨迹绘制的基本法则本节讨论绘制概略根轨迹的基本法则和闭环极点的确定方法。254.2根轨迹绘制的基本法则4.2.1.概略绘制根轨迹图的规则4.2.2.较为准确地绘制根轨迹图的规则264.2根轨迹绘制的基本法则274.2根轨迹绘制的基本法则284.2.1.概略绘制根轨迹图的规则294.2.1.概略绘制根轨迹图的规则304.2.1.概略绘制根轨迹图的规则314.2.2.较为准确地绘制根轨迹图的规则324.2.2.较为准确地绘制根轨迹图的规则334.2.2.较为准确地绘制根轨迹图的规则344.2.2.较为准确地绘制根轨迹图的规则354.2.2.较为准确地绘制根轨迹图的规则364.2.2.较为准确地绘制根轨迹图的规则374.2.2.较为准确地绘制根轨迹图的规则384.2.2.较为准确地绘制根轨迹图的规则394.2.2.较为准确地绘制根轨迹图的规则404.2.2.较为准确地绘制根轨迹图的规则414.2.2.较为准确地绘制根轨迹图的规则424.2.2.较为准确地绘制根轨迹图的规则434.2.2.较为准确地绘制根轨迹图的规则444.2.2.较为准确地绘制根轨迹图的规则454.2.2.较为准确地绘制根轨迹图的规则464.2.2.较为准确地绘制根轨迹图的规则474.2.2.较为准确地绘制根轨迹图的规则484.2.2.较为准确地绘制根轨迹图的规则4934.3延迟系统的根轨迹

绘制一般系统根轨迹的基本规则若用于延迟系统，均应作相应的更改。504.3延迟系统的根轨迹5144.4广义根轨迹在控制系统中,除根轨迹增益K*为变化参数的根轨迹以外,其他情形下的根轨迹统称为广义根轨迹。524.4广义根轨迹4.4.1参数根轨迹4.4.2零度根轨迹534.4广义根轨迹544.4.1参数根轨迹554.4.1参数根轨迹564.4.1参数根轨迹574.4.1参数根轨迹584.4.1参数根轨迹594.4.1参数根轨迹604.4.1参数根轨迹614.4.1参数根轨迹624.4.1参数根轨迹634.4.1参数根轨迹644.4.2零度根轨迹654.4.2零度根轨迹664.4.2零度根轨迹674.4.2零度根轨迹684.4.2零度根轨迹694.4.2零度根轨迹704.4.2零度根轨迹714.5控制系统的根轨迹分析法4.5.1闭环零极点与时间响应4.5.2系统性能的定性分析724.5控制系统的根轨迹分析法734.5.1闭环零极点与时间响应744.5.1闭环零极点与时间响应754.5.2系统性能的定性分析764.5.2系统性能的定性分析774.5.2系统性能的定性分析4.6用MATLAB绘制系统的根轨迹利用MATLAB可以非常方便地绘制系统的根轨迹图。本节将介绍如何利用MATLAB方法绘制根轨迹。使用rlocus命令可以得到连续单输入单输出系统的根轨迹图，此命令有两种基本形式：rlocus(num,den)或rlocus(num,den,k)其中，num、den分别为单输入单输出系统开环传递函数的分子多项式、分母多项式降幂排列的系数向量。利用rlocus命令绘制的根轨迹图是自动生成的。如果参数k是指定的，rlocus命令将按照给定的参数绘制根轨迹图，否则增益k是自动确定的，k的变化范围是0到

。但是，下面这种带有输出变量的引用函数形式，返回的是系统的闭环极点。clpoles=rlocus(num,den)或clpoles=rlocus(num,den,k)用MATLAB绘制根轨迹时，具有x、y坐标轴自动定标功能。如果希望自行设置显示图形的坐标范围，可以用axis命令定义绘制图形的轴线区域。例如axis([-2.5,1-3,3]);表示x轴的显示范围是﹣2.5～1，y轴的显示范围是﹣3～3。例4-10某单位反馈系统的开环传递函数为

，试绘制该系统的根轨迹。解

显然

，

输入以下MATLAB程序num=[1];den=[1,3,2,0];rlocus(num,den);axis([-6,2-4,4])运行结果如右图所示。单位反馈系统的根轨迹图定常阻尼比

（从0至1，间隔增量为0.1）与自然频率

的根轨迹可以用sgrid命令绘制在同一根轨迹图上。sgrid命令的调用格式为sgrid或sgrid(zeta,wn)后一种形式允许指定阻尼比与自然频率的范围。例如sgrid([0.5:0.1:0.7],0.5);表示要绘制阻尼比线（

从0.5至0.7）与自然频率线（0.5rad/s）。在系统分析过程中，常常希望确定根轨迹上某一点的增益值，利用rlocfind命令可以完成该项工作。首先要得到系统的根轨迹，然后执行下面的命令：[k,poles]=rlocfind(num,den);执行命令后，将在根轨迹图形屏幕上生成一个十字光标，利用鼠标移动这个十字光标到所希望的位置，然后单击左键，在MATLAB的命令窗口中将会出现该点的位置及其所对应的增益值k。如果所选择的点接近于根轨迹上某点，则该点对应的增益值及极点位置将作为命令的输出参数。rlocfind命令也可以在没有绘制根轨迹图之前执行，此时其调用格式如下：[k,poles]=rlocfind(num,den,p);其中，输入参数p是指定的极点矢量。在控制系统的分析过程中，常常需要求取对应某一极点附近的参数。假设求例4-10系统中极点位置为

和

所对应的根轨迹增益及所有其他闭环极点，可以用以下程序求得：num=1;den=[1,3,2,0];[k,cl